QLZEJO

重點楠理...............................................................................1

壓軸題型專練...........................................................................2

壓軸題型一二次函數的代數綜合題..................................................2

壓軸題型二二次函數與三角形面積..................................................5

壓軸題型三腳物就與驗珠三角形的存在性問題......................................12

壓軸題型四粕物畿與特殊四邊砂的存在性問題......................................18

壓勒題型五二次西數新定義問題...................................................23

壓軸題型六二次函數與幾何最值問題...............................................28

（重點梳理）

二次函敷的簡雷國的綜合題是中考教學不可爭議的壓軸題型,也常是與其他考點結合類型的壓軸■，此

類屋中二次的數常結合的其他考點及對應應對策略如下：

1.二次函數的代教練合題：常考二次函數的考點有：解析式的求解、二次函數的性質、圖象上點的坐標特

征、以及圖象與系數的關系等，具體信息有：

解析式求法待定系數法:設、代入、解、再代入

圖象特征頂點與對稱（-2—'如「:6"?="%相等的兩個點）

軸公式

二次函數的對于二次函數夕=（1,2+版+。的性質規律：

性質的應用當a>（）時，拋物線有最低點，函數有最小值,各點中，誰離對稱軸越近,誰的g越小；

當a<0時，拋物線有最高點，函數有最大值,各點中，誰離對稱軸越近，誰的？/越大；

確定拋物線與，軸交點個數

圖象與系數b2—4ac與0當〃—4ac>0時，拋物線與立軸有2個交點；

的關系當〃-4ac=0時，拋物線與①軸有1個交點；

當〃一4acV0時，拋物線與立軸無交點；

2.二次函數與三角形面積的年合:求不規則幾何圖形的面積常用方法一一割補法；兩定一動型三角形面

積求解公式——S『水平寬j鉛垂高；

3.出物線與特殊三角形的存在性問題：

①“兩定一動''等腰三角形的存在性問題處理方法：“兩圓一線”找點，“勾股定理”求點；沒規定腰長

???

時,按邊相等分成三類；

②“兩定一動”直角三角形的存在性問題處理方法：''兩垂一圓”找點，“勾股定理”求點；沒規定直角頂

點時，按直角分成三類；

4.護物線與精殊四邊形的存在性問題：

①“三定一動”型平行四邊形的存在性問題：根據平行四邊形的中心對稱性，分別以三個定點中的兩

點為對角線，分三類討論；

②菱形存在性問題一轉化為等腰三角形的存在性問題；

③矩形的存在性問題-轉化為直角三角形的存在性問題

5.二次西數的新定義問題:新定義類函數問題，新規定的定義就是解決問題重要的性質，做題中還需聯

系與新定義關聯緊密的已學考點。

壓軸題型——

V*力技法

①二次函數代數類考察，解析式中一般含有參數，即給的是“不完整的解析式”;而這類解析數有可

能可以通過因式分解法求其與，軸交點坐標，或者通過因式分解找至u該“不完整函數”所過的定點；

②：這類問題中，一般都需要求二次函數的對稱軸、頂點。其中，對稱軸一般是確定的，但開口方向

不定，所以利用此結論求交點個數或函數最值問題時,要注意分類討論,特別要注意其中的計算；

1.（2024?北京）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線g=Q/—2Q2啰（。w0）.

（1）當a=1時,求拋物線的頂點坐標；

（2）已知M（%i，%）和N（g,m）是拋物線上的兩點.若對于/I=3Q,3<g<4,都有％<仍，求。的取

值范圍.

［分析】（1）將a=1代入即可求出拋物線的頂點坐標；

（2）利用作差法建立關于g和。的不等式，因為。不確定，所以要分類討論，再根據范圍取舍即可.

【解答】解：（1）將'Q=1代入得g=〃—2x=（X——

頂點坐標為（1,—1）;

223

（2）方法一,：由題得，yx—a*（3a）—2a*3a=3a,

2

V2—a逼—2aT2,

丁yi<y2,

2

y2~Vi—。（咫-2ax2—3a）=a（x2—3a）（x2+a）>0,

①當a>0時，（力2—3a）（T2+a）>0,

.（x2—3a>0戈［6213aV0

Ig+a>。l^2+a<0，

解得g>3Q或x<—a,

2???

V3<x2<4,

3。V3或—a>4,

，a<1或a<—4,

,/a>0,

/.0<a<1;

②當aV0時，(力2—3Q)(62+a)V0,

T—3a>0x—3a<0

2或v2

T2+a<0力2+。〉。

解得3a<x2<—a,

,?,34g44,

f3a<3jF

\,解付aV—4,

[—a>4

綜上，0VQVI或aV—4.

方法二:①當a>0時，

,nJ和N(X2,y?都在對稱軸右側,

此時g隨力增大而增大，

I%〈紡，

Xi<X29

：.3a<3,

0<a<1;

②當a<0時,

M(xlt陰)在對稱軸左側，N(X2,y2)在對稱軸右側，

點“(3a,yj關于對稱軸的對稱點(-a,yj在對稱軸右側，

在對稱軸右側，9隨2增大而減小，

'''yi<V2,

-CL>4,

dV—4,

綜上，0VQVI或aV-4.

【點評】本題主要考查二次函數綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質、因式分解、解不等式等知識點是解

題關鍵.

2.（2024-南通）已知函數,=（c—a）2+Q—by（a,b為常數）.設自變量工取g時，y取得最小值.

（1）若a=—Lb=3,求出的值；

（2）在平面直角坐標系①。"中，點P（a,b）在雙曲線夕=--上，且g=<.求點P到夕軸的距離；

x2

（3）當a?—2a—26+3=0,且1WgV3時，分析并確定整數a的個數.

【分析】（1）利用求拋物線對稱軸公式即可求得答案；

（2）根據題意得b=—代入夕=Q—ay+（,—6）2,再根據拋物線對稱軸公式建立方程求解即可；

a

（3）由題意得6=量二|旺代入？/=（，一行+3一6）2,用含a的代數式表示g,再根據題意列不等式組

求解即可.

【解答】解：（1）若a=—1,b=3,則g=（劣+1>+（/一3）2=2x2—4rc+10,

當/=_4=1時，g取得最小值，

2X2

g=1;

⑵二點P（a,b）在雙曲線y=——上,

x

,.4

1+a2+f,

.0—2x2——萬，

電=2,a2——1,

當a=2時，點P到g軸的距離為2;

當@二一1時，點P到g軸的距離1;

綜上所述，點P到y軸的距離為2或1;

（3）Q2—2a—2b+3=0,

.心出一2a+3

」=~2-，

由題意得：g=告白=若&,

,.,l<a；o<3,

整理得：l4a2<9,

—3Va&—1或1WaV3,

,：a為整數，

:*a=—2或一1或1或2,共4個.

【點評】本題是函數綜合題，考查了二次函數的性質，反比例函數性質，解不等式組等，理解題意，熟練運用

二次函數的性質是解題關鍵.

3.（2024-廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于宓的二次函數4=x2+2ax+a-3的最值問題展

開探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

（1）老師給出a=—4,求二次函數4=〃+2ax+a—3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當必取何值時，函數,有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在工取何值時，y的最小值.記錄結果，并

整理成如表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發現】老師:“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格,談談你的發現

甲同學:“我發現，老師給了a值后，我們只要取力=—a，就能得到y的最小值.”

乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以

我猜想y的最小值中存在最大值”

（2）請結合函數解析式y=x2+2ax+a—3,解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值;若不正確，說明理由.

【分析】（1）①a=—4,y=x2+2ax+a—3=s2—8a;—7;

②當拋物線在對稱軸即①=4時，夕取得最小值,即可求解；

（2）1>0,故函數有最小值，即可求解

（3）當x=—a時，夕=/+2ax+a—3=—a2+a—3,—KO,iky有最大值，即可求解.

【解答】解：（1）①a——4,y—x2+2ax+a—3—x2—8x—7;

②當拋物線在對稱軸即c=4時，g取得最小值為：16—32—7=—23;

（2）合理，理由：

,/1>0,故函數有最小值，

當c=—a（對稱軸）時，y取得最小值，

故甲同學的說法合理；

（3）正確，理由：

當x=-a時，y=d+2ax+a—3=—a2+a—3,

?J—1<0,故沙有最大值，

當a=]■時，y的最大值為：一■/+]—3=—~~.

【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到二次函數的圖象和性質、函數最值得求解等，熟悉函數的

性質是解題的關鍵.

壓軸題型二二次函數與三角形面積

4.（2024-通遼）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=—+3與2軸，0軸分別交于點C,。，拋物線y

=-j3—2)2+k(k為常數)經過點。且交力軸于4B兩點.(1)求拋物線表示的函數解析式；

(2)若點P為拋物線的頂點，連接CP.求四邊形4CPD的面積.

x(0—2y+k,k=4,即可得拋物線表示的函數解析式為g=—十"

+6+3;

(2)連接OP,求出C(2,0),OC=2,4—2,0),OA=2,拋物線頂點P坐標為(2,4),可得S四邊形人小。

S^AOD+S"OD+S"OC~10.

【解答】解：⑴在g=-卷劣+3中，令力=0得g=3,

???。(0,3),

???拋物線y=一］(T-2)2+%經過點D(0,3),

3——彳X(0-2)2+k,

解得k=4,

y=一：(力-2)2+4=—^x2+⑦+3;

??.拋物線表示的函數解析式為g=—《〃+0+3;

4

⑵連接OP,如圖；

???C(2,0),00=2,

在。=--+力+3中，令g=0得0=--i-X2+x+3,

解得力=6或re=—2,

???4—2,0),04=2,

由。=一!(/-2)2+4可得拋物線頂點P坐標為(2,4),

S四邊形ACPD~S^AOD+S"OD+S"oc~x2x3+/x3x2+^-x2x4=3+3+4=10;

???四邊形ACPO的面積為10.

【點評】本題考查二次函數綜合應用,涉及待定系數法，函數圖象上點坐標的特征，三角形面積等知識，解題

的關鍵是用割補法求出四邊形ACPD的面積.

5.（2024?西寧）如圖，二次函數的圖象與刀軸交于點4（—3,0）,與4軸交于點頂點C的坐標為（—2,

T）.

（1）求二次函數的解析式.

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由.

（3）在直線上方的拋物線上是否存在一點P,使S夕AB=2S*B.若存在，求出所有符合條件的點

P的坐標;若不存在，請說明理由.

【分析】（1）設二次函數解析式為y=a（x—h）2+k（a豐0）,將頂點（7（—2,—1）代入解析式得y—a（x+2）2—

1,進而可以解決問題；

（2）過點。作軸于點。，過點人作AE_LCD于點E,然后根據勾股定理的逆定理即可解決問題；

（3）設點P的坐標為（館，m2+4小+3），過點P作PH_LAB,垂足為過點P作PQ〃y軸交直線AB于

點。，求出直線AB的解析式為9=力+3,得點Q的坐標為（m,m+3）,得PQ=m2+4m+3—（m+3）=

m2+3m=4,得仍=1,Tn?=—4，進而解決問題.

【解答】解：（1）設二次函數解析式為y=a（x—/z）2+fc（a半0）,

將頂點C（-2,一1）代入解析式得夕=aQ+2）2—1,

,/二次函數的圖象與2軸交于點A（-3,0）,

0=o（—3+2）2—1,

解得a=1,

:.二次函數解析式為9=（c+2）2-1；

（2）AABC是直角三角形，理由如下：

拋物線y=（c+2＞一1與y軸的交點，

當±=0時，"=3,

.?.5（0,3）,

如圖1,過點。作軸于點。，

圖I

D(O,-1),

過點A作AELCD于點E,

—1),

'''>1(—3,0),01(—2,—1),

AB2=OB2+OA2=32+32=18,AC2=A￡2+CE2=12+12=2,BC2=CE>2+B￡>2=22+42=20,

：.AB2+AC2=20,

：.AB2+AC2=BC2,

：.ZVIBC是直角三角形；

(3)存在，理由如下:

y=(2+2)2—1=d+4,+3,

設點P的坐標為(m,m2+4m+3),

過點P作PH_LAB,垂足為H,過點P作PQ〃沙軸交直線AB于點Q,

設直線AB的解析式為y=kx+b(k^O),^4(—3.0),8(0,3)代入得,

(—3k+b—0

t&=3

解得仁;,

??.直線AB的解析式為g=c+3,

???點。的坐標為(m,m+3),

?,^APAB=2sMBC，

-1-AB?PH=2X^AB-AC,

：.PH=2AC=2V2,

在Rt/XAOB中，OA=OB,

乙480=/BA。=45°,

???PQ〃9軸，

/PQH=NABO=45°,

在Rt/^PQH中,

...,,oPH

.sm45=玩，

“Q卡=4,

2

PQ—m2+4m+3—(m+3)=m2+3m=4,

解得mi=1,m2——4,

當館=1時，m2+4巾+3=8,

??.P(l,8),

當m=-4時，？722+4m+3=3,

???現-4,3),

所有符合條件的點P的坐標是(1,8),(―4,3).

【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，勾股定理等知識，解題的關鍵是學

會用分類討論的思想思考問題.

6.(2024?濟寧)已知二次函數夕=姐2+就+。的圖象經過(0,—3),(—b,c)兩點，其中a,b,c為常數,

且ab>0.

⑴求a,c的值；

(2)若該二次函數的最小值是一4,且它的圖象與刀軸交于點4例點人在點B的左側)，與0軸交于點

C.

①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A,B的坐標;

②如圖，在0軸左側該二次函數的圖象上有一動點P,過點P作c軸的垂線,垂足為。，與直線AC交

是否存在點P,使率必=4?若存在，求此時點P的橫坐標；若不存

于點E，連接PC,CB,BE.

備用圖

【分析】（1）將已知兩點代入到解析式進行計算分析即可得解；

⑵①將第一問求出的Q、C代入配成頂點式即可得到含b的最小值，再根據題中條件建立方程即可求出b

值，最后求二次函數與名軸交點，令g=0即可得解；

②分兩種情況討論，點P在點A的左右兩側，再利用△PCE和△石CE都是以CE為底的三角形，求出PG

的長度，從而得到解析式，聯立求解即可.

【解答】解：⑴???函數過（0,—3）,（―b,c）

c=-3,ab2—b2+c=c,

（Q—l）b2=0,

ab>0,

工aW0,bW0,

a—1=0,

a=1.

（2）①由⑴知該函數的解析式為：0二"+版―3=（劣+寺）—12,

a=1>0,

當X——今時，函數最小值為y=—',

,/二次函數最小值為一4,

?-^±12

??49

解得b=±2,

afe>0,

/.b=2,

/.二次函數解析式為。=爐+2c—3,

令g=0,貝1/+2/—3=0,

解得力1=-3,x2=l,

???點A坐標（一3,0）,點B坐標（1,0）.

②I,當點P在點4右側時，如圖，過B作石于點尸，過P作PGL4。于點G,

vA(-3,0),C(0,-3),B(l,0),

OA=OC=3,OB=1,

:.AB—OA+OB—4,AC—3V2,

???s：=^AB-OC=^BF-AC,

?由=旭「2版

4PCE和4BCE都是以CE為底的三角形,

.S?CE_PG_3

"S的E一'一吊'

...pG=^^,

過P作PHV/AC交g軸于點H,過。作CK_LPH,則CK=PG=^~

???OA=OCf

：.ZOCA=45°,

.-.ZC7fK=45°,

：.CH=V2CK=^-,

.?.點H坐標（0,一年），

.?.直線PH解析式為沙=一,一今,

（y=x2-\-2x—3

聯立方程組可得《9，

V3-3_-3-V3

電=^-電二-2—

解得■

_-6-V3，-6+V3，

yL-2-yi=—2—

.?.P點坐標為(V3—3,^^）或（-3-V3-6+V3

222

11,當點P在點4左側時，過P作PH〃人。交“軸于點H,

同第一種情況的方法可得鳳0,—|)

/.直線PH解析式為y=-x--1,

(y=x2-]-2x—3

聯立方程組得《3

w=一計了

f_-3+V15_-3-V15

立尸2

解得4（舍）__2~~

V15_V15

y2=F~

11

P點坐標為（二^巫，*畀）.

綜上，P點的橫坐標為容心或-3丁或-3~^.

【點評】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式、二次函數最值問題、二次函數與。軸交點問題、二次函

數與直線交點問題等內容，難度中等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

壓軸題型三拈物線與特殊三角形的存在性問題

2

7.（2024-泰安）如圖,拋物線C1：y=ax+^-x-4：的圖象經過點。（1,—1）,與刀軸交于點4點3.

O

⑴求拋物線G的表達式；

（2）將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線。2,求拋物線G的表達式，并判

斷點。是否在拋物線。2上;

（3）在立軸上方的拋物線。2上，是否存在點P，使/\PBD是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的

坐標;若不存在,請說明理由.

【分析】（1）將點D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

⑵由題意得:—1戶+~|■（工一1）—4+3=（"（工一年）一詈，當劣=1時，9="|~（c一卷）—

即可求解；

15315715

（3）當/BAP為直角時，證明△DGB2AEHD（A4S）,求出點E（2,2）,當劣=2時，y=?廿一?『一典=

315715

掾（2—|■『一整=2,即點E在拋物線C2上，即點P即為點右（2,2）;當NDBP為直角時，同理可解；當

315715

/印明為直角時，如圖3,同理可得點后（0,1）,即可求解.

【解答】解：（1）將點。的坐標代入拋物線表達式得：—l=a+（-4,

解得：a=日，

則拋物線的表達式為：9=■力2+A.x—4；

OO

（2）由題意得:。2：0="|"（力一1）2+4（力-1）-4+3=日（力一'1~）一整,

故點。在拋物線G上;

⑶存在，理由：

當/BDP是直角時，

如圖1,過點。作。E_LBD且。E=BE,則△BDE為等腰直角三角形,

ZBDG+2EDH=90°,AEDH+2DEH=90°,

ABDG=Z.DEH,

?：ADGB=AEHD=90°,

ADGB名^EHD(AAS),

則。打=BG=1,EH=GO=1+2=3,

則點石(2,2),

當―2時,“7(,號?—普7(2—/—瞿=2,

即點E在拋物線。2上，

即點P即為點8(2,2);

當ZDBP為直角時，如圖2,

同理可得：^BGE第ADHB(AAS),

則DH=3=BG,BH=1=GE,

則點E(—1,3),

當，=T時,

即點E在拋物線。2上,

即點P即為點E(—l,3);

當/BPD為直角時，如圖3,

13

設點E(c,y),

同理可得：^EHB篤/\DGE(AAS),

則EH=a;+2=GD=y+1且BH=y=GE=l—x,

解得:c=0且y=1,即點E(O,1),

即點E不在拋物線G上；

綜上，點P的坐標為：（2,2）或（一1,3）.

【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的

思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

8.（2024-宜賓）如圖,拋物線y=x2+bx+c^x軸交于點A（—1,0）和點B,與y軸交于點0（0，-4）,其

頂點為。.

（1）求拋物線的表達式及頂點。的坐標；

（2）在y軸上是否存在一點使得△80河的周長最小.若存在，求出點”的坐標;若不存在,請說明

理由；

（3）若點E在以點P（3,0）為圓心，1為半徑的。F上，連結AE,以/石為邊在AE的下方作等邊三角

形人即，連結求口尸的取值范圍.

【分析】（1）用待定系數法得拋物線的表達式為9="一32—4；即可得拋物線頂點。的坐標為（卷，一苧）；

（2）作。居，—關于夕軸的對稱點0（—1?，—苧），連接BD交？/軸于河，求出B（4,0）,BD=

史魯，可知的周長最小，只需DM+最小，而DM=DM,有DM+BM=D'M+BM,故B,

14

Al,D共線時，DM+BM■最小，最小值為BD'的長，此時4BDM的周長也最小；由B（4,0）,

O'（—得，一空）得直線BD，解析式為沙=患多一普，從而河的坐標為（0,—普）；

（3）以AB4為邊，在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,由人（一1,0）,F（3,0）,ZVLPQ是等

邊三角形,可得Q的坐標為（1,-2V3）,證明△及4P2△K4Q（SAS），有PE=QF=1,可知F的軌跡是以

Q（1,-2V3）為圓心，1為半徑的圓，因=，無，當F在線段QB上時，BF最小，此時BF=BQ-QF=

何一1;當Q在線段上時，BF最大，此時5尸=3（3+。尸=儂+1;所以BF的范圍時儂一14BF

<V21+1.

【解答】解：（1）把4—1,0）,C（0,—4）代入夕=爐+ba?+c得:

（l—b+c=0

jc=-4

解得尸T,

[c=-4

拋物線的表達式為y=x2—3x—4;

■：y=x2-3x-4：=（^x-^—普，

二拋物線頂點。的坐標為怎，一學）；

（2）在沙軸上存在一點M,使得4BDM的周長最小，理由如下：

作。（|■，—苧）關于y軸的對稱點皿—,，—苧）,連接即交沙軸于河,如圖:

在g=/-3力一4中，令g=0得0="—3力一4,

解得力=4或⑦=—1,

???6（4,0）,

.?.吁小汴-，

/\BDM的周長最小，只需DM+BM最小,

?：DM=D'M,

DM+BM=D'M+BM,

共線時，DM+BM■最小，最小值為BD'的長，此時ABDM■的周長也最小;

由3（4,0）,。（一方，一爭）得直線BD'解析式為y=患，-瑞，

令c=0得y=一黑，

.?.M■的坐標為（0,—瑞）；

⑶以AR4為邊，在AP下方作等邊三角形4PQ,連接PE,QF,BQ,如圖：

D

由4一1,0）,F（3,0）,Z\4PQ是等邊三角形，可得Q的坐標為（1,—2g）,

AAEF,△APQ是等邊三角形，

：.AE^AF,AP=AQ,AEAF=APAQ=60°,

：.NEAP=/FAQ,

：.^EAP第△E4Q（&4S）,

；.PE=QF=1,

.?.F的軌跡是以Q（l,—26）為圓心，1為半徑的圓，

???5（4,0）,

：.BQ^V21,

當F在線段QB上時，BF最小，此時BF=BQ-QF=V21-1;

當Q在線段BF上時，BF最大，此時=BQ+QF=V21+1;

.?.3尸的范圍時因一143?4歷+1.

【點評】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，軸對稱求最短距離，全等三角形判定與性質等知識,

解題的關鍵是掌握“將軍飲馬問題“解決策略和求出F的軌跡.

9.（2024-雅安）在平面直角坐標系中，二次函數v=ad+尻+3的圖象與t軸交于A（l,0）,B（3,0）兩

點,與V軸交于點C.

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點8,。重合），過點尸作夕軸的平行線交拋物線于

點Q，當線段PQ的長度最大時,求點Q的坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點。，且NCQ0=2NOCQ.在"軸上是否

存在點E,使得ABDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標;若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由待定系數法即可求解；

⑵由PQ=6一3—(/—4力+3)——X1+3力，即可求解；

⑶當。E=時，則68=25+3—8)2,解得：^二8±0，即點七(0,8±，^);當12后二跳；或石。=跳；

時，同理可解.

【解答】解：(1)由題意得:y=a(x—1)(x—3)=a(x2—4x+3)=ax2+bx+3,

則a=1,

則拋物線的表達式為：y=x2-4x-l-3;

(2)由拋物線的表達式知，點(7(0,3),

由點反。的坐標得，直線CB的表達式為：。=一力+3,

設點Q(x,力2—4%+3),則點P(x,—x+3),

則PQ——X+3—(力之一42+3)=—x2+3/,

V-l<0,

故PQ有最大值，

此時H=[■，則彩=4―4必+3=號,

即點Q(件,一年)；

⑶存在，理由：

由點C、Q的坐標得，直線CQ的表達式為：？/=—1a;+3,

過點Q作TQ〃"軸交/軸于點T,則ATQA=AQCO,

???ZCQD=2ZOCQ,ATQC=/.QCO,

則ACQT=ADQT,

17

即直線CQ和。Q關于直線QT對稱，

則直線DQ的表達式為:呼融一今,

聯立上式和拋物線的表達式得：a;2-4a;+3=1-（a;-

解得:，=~|■（舍去）或5,

即點0（5,8）;

設點石（0,g）,由B、D、E的坐標得，BD2=68,DE2=25+（y—8）2,BE2=9+y2,

當DE=BD時,

則68=25+3—8）2,

解得：沙=8土出，即點E（O,8土歷）；

當DE=BE鼠BD=BE時,

同理可得：25+（“一8）2=9+必或9+必=68,

解得:y=5或+V59,

即點石（0,5）或（0,±V59）;

綜上，點E（0,8±3）或（0,5）或（0,+V59）.

【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的

思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

壓軸題型四批物線與精殊四邊形的存在性問題

10.（2024-甘南州）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線"=。"+故—5（aW0）交①軸于A,。兩點，交夕

軸于點B,5OA=OB=OC.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點河，使得的周長最小,請求出點他的坐標；

（3）連接BC,點、P是線段上一點，過點P作夕軸的平行線交拋物線于點Q,求當四邊形OBQP為

平行四邊形時點P的坐標.

【分析】（1）由待定系數法即可求解；

（2）點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點。，則BC交拋物線的對稱軸于點M,此時△ABAf的周長最小,

即可求解；

（3）由PQ=OB,即可求解.

【解答】解：⑴由拋物線的表達式知，c=—5=yB,

—

則OB=5=OA=OC,

貝I點4、C、B的坐標分另U為：(1,0)、(一5,0)、(0,-5),

設拋物線的表達式為：y—a(x—1)(a;+5)=a(x2+4x-5)=ax2+bx—5,

則a=l,

故拋物線的表達式為：y=x2+4x—5;

(2)點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點。，則BC交拋物線的對稱軸于點M,此時/XABM的周長最小,

理由：

4ABM的周長=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC為最小,

由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：沙=一2一5,

由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線2=-2,

當x=-2時，y=-x—5=—3,

則點M(—2,-3);

⑶設點P{x,-x—5),則點Q(x,a;2+4a:—5),

則PQ—(—x—5)—(a;2+4c—5)——x2—5x,

■：PQ//OB,

故當PQ=OB時，滿足題設條件,

即PQ=—，2—5rc=OB=5,

解得：工=-5+V5

2

-5-V5-5-V5—5+

則點P的坐標為：(土上）或（

222

【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到平行四邊形的性質、線段長度的表示方法、線段和的最值

等，綜合性強，難度適中.

11.(2024.瀘州)如圖,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點4(3,0),與‘軸交

于點且關于直線c=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當一LWc<t時，夕的取值范圍是0W"W2t—1,求t的值；

(3)點。是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作①軸的垂線交直線AB于點。，在U軸上是否

存在點E,使得以8,C,。，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在,說明理

由.

?M

a

【分析】（1）由待定系數法即可求解；

⑵當一1《力W力時，x=—1時，。取得最小值，則力=力時，g取得最大值，即可求解；

⑶由拋物線的表達式知，點石（0,3）,如圖，6,。，。，石為頂點的四邊形是菱形時，存在點石在點石上方和

下方兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）4（3,。），拋物線的對稱軸為直線力=1,則拋物線和力軸的另外一個交點為：（一1,0）,

則拋物線的表達式為:y=a（x+1）（力-3）=ax2+bx+3,

解得：a——A.,

則拋物線的表達式為：y——2?+2rc+3;

（2）由題意得一14力《力，

當一1V1V1時，則&力，

x=-1時，g=—/+2力+3=0,取得最小值，

則⑦=力時，2t—1——I?+2t+3,

解得：t=—2或2,均不符合題意；

當14力V3時，

則拋物線的頂點處取得最大值，

拋物線的頂點坐標為:（1,4）,

即2方一1二4,

解得：t=2.5;

⑶存在，理由：

由拋物線的表達式知，點石（0,3）,

①當為菱形對角線時，對應菱形為BDCE'

由點4、_B的坐標得，直線AB的表達式為：y=—x+3,

設點。(力，—力2+2/+3),點。Q,—X+3),

則CD——2?+2力+3—{—X+3)——X1+3/,BD—V2T,BC—V^2+(―rr2+2x)2,

2。

.'.—x2+3/=V2x,

解得：a;=3-V2或c=0（舍去）,

則BD=V2x=3V2—2,

即菱形的邊長為：3方一2.

②當BD為菱形的對角線時對應菱形為菱形BCDE,

則CD=BC,

—x2+3a:=y/x2+（—x2+2x）2,

解得：c=2或2;=0（舍去）,

則CD=-X2+3X=-22+3X2=2,

即菱形的邊長為：2.

綜上，菱形的邊長為：32-2或2.

【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的

思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決

相關問題.

12.（2024-寧夏）拋物線"=姐2—1~2；—2與多軸交于4—1,0）,口兩點，與0軸交于點。，點P是第四象

限內拋物線上的一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,過P作PD，c軸于點。，交直線于點E.設點D的橫坐標為小,當PE=^-BE時,

求7n的值；

（3）如圖2點尸（1,0）,連接CF并延長交直線于點V,點N是力軸上方拋物線上的一點，在（2）的

條件下，刀軸上是否存在一點使得以為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，直接寫

出點H的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）將點4-1,0）代入拋物線解析式，解之即可得出結論；

（2）令沙=0,可得B（4,0）;令c=0可得點。的坐標（0,—2）;則_8。=，再取=2時；8。的解析式為：?/

=]0-2;根據題意，點。的坐標為（m,0）,把力=小分別代入拋物線和直線石。的解析式，可得

P（m,-2^;E（m,十2）;所以DE=2——EP=2m——^-m2;由PD_L/軸，可得PD

〃"軸，所以4BDE?ABOC,則BD:BO=BE:BC,即BE?BO=BC-BD,可得=—所以

。￡=彳跳；=年（4一口），由此可建立關于館的方程，解之即可；

（3）由。、F的坐標可得,直線。尸的解析式為：沙=2,-2,所以防毋，3）;當夕=3時，/婷一衣一2=3,

解得劣=-2或田=5;當N（—2,3）時，—;當N（5,3）時，方；分別求解即可得出結

論.

【解答】解：（1）把點A（—1,0）代入y—ax2—^-x—2得a+1—2=0;

解得a=];

.?.拋物線的解析式為：夕—日2—2.

⑵把y=0代入V=ya32-ya;一2得,ysc2--|-x-2=0,

解得x=-1或力=4,

AB（4,0）;

當力=0是，g=-2,

???點。的坐標（0,—2）;

??.BC=V42+22=2B,BC的解析式為：g=?j-c—2;

根據題意，點。的坐標為（館，0）,

得,

才巴力=771代入g02^-x—2y—---^-772—2.

把（力二館代入g=力-2,得g=2,

ym—2）;E^m,]?n—2）;

:?DE=2—EP—2m—^-m2;

PD_L力軸，

:?PD/Iy她,

???△8DE?ABOC,

???BD:BO=BE:BC,即BE?BO=BC^BD,

???PE=乎3￡=,（4—小），

2m—^-m2=-|-（4—m）,

解得m=*或m=4（舍）；

⑶存在，點H的坐標為（—日，0）或號，0）或,0）或怎，0）.理由如下：

VC（O,-2）,F（l,O）,

直線CF的解析式為：夕=2必—2,

當