重難點專題02函數值域與最值十四大題型匯總

題型1幕函數值域問題............................................................1

題型2指數函數值域問題..........................................................3

?類型1值域相關問題......................................................3

?類型3由函數奇偶性求解析式..............................................5

題型3對數函數值域問題..........................................................5

?類型1值域相關問題......................................................5

?類型2定義域與值域為R問題..............................................6

?類型3新定義相關問題....................................................7

題型4分式型函數值域問題........................................................7

題型5對鉤與雙刀函數值域問題...................................................9

題型6分段函數值域問題.........................................................10

題型1絕對值函數值域問題.......................................................11

題型8高斯函數值域問題.........................................................12

題型9“倍縮”函數值域問題.....................................................14

題型10”類周期函數”值域問題..................................................15

題型11抽象函數值域問題........................................................17

題型12復合函數值域問題........................................................17

題型13三角函數值域問題........................................................18

題型14函數中的兩邊逼近思想...................................................20

SKDII

題型1系函數值域問題

小塾重點

幕函數主要考察一元二次函數

二次函數在進行討論的時候要首先考慮二次項系數為0的情況，然后根據題意，去討論開

口或者討論A

【例題1】（2022?全國?高三專題練習）對于函數/（x）=7a娛+其中b>0,若f（x）的定義

域與值域相同則非零實數a的值為

【變式1-1】1.（2023?全國?高三對口高考）若函數八乃=/—6x-16的定義域為[0,利,

值域為[—25,—16],則m的取值范圍為

【變式1-1】2.（2017春?貴州貴陽?高三階段練習）若函數/⑴=7ax2+6久+c[a,b,ce

R)的定義域和值域分別為集合4B,且集合｛。7)|%€4>€8｝表示的平面區域是邊長為1

的正方形，貝帥+c的最大值為

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習)定義在R上的奇函數/(久)，當久>0時，式%)=-

久2+2%另一Is"函數y=。(久)的定義域為［?0，值域為就I,其中a豐b,a,b豐0.在久E［

a,b］上,g(x)=f(久).求a,b.

【變式1-114.b,ceR,二次函數/O)=/+必+。在(0,1)上與舛由有兩個不同的交點,

求c2+(1+6)c的取值范圍.

【變式1-1】5.侈選)(2023?山西朔州懷仁市第一中學校校考模擬預測)已知函數/⑶=

ax3+(1-a)x,則()

A.函數久久)為奇函數

B.當=1時，a=-T或1

C.若函數/(x)有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為［0,1)

D.若函數f(x)在區間［—1,1］上的值域為［—1,1］,則實數a的取值范圍為［—，4］

【變式1-1】6.(2023?全國?高三專題練習)定義：區間跖題］的長度為久2—亞.已知函數

y=/+l的定義域為［a用，值域為［1,2］,記區間［a總的最大長度為小，最小長度為九則函數

g(x)=ex-mx+ri的零點個數是()

A.1B.2C.0D.3

【變式1-1】7.(2023春?上海楊浦?高三復旦附中校考階段練習)已知人嗎=爐—3x,函

數y=/(x)的定義域為口句(a/eZ),y=/(x)的值域為［a,句的子集，則這樣的函數的個數為

()

A.1B.2C.3D.無數個

題型2指數函數值域問題

?類型1值域相關問題

【例題2-1】(2023?全國?高三專題練習)若2小1<(J：則函數y=2,的值域是()

A.[QB[Q]

c.(-00,1)D.[2,+00)

【變式2-111.侈選)(2023?全國高三專題練習)函數/⑴=22工-2計1+2的定義域為

M,值域為[1,2],下列結論中一定成立的結論的序號是()

A.MG(-00,1]B.M2[-2,1]C.1GMD.OEM

【變式2-1】2.(2023?全國?模擬預測)使函數f(x)=|e，—a|的值域為[0,+8)的一個a的

值為.

【變式2-1】3.(多選)(2023?全國?高三專題練習)對任意實數a>1,函數y=(a—l/T

+1的圖象必過定點力(根,九)，f(x)=(')的定義域為[0,2],5(%)=/(2x)+/(%),則下列

結論正確的是()

A.m=1,n=2B.g(x)的定義域為[0,1]

C.g(x)的值域為[2,6]D.g(x)的值域為[2,20]

【變式2-1]4.(2020?全國?高三專題練習)設函數/O)=篇，(a>。且a豐1),[詞表示

不超過實數機的最大整數，則函數—1|+1(-%)+的值域是()

A.(0,1,2}B.{—1,o}C.{-1,0,1}D.{0,1}

?類型2定義域與值域為[m%河型

對于單調函數定義域值域都已知可轉化成兩個函數相交問題

【例題2-2】(2023秋?山東濟南?高三濟南市歷城第二中學校考開學考試)給出定義：如果

函數y=/(x)的定義域為［a,句，值域也是［a,b］,那么稱函數/Q)為"保域函數".下列

函數中是“保域函數"的有(填上所有正確答案的序號).

①/'(X)=6［0,2］;

②/'(x)—x2+X—1,xe［—1,1］;

4S

X6［-1,1］；

=^Inx+1,xe［i,e2］.

【變式2-2］1.(2020春?江蘇南京?高三南京市第二十九中學校考開學考試)若函數y=談

(a>1)的定義域和值域均為［科7"，則a的范圍是

【變式2-2】2.(2022?全國?高三專題練習)若函數f(x)=ax(a>0且并1)在定義域即，n］

上的值域是［浮，汨(1<m<ri),則a的取值范圍是.

【變式2-2】3.(2023春?上海楊浦?高三復旦附中校考階段練習)已知/⑴=必—3%函

數y=/(%)的定義域為［a。(a,b￡Z),y=f(x)的值域為［a,0的子集，則這樣的函數的個數為

()

A.1B.2C.3D.無數個

【變式2-2】4.(2023?全國?高三專題練習)對于區間［a,b］(a<6),若函數y=f(x)同時滿

足：①/'(%)在［a,6］上是單調函數；②函數y=/0),xe［a,句的值域是［a,句，則稱區間［a力］為

函數f(x)的"保值"區間.若函數/(幻=尤2+爪(小片0)存在"保值"區間，則實數小的取值

范圍為

?類型3由函數奇偶性求解析式

【例題2-3】(2023?四川綿陽?綿陽南山中學實驗學校校考三模)已知/O),儀久)分別為定

義域為R的偶函數和奇函數，且/(尤)+9(%)=e\若關于X的不等式2/Q)—ag2(x)>。在

(0,ln3)上恒成立，則正實數a的取值范圍是()

A.[y,+OO)B.[0,+00)C.(—8,8D.(0,y]

【變式2-3](2022春?海南?高三海南中學校考階段練習)已知定義域為R的偶函數/(X)和

奇函數g(x)滿足:八久)+。(久)=2。若存在實數a,使得關于X的不等式(nf(%)-a)(g(x)-

a)<0在區間[1,2]上恒成立，則正整數n的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

題型3對數函數值域問題

?類型1值域相關問題

【例題3-1】(2023秋云南?高三云南師大附中校考階段練習)定義域為R的函數/(x)滿足:

當xe[0,1)時，/(x)=2X-x,且對任意的實數X,均有/'(%)+f(x+1)=1,記a=log23,

則/(a)+f(2a)+/(3a)=()

A.-|B.|C.\D.--

【變式3-1]1.(2021秋?湖南益陽?高三益陽市箴言中學校考階段練習)設函數f(x)=|log/|

(a>。且aK1)的定義域為[科初(m<n),值域為[0,1],若"小的最小值為則實數a的

值是

2

【變式3-1]2.(2019秋?陜西榆林?高三校考階段練習)已知y=log2(x-2x+17)的值域

為[犯+8),當正數a,6滿足一^++=加時，貝！|7a+4b的最小值為()

A.1B.1C.2

44

【變式3-1】3.(2019秋?江蘇鹽城?高三校考階段練習)已知f(x)=ln當定義域為，對

于任意久1,x2GD,當|%1-力|=2時，則|f(X。-f(久2)I的最小值是

【變式3-1】4.(2023?高三課時練習)已知函數f(x)=loga泊的定義域為[%￡),值域為

(logaaQ?-l),log.a(a-1)],且函數f(x)為[a/)上的嚴格減函數，求實數a的取值范圍.

?類型2定義域與值域為R問題

【例題3-2】(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=log3吧I答的定義域為R,值域

為[0,2],求m,n的值.

【變式3-2]1.(2019?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=lg[(m2—3m+2)x2+2(m—

l)x+5],mER.

(1)若函數/(%)的定義域為R求實數m的取值范圍；

(2)若函數/(%)的值域為R求實數TH的取值范圍.

【變式3-2】2.(2022?全國?高三專題練習)若函軀⑶=嘮2卜2+(2仆1方+耶勺值

域為R,則實數k的取值范圍為

2

【變式3-2]3.(2020?全國?高三專題練習)設函數y=loga(ax+x+a)的定義域是R時,

a的取值范圍為集合M;它的值域是R時，a的取值范圍為集合N,則下列的表達式中正確

的是()

A.MaNB.MUN=RC.MCIN=0D.M=N

?類型3新定義相關問題

【例題3-3】(2022?全國?高三專題練習)設函數久久)的定義域為/,若存在口句=/,使得

/(%)在區間[a。上的值域為[ka,kb](keN*),則稱f(x)為“倍函數".已知函婁好(x)=log3

但-何為"3倍函數"，則實數小的取值范圍為()

A.(0,竽)B.(一竿,0)C.(等,+8)D.(一8,竿)

【變式3-3】1.(2022?全國?高三專題練習)函數f(x)的定義域為O,若滿足：(1)f(x)在D

內是單調函數；(2)存在怪打，使得/⑶在浮⑶上的值域為［犯初，那么就稱函數f(x)

為“夢想函數".若函數f(久)=1嗝(/+t)(a>0,a豐1)是“夢想函數”,則珀勺取值范圍

是.

【變式3-3】2.(2022?全國?高三專題練習)函數f(x)定義域為D,若滿足①f(x)在D內是單

調函數；②存在［a力］c。使/'(X)在［a,0上的值域為［na,幾句(rieN+,n>1),那么就稱y=/(%

)為"域n倍函數",若函婁好(久)=logaS+t),(a>0,a豐1)是"域2倍函數",則t的取值范

圍為

題型4分式型函數值域問題

1木卜軻重點

分式型函數值域問題：

1.分離常數，通過"左加右減上加下減"可求得分式函數的對稱中心.

2.特殊的，形如偽反表對稱可以證明)

3.注意"水平漸近線和豎直漸近線"

4.分式型函數值域的方法：分離常數法，換元法，判別式法

SAA/WW\AA/VWWWWVWWVWWVWWW\AA/WW\AA/W\AA/WWW\^AAAA/WWWVWSA/VW\A/\/WWWWV^/WVWWW\AA/WVWWW'

【例題4】(2023秋河南洛陽?高三伊川縣第一高中校聯考開學考試)已知函數了(乃=高

下列結論正確的是()

A./(久)在(0,6)上單調遞減B.7(x)的圖象關于點(3,6)對稱

C.曲線y=/(x)與X軸相切D./(久)的值域為(一8,0］U［12,+8)

【變式4-1】1.(多選)(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(X)=1-普的定義域是［a,句

(a,bEZ),值域為［0,1］,則滿足條件的整數對(a,6)可以是()

A.(-2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

【變式4-1】2.(多選)(2023?重慶統考模擬預測)已知函數/(%)=翳(a6R),則下列

說法正確的是（）

A.f（久）的定義域為（—8,—2）U（—2,+8）

B.f在［—1,0］上的值域為［2—a,1］

C.若/（久）在（一8,—2）上單調遞減，則a<1

D.若a>l,則f（x）在定義域上單調遞增

【變式4-1】3.（2022?全國?高三專題練習）定義區間風久2］長度X2-久1（久2>久D為，已知

函數/（嗎=（tgT（aeR,a豐0）的定義域與值域都是［成團，則區間［仍用取最大長度時a

的值為

【變式4-1】4.（2023秋?湖南長沙?高三校考階段練習）設xeR,用國表示不超過x的最大

整數，貝的=因稱取整函數，例如：［-3.7］=-4,［2.3］=2.已知f⑺=煞則函數y=

，（創的值域為（）

A.（一LB.{—1,1}C.（—1,0）D.{-1,0}

【變式4-1】5.（2020?全國?高三對口高考）已知函數9（乃=生覆產的值域是{yllWy

<9},求函數/（%）=Va*+8%+加勺定義域和值域.

【變式4-1J6.已知We為非零實數，f（x）=GR,且f⑵=2,f⑶=3若當x大一為寸，

對于任意實數x,均有f（f（x））=x,貝曲x）值域中取不到的唯一的實數是.

【變式4-1】7.侈選）（2023?廣東深圳?紅嶺中學校考模擬預測）已知函數/（乂）=磊,

則（）

A.函數f（x）是增函數

B.曲線y=f（x）關于［J）對稱

C.函數/（久）的值域為（0,9

D.曲線y=久久）有且僅有兩條斜率為由勺切線

題型5對鉤與雙刀函數值域問題

【例題5】（2022?全國?高三專題練習）已知函數;"（Wux+W具有以下性質：如果常數k

>0,那么函數f（x）在區間（。,而）上單調遞減，在區間[4,+8）上單調遞增，若函數y=x

+?Q>1）的值域為[a,+8）,則實數a的取值范圍是

【變式5-1]1.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（*）=三>1）,則函數的值域

是.

【變式5-1]2.（2023?全國?高三專題練習）對于定義在R上的奇函數y=/（%）,當%>0時,

-幻=2、+品，則該函數的值域為

【變式5-113.（2023秋?湖北?高三孝感高中校聯考開學考試）下列函數%Q）=sin2%+

-11-11

,/2（x）=x+7/3（%）=e"+最/式乂）=In久+菽中，函數值域與函數f（久）=W+后的值域完

全相同的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式5-1】4.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（*）=『窿_產6[0,1],則該函數

的值域為

.X_x+l_

【變式5-1]5.函數小）=與產的值域為（）

A.[5,+°°）B.[4,+8）C.（5,+8）D.（4,+8）

題型6分段函數值域問題

【例題6】（2023?全國?高三專題練習）已知函數“久）=｛一工盍：3,:學9>0且a

*1),若函數f(x)的值域是(-8,4],則實數a的取值范圍是()

A.俘,1)B.惇,1)

C.(1,V2]D.(1,V2)

【變式6-1]1.(2023?全國?高三專題練習)設函數y=f(x)由關系式小|+y|y|=1確定,

函數9(久)=｛不注/，則()

A.g(x)為增函數B.。(久)為奇函數

C.g(x)值域為[-1,+<?)D.函數y=f(-%)-g(x)沒有正零點

【變式6-1]2.(2023?北京?高三專題練習)設函數/⑴=[x2，嵋匕1,:北給出下列

四個結論：①函數八嗎的值域是R；②Va>l,方程f(x)=a恰有3個實數根；③

0

使得/(-%0)-f(久0)=；④若實數比1<%2<%3<%4,且f(肛)=/(%2)=/(乂3)=f(x4).

4

貝11(X1+尤2)(右一萬4)的最大值為4e-a其中所有正確結論的序號是

【變式6-1]3.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學校考階段練習)已知函數sgnQ)=

(—1,%V0

]0,x-0,關于函數fO)=sgn(x-TT)sinK有如下四個命題：

Il,x>0

①f(久)在惇,Ji]上單調遞減；②-lg2)=-/(lgI)；

③/(X)的值域為[—1,1]；④/(久)的圖象關于直線X=TT對稱.

其中所有真命題的序號是

【變式6-1】4.(2023?北京?高三專題練習)設函數f(x)=，/(%)的值域

是,設=/(x)-a(x-1),若g(x)恰有兩個零點，則a的取值范圍為.

題型7絕對值函數值域問題

2.一元二次函數加絕對值，要注意與軸的交點

3.指數函數上下平移后加絕對值，要注意“一點一線”的位置

【例題7】(2022秋?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習)設0<a<b,若函數y=

llogzx—的值域為[0,1],貝Lla+b的取值范圍是

【變式7-1]1.(2022?全國?高三專題練習)設函數f。)=0—1冏定義域和值域都是口

b],貝[]a+b=.

【變式7-1]2.(2022秋?上海嘉定?高三校考期中)已知九x)=|(%-a).(x-3a)|,若函

數)/=/(嗎,％6[0,1]的值域為[0/(1)],則實數a的取值范圍是

【變式7-1】3.(2022?全國?高三專題練習)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且/(田+1)

=2/(因—1).若當尤6(0,1)時，/(%)=1-|2%-1|,貝II/⑺在區間(—1,3)上的值域

為,9(%)=/(x)—5在區間(-1,3)內的所有零點之和為

【變式7-1】4.(2020秋?河南?高三校聯考階段練習)已知函數/(x)=—#+軌且函數

g(x)=|/(x)-fc|-1有且只有兩個零點，若僅k)=lg(9fc2-360),則％(k)的值域為()

19

A.(―8,3)B.(-y,0)

C.(0,+8)D.(-9號

【變式7-1】5.(2023?北京?高三專題練習)設函數f(x)={x2/黑11,:北給出下列

四個結論：①函數f(x)的值域是(②Va>l,方程f(x)=a恰有3個實數根；③次°eR+,

使得/'(一Xo)-f(Xo)=。；④若實數<%2<%3<%4,且F01)=/(久2)=/(久3)=f(x4)-

4

貝！1(久1+%2)(乂3-血)的最大值為4e-其中所有正確結論的序號是

題型8高斯函數值域問題

3.還可以引入“四舍五入”函數作對比因為它具有“類周期性"，所以考查函數值域多與數

列關聯..

【例題8】（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（久）=三三，gQ）=[/（W]（印表示不超

過工的最大整數，例如[1同=1,[—0.5]=—1）,則關于外為和g（x）這兩個函數，以下說法

錯誤的是（）

A.八久）是R上的增函數B.7（比）是奇函數

C.g（x）是非奇非偶函數D.g（x）的值域是{-1,0,1}

【變式8-1]1.（2023?全國?高三對口高考）給定集合4=[a^ar-a^neN,n22）,定

義七+磯1<i<j<n,i,jeN*）中所有不同值的個數為集合A兩個元素的容量，用”4）表示.

①若4=[0,1,2,3）,貝!JL（A）—；

②定義函數f（%）=[”因]其中國表示不超過x的最大整數，如[1.5]=1,[-1.3]=-2,當

xG[n,n+l）（n>3,neN）0yt,函數了（久）的值域為A,若LQ4）=2013,則幾=；

【變式8-1】2.（2023春?四川綿陽?高三綿陽中學校考階段練習）已知久6匕符號國表示

不超過x的最大整數，若函數/（*）=§（%>0）,則給出以下四個結論：

①函數/（幻的值域為[0,1]；

②函數/（比）的圖象是一條連續的曲線；

③函數/（%）是（。,+8）上的減函數；

④方程f⑺=a有且僅有3個根時，l<a<1

其中正確的序號為

【變式8-1】3.（2022秋.江西贛州.高三贛州市麓縣第三中學校考開學考試）定義函數f（X

）=[%[%]],其中岡表示不超過x的最大整數，例如[1.3]=1,卜1.5]=-2,[2]=2,當比e[0,n

1111

）時，/（X）的值域為An,記集合An中元素的個數為an,則赤+赤+工石+…+嬴口的

值為

【變式8-1】4.(多選)(2022?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數學家，近代數學

奠基者之一，享有"數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其

名字命名的“高斯函數"為：設xeR,用印表示不超過%的最大整數，則y=[%|稱為高斯

函數，W：[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題是真命題的是()

A.BxeR,x>[x]+1

B.Vx,yER,[x]+[y]<[x+y]

C.函數y=x-[x](xGR)的值域為[0,1)

D.若mteR,使得何=i,忙4]=2,陷=3,…即=”2同時成立，則正整數九的

最大值是5

題型9“倍縮”函數值域問題

【例題9](2023春?浙江寧波?高三寧波市北侖中學校考期中)已知函數f(x)=d+

m,若存在區間[a,6](b>a2—1),使得函數fO)在[a,句上的值域為[2a,2句，則實數小的取

值范圍是()

171

A.m>——oBZ.0<m<T

17

C.m<—2D.——o<m<—2

【變式9-1】1.(2023?全國?高三專題練習)對于函數y=/(%),若存在區間[a,句，當久e[

a,句時，/(幻的值域為[ka,kb],則稱y=/(x)為k倍值函數.若/(*)=/是k倍值函數，貝女的

取值范圍為()

A.(0,|)B.(l,e)C.(e,+8)D.(1,+^)

【變式9-1]2.侈選)(2023云南昆明?昆明市第三中學校考模擬預測)函數/?)的定義域

為，若存在閉區間［a,0=D,使得函數f(x)同時滿足①f。)在口目上是單調函數；②八功

在口0上的值域為［版,協］(k>0),則稱區間［a用為/(久)的"k倍值區間".下列函數存在"3

倍值區間”的有()

A./(%)=InxB.f(x)=|(x>0)

C.f(x)=x2(x>0)D.f(%)=<%<1)

【變式9-1］3.(2022?全國?高三專題練習)設函數f(x)=xlnx+2,若存在區間［a,句a

［1,e］，使fO)在［a,句9大b)上的值域為收a+l),k(6+l)］,則實數k的取值范圍是.

【變式9-1】4.(2022秋?江蘇宿遷?高三校考開學考試)已知二次函數f(x)=a%2+bx(a

*0),滿足/(x+1)為偶函數，且方程外切=x有兩個相等的實數根，若存在區間四川使得

f(久)的值域為［3m,3n|,則ni+n=.

【變式9-1］5.(2022秋?重慶北倍?高三統考階段練習)已知0<m<n,若函數/(x)在xe［

山間上的值域是［kg/m］,則稱/'(%)是第k類函數.

⑴若人支)=1-幅第k類函數，求k的取值范圍；

(2)若人久)=4x—/是第2類函數，求小,正的值.

題型10“類周期函數”值域問題

司F上重點

"似周期函數"或者"類周期函數”，俗稱放大鏡函數，要注意以下幾點辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大(縮小)時，要注意是否函數值有0.

3.放大(縮小)時，是否發生了上下平移.

【例題10】(2022?全國?高三專題練習)定義在R上的函數/⑺，當xe［―1,1］時，人%)=X2

+x,且對任意x,滿足八乂+3)=2/(尤)，則/(%)在區間［5,7］上的值域是

【變式10-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/Of#二號三尹，其

中aeR,給出以下關于函數了(%)的結論：

①/(3=2②當％e［0,8］時，函婁好(%)值域為［0,8］③當ke@,1］時方程/(X)=kx恰有四個實

根④當xe［0,8］時，若-X)W25+a恒成立，則a21—四.其中正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【變式10-1】2.(多選)(2023春?遼寧朝陽?高三校聯考開學考試)已知函數f(x)=

(8—811—%L0<x<2,

［］(X—加>2,則下列說法正確的是()

A.鳴)=1

B.當［2,6］時，函數了(x)值域為［0,4］

C.當ke巳,|］時，方程f(x)=丘恰有6個實根

D.若f(久)>2f+a(aeR)恒成立，貝！Ja<-1.

【變式10-1］3.(多選)(2022秋福建廈門?高三廈門外國語學校校考期中)已知函數f⑺

的定義域為［0,+8),且滿/O)={|o；；(U：黑施)當乂22時，久久)=/久—2),人為

非零常數，則下列說法正確的是()

A.當4=一1時，/(log280)=j

B.當>>0時,/(久)在［10,11)單調遞增

C.當4<-1時,f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域為［沖-、科一］

D.當4>。時，目；I豐1時，若將函數g(x)=K與/(x)的圖象在［0,2zi］(n6N*)的m個交點

x2n

記為(孫力)。=1,2,3,...m),則Z,i(；+7i)=n+2-1

【變式10-1】4.(2023?全國?高三專題練習)設函數f(x)的定義域為R,滿足/(久—2)=2/

(久)，且當Xe(0,2］時，/■(%)=x(2-x).若對任意久e［a,+00),都有/'(x)<|成立，則a的取

值范圍是()

A.'+8)B.[|>+°°)

C.(-8,—|]D.(—8,一|]

【變式10-1】5.(2022秋?廣東深圳?高三北師大南山附屬學校校考階段練習)設函數/(x)

的定義域為R,滿足了(久一2)=2/(%),且當xe[一2,0)時，/(久)=-2x(x+2).若對任意xe

Q_

[m,+oo),都有/'(嗎4j則ni的取值范圍是

題型11抽象函數值域問題

【例題11】(2023福建泉州?泉州五中校考模擬預測)已知函數/(乃的定義域為R,值域為

(0,+00),且/■(X一+y)==2,函數g(x)=/(%)+/(-久)的最小值為2,

則￡/◎=()

A.12B.24C.42D.126

【變式11-1]1.(2023?全國?模擬預測)已知函數了⑶的定義域為R,值域為(0,+8),若

TI2023

/(%+1)/(%-1)=4,函數/(久一2)為偶函數，/(2024)=1,則〉f(n)=()

A.4050B.4553C.4556D.4559

【變式11-1】2.(2022秋?陜西咸陽?高三武功縣普集高級中學校考階段練習)設定義在R

上的函數/(久)滿足f(0)=1,且對任意的%、yER,都有2/(孫+1)=;?(>)?f(y)-f(y)-

2%+6,則函數g(x)=x-的值域為()

A.[1,+oo)B.[—l,+oo)

C.[0,+8)D.[-1,+8)

題型12復合函數值域問題

【例題12】(2022?全國?高三專題練習)已知/⑴=｛；”+：產??，則函數F(x)=/(/(x

LX—1,(%>1)

))-2/(x)的值域為

【變式12-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知函婁好(x)是(0,+8)上的單調函數，且

/(/(x)-x-|Og2^=5,則/(比)在［1,8］上的值域為()

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【變式12-1]2.(2022秋福建福州?高三福州三中校考階段練習)定義在R上的函婁好(%)

的值域為(0,(),且sin[/Q)]=cos[/(2,—1)].若/(2)=1,貝(J()

A.F⑴=)B./(log23)=1C./7)=”1D./(127)=7-1

【變式12-1】3.(2022秋?天津和平?高三耀華中學校考階段練習)(2022秋?上海浦東新?高

三上海南匯中學校考期中)已知定義在R上的偶函數“久)，滿足[/OOF—+

久2=0對任意的實數X都成立，且值域為[0,1].設函數g(x)=\x-m\-|x-1|(m<1),若

對任意的犯￡(-2,3,存在%2>久1,使得。(久2)=f(肛)成立,則實數小的取值范圍為.

題型13三角函數值域問題

【例題13](2022秋?福建福州?高三校聯考期中)函數/(久)=cosfx-2)-sin3x的值域

是.

【變式13-1】1.(多選)(2022?江蘇常州統考模擬預測)已知函數人支)=|sinx|cos久，久e

R,貝U()

A.函數f(x)的值域為[—技|

B.函婁好(久)是一個偶函數，也是一個周期函數

C.直線”=空是函數/(x)的一條對稱軸

D.方程/(%)=Iog4%有且僅有一個實數根

【變式13-1】2.(2022?四川瀘州統考一模)已知函數“久)=sin梟，任取teR,記函數”

切在匕t+1]上的最大值為Mt,最小值為mt,設旗=—小1，則函數h(t)的值域為()

A-[1-冽B.]

C.[1一苧閥D.惇,1+陰

[變式13-1]3.(2023-北京海淀?高三專題練習)設函數/(%)=

一acos%(l+cos2%),0<x<y

—acosx+cos2x,y<X<TX'

(1)當a=1時，f(x)的值域為；

(2)若/(久)=a恰有2個解，貝M的取值范圍為

【變式13-1]4,(2023秋?江蘇南通?高三統考開學考試)已知函數f(久)=4sin(a>x+6+1

(3>G,\<p\<勺，滿足對V久eR/(%i)<f(x)</(為恒成立的|久1—冷1的最小值為與，且對

任意x均有f七+%)=/償-，恒成立.則下列結論正確的有

①函數y=八久)的圖像關于點(—,0)對稱：

②函數y=久久)在區間僖，寄上單調遞減；

③函數y=((x)在(0,。上的值域為(1一2V3.5)

④y=f(x)表達式可改寫為f(x)=4cos(2x-》+1：

⑤若x1,x2為函數y=久久)的兩個零點，貝山巧—冷1為段的整數倍?

【變式13-1】5.(多選)(2023?全國?高三專題練習)已知函婁好?(久)=sinn%+cosn%,(neN*),

則下列說法正確的是()

A.九(久)在區間[冶用上單調遞增

B.f4(%)的最小正周期為,

C.%⑺的值域為(-孝，孝)

D.九(無)的圖象可以由函數g(x)=3in4久的圖象，先向左平移葭個單位，再向上平移泠單

位得到

題型14函數中的兩邊逼近思想

4

【例題14](2021春?湖州期末)若存在正實數吏得不等式Inx-x2+l>Iny+聲-In

4成立，則x+y=()

A.乎B.V2C.呼D.乎

【變式14-1】1.(上饒二模)已知實數%,y滿足l