重難點專題15三角恒等變換八大題型匯總

題型1輔助角公式的運用..........................................................1

題型2輔助角公式與最值..........................................................2

題型3湊角求值..................................................................3

?類型1誘導公式法..........................................................4

?類型2拆角................................................................4

題型4分式型湊角求值............................................................5

題型5正切恒等變形..............................................................6

?類型1正切化簡求值........................................................6

?類型2與其他知識結合......................................................7

題型6正切求角..................................................................8

題型1二倍角公式與升幕降幕......................................................9

題型8正余弦和差積問題.........................................................11

題型1輔助角公式的運用

非特殊角的輔助角應用，雖然可以用公式tanp=/但是處理拔司?題，僅僅簡單的用此公

式|是遠遠不夠的，要學會推導過程.知其然知其所以然.并且，深層次應用，不僅僅會"化正

",更要會"化余".

ab

Isina

asina+bcosa二22+耳『

-Ja+b

b

/^coscp—j----sin(p_』----

ab

(Isince(coscpsina+sincpcosa

asina+bcosa=++bZ+不叩=

)=7a2+b2sin(a+q))

【例題1](2023?全國?高三專題練習)用輔助角公式化簡:sin；geos”

【變式1-1】1,(2023秋?湖南永州?高三校聯考開學考試)已知cosa+gsina=g,則

cos(a-H)=()

【變式1-1】2.(2023秋?廣東揭陽?高三校考階段練習)已知方<"手，f<"°，

且sina+sin￡=8(cosa+cos/?),則下列結論一定不正確的是()

A.cos(a—S)=—lB.sin(a—S)=0C.cos(a+￡)=—1D,sin(a+0)=-苧

【變式1-1】3.(2023秋?內蒙古包頭?高三統考開學考試)函數了(x)=sin2x+cos2x的一

條對稱軸是()

A.%=B.%=C.x=fD.x=7

【變式1-114.(2023秋?江西南昌?高三南昌二中校考開學考試)已知f(x)=singx+g

-V3cosgx+^),則/⑴+〃2)+…+f(2023)的值為()

A.2V3B.V3C.1D.0

【變式1-1】5.(2023?全國?高三專題練習)設d為動點P(cose,sin。)到直線x—y—2=0的

距離，貝呦的最大值為()

A.V2-1B.乎C.1+V2D.3

題型2輔助角公式與最值

【例題2](2023?陜西寶雞統考二模)已知函婁好(x)=2sinx+4cosx在x="處取得最大值,

則coss=()

A.卓B.￡C._^D.-等

【變式2-1]1.(2023?河南?校聯考模擬預測)若關于x的方程sin2x+2cos2x=-2在[0,n)

內有兩個不同的解a,0,貝Llcos(a—°)的值為()

A--fB-TC.2>/5c2V5

"S-'-5"

【變式2-1】2.（2023秋?江西吉安?高三吉安一中校考開學考試）已知0?0,鄉，且sin

(a-2/?)+3sina=0,則tana的最大值為()

A.一半B.*A-苧D..

【變式2-1]3.（2023秋?陜西漢中?高三統考階段練習）已知函婁好（%）=sin%+3cosx,當

/（X）取得最大值時，tanx=

【變式2-1】4.（2023秋福建廈門?高三廈門一中校考階段練習）已知函婁好（久）=sins-

KCOS3X（3〉0）,若/⑴的圖像在區間（0,TT）上有且只有1個最低點，則實數3的取值范圍

為

【變式2-1】4.（2021秋?廣西南寧?高三統考階段練習）已知函數f（x）斗8

(sin2x+4cosx)+2sinx,貝(]f(x)的最大值為()

A.4V3B.

C.6D.5V3+2

【變式2-1】5.（2023秋?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯考開學考試）若函數/（

%）=sinx—V3cosxz%e的值域為[—1,2],貝切—血的取值范圍為

題型3湊角求值

?類型1誘導公式法

【例題3-1】（2023?河南開封?統考三模）已知sin（a+》—cosag,則cos（a+1）=

【變式3-1】1.（2023秋?江蘇南通?高三統考開學考試）已知sin（a+。=乎,則sin?-2a）

=（）

A.-乎B.苧C.-1D.|

【變式3-1]2.（2023秋?山東?高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）已知sin（x+^）=-

則cosg—2x）=（）

【變式3-1】3.（2022秋?新疆巴音郭楞?高三八一中學校考階段練習）設a為銳角，若cos

（a+段）=今則Sin（a一"）=（）

A.4B.—返C.隼D.—塔

101055

【變式3-1】4.（2023秋?河北?高三校聯考階段練習）已知sin（￡—a）=—?，且ae

（0日），則sin僖+2a）=（）

A.—當B.咿C.噂D,-4

9999

?類型2拆角

【例題3-2]（2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已知a,夕均為銳

角，且tana=3,sin(a+/?)=-,則cos/?=()

A13國B逗r曳邁D西市13國

?50*10*50.10550

【變式3-2】1.（2022秋?陜西渭南?高三渭南市瑞泉中學校考階段練習）若a/都是銳角,

且cosa=g,sin(cr+/?)=',則cos/?=

A2V5B2V5c2V5^2V5p更成在

A25D,5J25取55取25

【變式3-2】2.（2022?云南?云南民族大學附屬中學校考模擬預測）已知sina=孚，cos

9一口）=半，且0＜a（生，0＜夕＜生，則si叩=（）

A.B.nVio7-Vis口ViQ

蜜35?-35~?-35~

【變式3-2】3.（2022秋?山東日照?高三校考階段練習）已知a,￡6（0爪），tan（a+￡）=

￥，cos(6+￡)=當，貝[]cos(2a—S)=()

A.~5V93~B,_~^c?~-9~D,~-

題型4分式型湊角求值

sinl00cosl50—cos65°

【例題4】（2021?湖北黃岡?黃岡中學校考一模）求值:

sinl00sinl5°+sin65°

A.-2-V3B.V3—2C.2—y/3D.2+y/3

tan27.5°+l

【變式4-111.（2023?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測）求值

tan27.5°-8sin27.5°+l

【變式4-1】2.（2022?全國?高三專題練習）計算求值:

⑴\計'j_^算-2cosl0°—2V3cos(—100°)的值;

（2）已知a、￡均為銳角，sina=巳，cos（a+￡）=誓，求sin/7的直

/J.4

【變式4-1】3.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實驗中學校考階段練習)化簡求值:

)sin20°-sin40°

cos200-cos40°

,8cos400+sin50°g+6匕20°)

()sin70°Vlcos40°

【變式4-1】4.(2023?全國?高三專題練習)化簡：

小____1+sina__________1-sina_____(.

^Vl+coscr—Vl-cosaVl+cosa+Vl-cosaJi

cos(^-g)-tanf(l+cOsg)(0<&<),

Vl-cosa

題型5正切恒等變形

兩角和的正切公式的常見四種變形:

T（a+@：

?tana+tan夕=tan（a+￡）（1-tanotan劭

②tana+tan￡+tanatari/?tan（a+?=tan（a+@;

tana+tanB

@tanatarifi-1-------------------.

tanDa+加

_tan6r+tanB

④1-tanotan0=-----------------;

tanEla+加

Tg-第

①tanaltan/?=tan（a1^（1+tanotan肉;

②tan6r-tan^-tanatarigtan（??=tan（既￡）;

tana—tanp

④tanatanp=tan（a,p）-1

tana—tanp

④1+tanatari|3=tan（a_p）；

?類型1正切化簡求值

【例題5-1】（2023秋?湖北武漢?高三武漢市第四十九中學校考階段練習）若ae

且cos2（z+cos管+2a）=_則tan（a—￡）=.

【變式5-1】1.（多選）（2023?河南信陽?信陽高中校考模擬預測）已知96（0,20,。為

坐標原點，。終邊上有一點M（sin普-cos*sin普+cosR.則（）

A.。=野B.\0M\=V2

1

C.tan。<1D.cos0>-

【變式5-1]2.（2023?全國?高三專題練習）當x=孫時，函婁好（久）=sin久-2cosx取得最

大值，則tan（x（）+苧）=.

【變式5-1]3,（2023春?江西贛州?高三校聯考階段練習）已知角a/e（0,n）,且sin（a+0）

+2cos（a-°）=0,sinasin8+2cosacos°=0,則tan（a+￡）=（）

A.1B.|C.|D.-2

【變式5-1】4.（2023?四川成都?校聯考二模）在銳角△4BC中，角A,B,C的對邊分別

為a,b,c,tan71sinX（tan5tanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC,且bsinB+csinC=masin

A,則實數機的取值范圍為.

【變式5-1】5.（2023?全國?高三專題練習）在銳角△口（7中，三內角4B,C的對邊分別為a,

b,c,且a=2bsinC,則tan4+tanB+tanC的最小值為（）

A.2B.4C.6D,8

【變式5-1】6.（2023春?上海閔行?高三上海市七寶中學校考階段練習）已知△ABC的三個

內角分別為A,B,C,則下列判斷正確的是（）

命題p:對任何銳角A,者陸在△4BC,使得cosA+cosB=cosC;

命題q：對任何銳角A,都存在△ABC,使得tan力+tanB=tanC.

A.p是真命題，q是真命題B.p是真命題，q是假命題

C.p是假命題，q是真命題D.p是假命題，q是假命題

?類型2與其他知識結合

【例題5-2]（2022?全國?高三專題練習）已知等差數列｛冊｝中的=d=1,bn=tana,廣tan

an+i（neN*）,貝U數歹1|｛勾｝的前n項和％=—.

【變式5-2]1.（2022?上海?高三專題練習）已知正三角形4BC的三個頂點均在拋物線/=

y上，其中一條邊所在直線的斜率為近，則△&BC的三個頂點的橫坐標之和為.

【變式5-2】2.（2022浙江紹興?模擬預測）在448。中，內角A,B,C所對的邊分別為

a,b,C,已知角A為最小角目tan4,tanB,tanC均為整數，貝！JcosA=,設B<

C,4B的中點為D,則巖=L

【變式5-2]3.（2023?福建廈門?廈門外國語學校校考模擬預測）已知橢圓C的一個焦點為

F,短軸8曲的長為2瓶P,Q為C上異于名,%的兩點.設A?%%==0,且tan

(a+S)=-3(tan。+tanS),則△PQ9的周長的最大值為

【變式5-2]4.（2023秋?四J11成都?高三樹德中學校考開學考試）已知A、B是橢圓5+g

=l（a>b>0）與雙曲圖—'=l（a>0,b>0）的公共頂點，P是雙曲線上一點，PA,PB

交橢圓于M,N.若MN過橢圓的焦點F,且tan乙4MB=-3,則雙曲線的離心率為

題型6正切求角

【例題6】（2023春?陜西西安?高三西安中學校考階段練習）已知tana、tan/?是方程"+3班

x+4=0的兩個根,且見￡€（一班）,則a+S等于（）

A紅3BD-3

C匹或紅D-nt/--

J3-^3"，3^^3

【變式6-1】1.（2023?全國?高三專題練習）已知tan0=/就，tan（a+/?）=f鬻，若

8e（o《），貝蛆=（）

AJLDJI「上nE

r.120-6~4,3

【變式6-1]2.（2020?全國?高三專題練習）已知等差數列｛an｝中，ai+a3=-|,a2+a8

+an=-2，又tan。=a?,tan（S-a）=a7,其中a,。€（0,兀），貝!|2a-S的值為（）

A.—牛或七B.午C.-JD.—午

【變式6-1]3.（20122秋?上海普陀?高三曹楊二中校考期末）在ZMBC中，若6冠-AB=2

AB-BC=3BC-CA,則角4的大小為

A-4BD--3JC—3Du'—4

【變式6-1]4.（2022?湖南?校聯考二模）已知在△ABC中，（2BA-3BC）-CB=0,則角

4的最大值為.

【變式6-1】5.（2022秋?江蘇常州?高三統考期中）已知人B、C為△ABC的內角，若

+tanB=0,則角C的取值范圍為

題型7二倍角公式與升露降幕

1.二倍角公式

2.升累與降幕公式

1+cos2a-1-cos2a

1.降幕公式：cos2cr=------------,,sin2cr=-------------.

22

2.升幕公式：1+cos2a=2cos2?1-cos2a-2sin2a

注意：倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個角的比值等于2的情況都成立，如6a是3a

的2倍，3a鱷的2倍.這里蘊含著換元思想.這就是說，"倍"是相對而言的，是描述兩

個數量之間的關系的.

【例題7]（2022?甘肅臨夏統考一模）已知角a終邊上一點M的坐標為（-1,2）,則tan2a=

（）

A.-2B.9C.2D.

【變式7-1J1.（2020?北京?高三強基計劃）已知zi=sina+2i,z2=1+i-cosa,則壁含誓

IZ1K21

的最小值是（）

A.1B.2C.|D.|

【變式7-1】2.（2023秋?江西撫州?高三黎川縣第二中學校考開學考試）已知ee居,9,

則當tan28—tan。取得最大值時，需=.

【變式7-1】3.（2023?四川眉山?仁壽一中校考模擬預測）已知（>112。—12110?852。

=2,貝[jtana=.

【變式7-1】4.（2023秋?四川成都?高三石室中學校考開學考試）已知傾斜角為a的直線?

與直線小:％—2y+3=0垂直，則cos2a=.

【變式7-1]5.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）若函婁好（x）=sin2x

-2cosx,則f（久）的最小值是.

【變式7-1】6.（2023秋?河南?高三校聯考階段練習）在△A8C中，ta吟=3ta除則

扁+磊的最小值為（）

A.4B.2V5C.4V5D.16

題型8正余弦和差積問題

mw”>占

si%±cosa的問題一般通過1.平方法2.換元法進行解決

【例題8】（2023秋?新疆巴音郭楞?高三校考開學考試）已知cosa+cos/?=!,sina—sin。

=一士貝!]cos(2a+20)=()

A.1B.|C.D.-1

【變式8-1】1.（2022春?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習）已知a為象限角，且滿

足sina4-2cosa=sina-cosa

1,則2sin2a—cos2a)

A.-6B.6C.-§D.§

【變式8-1】2.（2022秋?吉林?高三吉林省實驗階段練習）已知亨仁嗚-cos鄉=手，則

sina的值為

B.C.挈D.—挈

【變式8-1】3.（2022?陜西?校聯考模擬預測）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分

為6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表

示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短線，如7密位寫成"0-07",478密位寫成

"4-78".若（sina—cosa）2=2sinacosa,則角a可取的值用密位制表示錯誤的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【變式8-1】4.（2023?河南?校聯考模擬預測）已知即cos（a+￡）=—*,

tana+tan^=3,貝!]cos（a—/?）=（）

C.ED.

____.______-1Q

【變