熱點02方程（組）與不等式

明考情.知方向

中考數學中《方程（組）與不等式（組）》部分主要考向分為四類：

一、一元一次方程與二元一次方程（組）（每年2~4道，8~14分）

二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）

三、分式方程（每年1~3題，3~12分）

四、不等式（組）（每年2~4題，8~18分）

方程（組）與不等式（組）在數學中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以

考察。其中，一元一次方程與二元一次方程（組）是比較接近的兩個考點，出題一般都只有1題，一元一

次方程多考察其在實際問題中的應用，多為選擇題；二元一次方程組則以計算和應用題為主占分較多。一

元二次方程單獨出題時多考察其根的判別式、根與系數的關系以及在實際問題中提煉出一元二次方程；一

元二次方程的計算則主要出現在幾何大題中，輔助解壓軸題。分式方程的考察內容不多，但基本屬于必考

考點，可以是一道小題考察其解法，也可以是應用題。不等式組是這四個考點中占分最多的一個，考察難

度也是可大可小，其解法、含參數的不等式組問題、和方程結合的應用題都經常考到。雖然該熱點難度中

等，一般不會失分，但是組合出題時，難度也可以變大，復習時需要特別注意。

熱點題型解讀

【題型1】實際問題抽象出一元一次方程

考向一：一元一次方程與二元一次方程組

【題型1實際問題抽象出一元一次方程】

中考中對于一元一次方程的應用題并不會考這么多，多以選擇題出題，也就只考到列方程這步就可以了.

解一元一次方程應用題，遵循5個步驟，其各個步驟的注意事項如下：

①審題；②設未知數:設未知數（通常為x）,并注明單位；③列方程；④解方程；⑤檢驗

答案：將解代入原方程或實際問題，驗證是否合理；⑥.寫答句:完整寫出答案，并注明單

位。

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，

繩多一尺.繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩

四折來量，井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺？若設繩長為無尺，則可列方程為（）

1111

A.-x—4=-x—1B.-x+4=-x—1

3434

1I1I

C.-%—4=-x+1D.-x+4=-%+1

3434

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應用，利用井的深度不變建立方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設繩長為x尺，列方程為：久一4=；久-1,

34

故選A.

2.（2024?廣東廣州?中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去

年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車x輛，根據題意，可列方程為

（）

A.1.2%+1100=35060B.1.2%-1100=35060

C.1.2（x4-1100）=35060D.%-1100=35060X1.2

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數量關系是解題關鍵.設該車企去年5月交付

新車”輛，根據“今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛”列出方程即

可.

【詳解】解：設該車企去年5月交付新車久輛，

根據題意得：1.2%+1100=35060,

故選：A.

3.（2024?廣西?中考真題）《九章算術》是我國古代重要的數學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：

現有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢.三年共得100錢.問：出租的田有

多少畝？設出租的田有x畝，可列方程為（）

.X,X,XaX,X,X,八八

A.-+；+-=lB.-+-+-100

C.3%+4%+5%=1D.3%+4%+5%=100

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢.三

年共得100錢”列方程即可.

【詳解】解：根據題意，得鴻+（=100,

故選：B.

4.（2024?北京?中考真題）為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車

國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求4類物質排放量不超過35mg/km,

A,B兩類物質排放量之和不超過50mg/km.已知該型號某汽車的4,B兩類物質排放量之和原為92mg/km.

經過一次技術改進，該汽車的4類物質排放量降低了50%,B類物質排放量降低了75%,A,8兩類物質

排放量之和為40mg/km,判斷這次技術改進后該汽車的4類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.

【答案】符合，理由見詳解

【分析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵.

設技術改進后該汽車的A類物質排放量為xmg/km,則B類物質排放量為（40-久）mg/km,根據汽車的

A,B兩類物質排放量之和原為92mg/km建立方程求解即可.

【詳解】解：設技術改進后該汽車的A類物質排放量為久mg/km,則8類物質排放量為（40-x）mg/km,

由題意得：+*工=92,

1-50%1-75%

解得：%=34,

V34<35,

.?.這次技術改進后該汽車的4類物質排放量符合“標準

【題型2二元一次方程組的解法相關】

-0

解二元一次方程組有2種方法——帶入消元法和加減消元法

不管是帶入法還是加減法，目的都在于利用等式的基本性質將二元一次方程組轉化為一元一次方程，所

以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯點。

1.（2024?廣西?中考真題）解方程組：｛7｝砥二:

【答案】

【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可.

【詳解】解：尸2y=32

[x-2y=1@

①+②得：2x=4,

解得：x-2,

把x=2代入①得：

(x=2

.?.方程組的解為:_1.

［yv~2

2.(2024.浙江?中考真題)解方程組：5

(4%+3y=-10

【答案】［X=2

ly=-4

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①x3+②得，10久=5,解得x=點再把比=?弋入①求

出y=—4即可.

【詳解】w：(2x-y=5?

(4%+3y=-10@

①x3+②得，10%=5

解得％=

把％=夕弋入①得1一y=5,

解得y=-4

3.(2024.江蘇宿遷?中考真題)若關于x、y的二元一次方程組｛黑｝二;的解是二］2，則關于小丁的

方程組產+27=2?+^的解是

(ex—2y=2c+d----------

【答案】｛;二1

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把代入得到

呼;廣：整體代入產+鏟中，得到方程組卜久+2'=5。-22加減消元法解方程

組即可.

把『代入上二得:(3a—2=b

【詳解】解:13c+2=d

(ax+2y=2。+b

\cx—2y=2c+d

(ax+2y=2a+3a—2ax+2y=5a—2①

ic%—2y=2c+3c+2

ex—2y=5c+2②

①+②，得：(a+c)%=5(a+c),

...方程組管？|有解，

「?a+cW0,

??x—5,

把％=5代入①，得：5a+2y=5a—2,解得：y=—1；

方程組的解集為：卜：=5

\y=一1

故答案為：[5

\y=一1

【題型3二元一次方程組的應用】

—

二元一次方程組的應用題解決步驟同一元一次方程應用題解題步驟及注意事項差不多，審題和找等量關

系都是方程類應用題解題的關鍵。通常難度不大，個別時候，二元一次方程組的應用題也可以用一元一

次方程來解。

1.（2024.山東日照?中考真題）我國明代數學家程大位編撰的《算法統宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿

子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一

根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問繩和竿

各有多長？”設繩長x尺，竿長y尺，根據題意得（）（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托=5尺）

1—y=5fy-x=5（x-y=S一（x-y=5

A-1"=5B'=5C-[2x=y+5D-（y-2x=5

【答案】A

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去

量竿，則繩比竿短5尺列方程組即可.

Cx-y=5,

【詳解】解：由題意得1，

/=5.

故選A.

2.（2024.遼寧.中考真題）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十

五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

設雞有x只，兔有y只，根據題意可列方程組為（）

Afx+y=94（x+y=94（x+y=35（x+y=35

（4x+2y=35[2x+4y=35（4久+2y=94[2x+4y=94

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系是解題關鍵.設雞有x只，兔有y只，根據“雞

兔同籠，共有35個頭，94條腿”列二元一次方程組即可.

【詳解】解：設雞有x只，兔有y只，

由題意得：["2U

（2%+4y=94

故選：D.

3.（2024.安徽.中考真題）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業.某村有部分返鄉青年承包了一

些田地.采用新技術種植4,B兩種農作物.種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如表：

農作物品每公頃所需人

每公頃所需投入資金（萬元）

種數

A48

B39

已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元.問4B這兩種農作

物的種植面積各多少公頃？

【答案】4農作物的種植面積為3公頃，B農作物的種植面積為4公頃.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設4農作物的種植面積為x公頃，8農作物的種植面積為y

公頃，根據題意列出二元一次方程組即可求解，根據題意，找到等量關系，正確列出二元一次方程組

是解題的關鍵.

【詳解】解：設4農作物的種植面積為x公頃，B農作物的種植面積為y公頃，

由題意可得，卷林二：,

解布：4,

答：力農作物的種植面積為3公頃，B農作物的種植面積為4公頃.

4.44.（2024?江蘇徐州?中考真題）中國古代數學著作《張邱建算經》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，

各不知其數.甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？''問題大意：甲、

乙兩人各有錢幣干枚.若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數比乙的錢幣數多出5倍，即甲的錢幣數是乙

錢幣數的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數相等.問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元

一次方程組解答上述問題.

【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意找到等量關系列出方程是解決本題的關鍵.

設甲有錢尤枚，乙有錢y枚，根據“甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解

即可.

【詳解】解：設甲有錢x枚，乙有錢y枚，由題意，得

（x+10=6（y—10）

1%-10=y+10'

解這個方程組，得［二〉

答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣.

考向二：一元二次方程

【題型4一元二次方程根的判別式】

0O目圖

對于一元二次方程的一般形式：ax2+6x+c=0（a/0）,

（l）Z?2-4ac>0—?方程有兩個不相等的實數根

（2）/-4ac=0一?方程有兩個相等的實數根

⑶4acV0—.方程沒有實數根

注意：在應用根的判別式時，若二次項系數中含有字母，注意二次項系數不為0這一條件；

當尸-4ac20時，可得方程有兩個實數根，相等不相等未知

1.（2024?四川自貢?中考真題）關于尤的一元二次方程/+依-2=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程a/+以+c=0（a片0）中，當△>。

時，方程有兩個不相等的實數根是解題的關鍵.根據一元二次方程根的判別式解答即可.

【詳解】解：,??△=fc2-4x1x（-2）=爐+8>0,

??.方程有兩個不相等的實數根.

故選：A.

2.（2024?山東泰安?中考真題）關于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實數根,則實數k的取值范圍是（）

QQQQ

A.k"B,/c<-C,fc>-D./c<--

【答案】B

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵.

根據一元二次方程有實數根的條件是4>0,據此列不等式求解即可.

【詳解】解：二.關于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實數根，

=（一3）2-4x2fc>0,解得k<

8

故選B.

3.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）關于x的一元二次方程（皿-2）%2+4%+2=0有兩個實數根，則m

的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.m2—4且zn42D.mW4且m42

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據一元二次方程a/+版+c=0（a片0）的根的判別

式小=b2—4ac的意義得到m-2力0H.A>0,即4?—4x（m-2）x2>0,然后解不等式組即可得到m

的取值范圍.

【詳解】解：???關于久的一元二次方程On-2）比2+叔+2=0有實數根，

???m—20且△>0,

即42—4x（6-2）x2>0,

解得：m<4,

ni的取值范圍是m<4且ni豐2.

故選：D.

4.（2024?湖南?中考真題）若關于尤的一元二次方程/—4x+2k=0有兩個相等的實數根，則左的值為

【答案】2

【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數.一元二次方程a/+版+c=0（a片0）有兩個不

相等的實數根，則A=b2—4ac>0；有兩個相等的實數根，則A=b2—4ac=0；沒有實數根，則4=

b2-4ac<0.據此即可求解.

【詳解】解：由題意得：△=爐-4ac=（-4尸一4x1x2/c=0,

解得：k=2

故答案為：2

【題型5一元二次方程根與系數的關系】

完全拿下這部分分數，除了熟記根與系數的關系的公式外，還要熟悉完全平方公式的變形：

若一元二次方程欠2+以+。=0（。彳0）的兩個根為七、x2,則有/+%2=-2,%1?X,=—

一aa

當問題中出現“方程的兩個根是……”時，通常就要想其根與系數的關系了，若不能直接利用原公式，則

結合完全公式，想其常用變形：

(1)xf+x2=(%1+尤2>-2尤］工2

⑶五+三

xix2XxX2

1.（2024?山東日照?中考真題）已知，實數的,X2。1力電）是關于尤的方程+2kx+1=0a力0）的兩個

根，若工+工=2,則/的值為（）

XlX2

B.-1

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程+圾+c=0（aW0）,

若久「％2是該方程的兩個實數根，則久1+%2=-，=，據此得到％1+外=一2,/％2=%再由

工+2=2得到一2女=2,據此可得答案.

Xix2

【詳解】解：是關于X的一元二次方程左/++1=o（k。0）的兩個根，

,c1

%1+%2=—2,11久2=%.

1.1Q

X1x2

.%1+%2_D

X1X2

?專=2

k

-2k=2,

解得k=-1,

經檢驗，k=-1是原分式方程的解，

故選：B.

2.（2024.四川巴中?中考真題）已知方程/—2x+k=0的一個根為—2,則方程的另一個根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系.設方程的另一個根為如根據兩根之和等

于-2,即可得出關于根的一元一次方程，解之即可得出結論.

a

【詳解】解：設方程的另一個根為機，

:方程/-2x+k=0有一個根為一2,

—2+TTI=2,

解得：m=4.

故答案為：4.

3.（2024.山東德州.中考真題）已知a和匕是方程L+2024%-4=0的兩個解,則a?+2023a—6的值

為.

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數關系、代數式求值，先根據方程的解滿足方程以及根

與系數關系求得小+2024a=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：?.?〃和b是方程/+2024%-4=。的兩個解，

:?+2024。-4=0,a+b=-2024,

a2+2024a=4,

a2+2023a-b

=a2+2024a—（a+b）

=4-（-2024）

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

4.（2024.四川內江.中考真題）已知關于久的一元二次方程%2—p%+l=。（p為常數）有兩個不相等的實數

根%1和%2?

⑴填空：%i+%2=，=；

（2）求工+—9久1+—；

（3）已知好+好=2p+1,求p的值.

【答案】⑴p,1;

（2）1+/=P，/+；P；

（3）p=3.

【分析】本題考查了一元二次方程根和系數的關系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數的關系

是解題的關鍵.

（1）利用根和系數的關系即可求解；

（2）工+工變形為包母，再把根和系數的關系代入計算即可求解，由一元二次方程根的定義可得xj—

%2Xi%2

；

pxr+1=0,即得%1-p+1=0,進而可得久1+}=P

（3）把方程變形為01+%2）2-2%1%2=2p+1,再把根和系數的關系代入得p2—2=2p+1,可得p=

-1或p=3,再根據根的判別式進行判斷即可求解.

【詳解】（1）解：由根與系數的關系得，％i+%2=P，汽1%2=1，

故答案為：p,1；

（2）角牛：?+%2=P，=1，

??一+“d=P，

Xi%2

??,關于]的一元二次方程式2-p%+l=0（p為常數）有兩個不相等的實數根打和久2，

2

/.xr—pxr+1=0,

x-\~p—=0,

??.?刈14—=p；

%]

（3）解：由根與系數的關系得，％i+%2=P，=1，

Vxf+禍=2p+1,

/.（%1+%2）2—2%1%2=2p+1,

???p2-2=2p+l,

：.P2-2p-3=0,

解得p=-1或p=3,

一元二次方程n2—p%+1=0為久24-X+1=0或久2—3%+1=0,

當p=-l時，△=12—4X1X1=-3<0,不合題意，舍去；

當p=3時，△=（一3）2-4x1x1=5>0,符合題意；

:?p—3.

【題型6一元二次方程的解法】

一元二次方程的解法有4種，重點記憶配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事項：

配方法^—―需要加上的數字是一次項系數一半的平方(/的系數為D,并且先移項，再配方;

因式分解法---重點掌握十字相乘法(常用公式：x2+{p+q)x+pq={x+p\x+q));

公式法——使用這種解法，必須先分析a、b、c的值，求出4ac的值，再帶入公式

1.(2024?貴州?中考真題)一元二次方程產-2%=0的解是()

A?%1—39%2=1B.—2,%2=0C.%1—3,%2=-2D.%1——2,%2=—1

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：x2-2x=0,

.,.%(%—2)=0,

x=0或％—2=0,

??=2,%2=0,

故選：B.

2.(2024?山東德州?中考真題)把多項式/一3%+4進行配方，結果為()

A.(%-3>—5B.(%-+彳

C(X-1)2+TD.(%+|)2+;

【答案】B

【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項法，先加上一次項系數一半的平方使式子中出現完全

平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

根據利用完全平方公式的特征求解即可；

【詳解】解：%2-3%+4

33

=x2-3x+(-)2-(-)2+4

_/3\27

=卜一］)+4

故選B.

3.(2024.青海?中考真題)(1)解一元二次方程：x2-4%+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】(1)比=1或x=3

(2)第三邊的長是VIU或2或

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計

算即可.

【詳解】解：(1)久2一4%+3=0

(x—1)(%—3)=0

x=1或x=3；

(2)當兩條直角邊分別為3和1時，

根據勾股定理得，第三邊為每不N=

當一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據勾股定理得，第三邊為后［N=2V2.

答：第三邊的長是YIU或2或.

【題型7一元二次方程的應用】

000?

解題步驟依然遵循——審、設、歹!I、解、答。

應用題中解出方程的解一般都有2個，做題時注意結合題目實際是否都可取，不符合題意的答案需舍去。

1.(2024.山東青島.中考真題)如圖，某小區要在長為16m,寬為12m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇

四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為m.

【答案】2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2比)m,

寬為(12-2x)m,再根據矩形面積計算公式列出方程求解即可.

【詳解】解：設小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2久)m,寬為(12-2久)tn,

由題意得，(16-2%)(12-2%)=|X16X12,

同理得/一14刀+24=0,

解得x=2或x=12（舍去），

；?小路的寬為2m,

故答案為：2.

2.（2024.西藏?中考真題）列方程（組）解應用題

某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動.四月份投入資金20萬元，六月份

投入資金24.2萬元，現假定每月投入資金的增長率相同.

（1）求該商場投入資金的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元？

【答案】（1）該商場投入資金的月平均增長率10%

（2）預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用、有理數的混合運算的應用，理解題意，找準等量關系，正

確列出一元二次方程是解此題的關鍵.

（1）設該商場投入資金的月平均增長率為X,根據“四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬

元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根據（1）中求得的增長率，即可求得七月份投入資金.

【詳解】（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為工,

由題意得：20x（1+x）2=24.2,

解得：%1=0.1=10%,%2=—2.1（不符合題意，舍去），

該商場投入資金的月平均增長率10%；

（2）解：24.2x（1+10%）=26.62（萬元），

預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元.

3.（2024?遼寧.中考真題）某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量y（件）與每件售價》（元）滿

足一次函數關系，部分數據如下表所示：

每件售價久/元455565

日銷售量y/件554535

（1）求y與x之間的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）該商品日銷售額能否達到2600元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由.

【答案】⑴y=-x+100；

（2）該商品日銷售額不能達到2600元，理由見解析。

【分析】本題考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法

求出y與％之間的函數表達式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程.

（1）根據表格中的數據，利用待定系數法即可求出y與x之間的函數表達式；

（2）利用銷售額=每件售價x銷售量，即可得出關于光的一元二次方程，利用根與系數的關系求解即可.

【詳解】(1)解：設y與％之間的函數表達式為y=k%+b(憶。0),

將(45,55),(55,45)代入丫=4%+)得

f45/c+力=55

l55fc+6=45，

解得｛a=工\,

3=100

y與％之間的函數表達式為y=-x+100；

(2)解：該商品日銷售額不能達到2600元，理由如下：

依題意得X(T+100)=2600,

整理得/-100%+2600=0,

A=b2-4ac=(-100)2-4x1x2600=-400<0,

該商品日銷售額不能達到2600元.

考向三：分式方程

【題型8解分式方程的步驟】

000?

解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗根

分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數的值；

分式方程會無解的幾種情況

①解出的x的值是增根，須舍去，無解

②解出的x的表達式中含參數，而表達式無意義，無解

③同時滿足①和②，無解

求有增根分式方程中參數字母的值的一般步驟：

①讓最簡公分母為0確定增根；

②去分母，將分式方程轉化為整式方程；

③將增根帶入(當有多個增根時，注意分類，不要漏解)；

④解含參數字母的方程的解。

1.(2。24?山東濟寧?中考真題)解分式方程1-高=-矢時，去分母變形正確的是()

A.2—6%+2=-5B.6%—2—2=-5

C.2-6x-l=5D.6%—2+1=5

【答案】A

【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可

去分母.

【詳解】解：方程兩邊同乘2—6%,得2—6%—(2—6%)X=—2-GXX(2—6%),

整理可得：2-6%+2=-5

故選：A.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關于x的分式方程工-￡=0的解是負數，那么實數機的取值范圍

XX+1

是（）

A.m<1且zn力0B.m<1C.m>1D.ni<1且m4一1

【答案】A

【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方

程的解是負數得到爪-1<0,并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出小的取值范圍即可，熟

練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x（x+1）得，x+1-mx=0,

解得x=2，

m-1

?.?分式方程的解是負數，

m-1<0,

m<1,

又,：x（x+1）X0,

.*.%+1=#0,

A—-1,

m-l

.,.m0,

Am<1且THH0,

故選：A.

3.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程二7=1-弋的解為正數，則小的取值范圍（）

x-1X-1

A.m>—3B.m>—3且m4—2

C.m<3D.m<3且m豐—2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方

程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以萬一1得，2=乂一1一根，

解得x=m+3,

???分式方程三=1-￡的解為正數，

x-1x-1

m+3>0,

.\m>—3,

又,：x豐1,

即TH+3W1,

.\mH—2,

.?./n的取值范圍為zn>一3且mH-2,

故選：B.

4.（2023?四川涼山?中考真題）解方程：=^―-

x+lxz-l

【答案】％=2

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到支的值，經檢驗即可得到分式方程的

解.

【詳解】解：二7=六

X+1%2-1

方程兩邊同乘（久+1）（%—1）,

得%（%—1）=2,

整理得，X2-%-2=0,

/.（%+1）（%—2）=0,

解得：/=-1,&=2,

檢驗：當%=-1時，（%+1）（%-1）=0,x=-1是增根，

當％=2時，（%+1）（%—1）=3W0,

???原方程的解為％=2.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵.

【題型9分式方程應用題】

中考中常會以解答題形式考查，也有個別是出選擇題或填空題。解答題形式考查經常會結合不等式或一

次函數等。

列分式方程解應用題的一般步驟：①審，②設，③列，④解，⑤驗（必須要檢驗）⑥答

1.（2024?寧夏.中考真題）數學活動課上，甲，乙兩位同學制作長方體盒子.已知甲做6個盒子比乙做4個

盒子少用10分鐘，甲每小時做盒子的數量是乙每小時做盒子的數量的2倍.設乙每小時做久個盒子，

根據題意可列方程（）

A.--—=10B.---=10C.---=—D.---=—

x2xx2xx2x60x2x60

【答案】c

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設乙每小時做x個盒子，根據“甲每小時做盒子的數量是乙

每小時做盒子的數量的2倍”，則甲每小時做2x個盒子，根據“甲做6個盒子比乙做4個盒子少用10分

鐘”，列出方程士―二=日即可.

x2x60

【詳解】解：設乙每小時做x個盒子，則甲每小時做2X個盒子，

由題意得：

x2x60

故選：C.

2.（2024.四川巴中.中考真題）某班學生乘汽車從學校出發去參加活動，目的地距學校60km,一部分學生

乘慢車先行0.5h,另一部分學生再乘快車前往，他們同時到達.已知快車的速度比慢車的速度每小時快

20km,求慢車的速度？設慢車的速度為xkm/h,則可列方程為（）

/.\—60—---6--0---——1_H---6--0---——60——1

*XX+202*x-20X2

「60601c60601

C.----------------——D.-----------------=—

*x+20X2xx-202

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的應用.設慢車的速度為xkm/h,則快車的速度是（x+20）km/h,再

根據題意列出方程即可.

【詳解】解：設慢車的速度為xkm/h,則快車的速度為（x+20）km/h,根據題意可得：

60_60_1

xx+202'

故選：A.

3.（2024.山東泰安.中考真題）隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農

產品加工企業有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農產品，乙組每天加工2700件農產品，

已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的1.2倍，求甲、乙兩組

各有多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設甲組有x名工人，則乙組有（35-久）名工人.根據題意得

^—X1.2,據此即可求解.

35-xx

【詳解】解：設甲組有％名工人，則乙組有（35—x）名工人.

根_據Lp3題日否思?一4得日：^2700=—3000x1y.—2'

解答：%=20,

經檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意，

35—%=35—20=15.

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.

4.（2024?江蘇揚州?中考真題）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B

型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數

相等.8型機器每天處理多少噸垃圾？

【答案】2型機器每天處理60噸垃圾

【分析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型.

設B型機器每天處理X噸垃圾，則4型機器每天處理0+40)噸垃圾，根據題意列出方程即可求出答案.

【詳解】解：設B型機器每天處理x噸垃圾，貝必型機器每天處理(x+40)噸垃圾，

根據題意，得個=吧，

x+40x

解得％=60.

經檢驗，久=60是所列方程的解.

答：8型機器每天處理60噸垃圾.

5.(2024.重慶?中考真題)為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條

生產線的設備進行更新換代.

(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策.根據相關政策，更新1條甲類生

產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30

條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼.該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？

(2)經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200

萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業

在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？

【答案】(1)該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

(2)需要更新設備費用為1330萬元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的

關鍵.

(1)設該企業甲類生產線有x條，則乙類生產線各有(30-%)條，再利用更新完這30條生產線的設備，

該企業可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；

(2)設購買更新1條甲類生產線的設備為ni萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為(爪-5)萬元，

利用用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，

再建立分式方程，進一步求解.

【詳解】(1)解：設該企業甲類生產線有x條，則乙類生產線各有(30-乃條，則

3x+2(30—x)—70,

解得：%=10,

則30-%=20；

答：該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

(2)解：設購買更新1條甲類生產線的設備為m萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為(爪-5)萬

元，則

200_180

mm-5

解得：m=50,

經檢驗：6=50是原方程的根，且符合題意；

則m-5=45,

則還需要更新設備費用為10x50+20x45-70=1330(萬元);

6.(2024?重慶?中考真題)某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙

兩人分別用4、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據測算需要4B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費用為15000元，已知2種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元.

(1)求力、B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的￡乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任

務所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)4種外墻漆每千克的價格為26元，貝/種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意建立方程是解本題的關鍵；

(1)設2種外墻漆每千克的價格為萬元，則B種外墻漆每千克的價格為(久-2)元，再根據總費用為15000

元列方程求解即可；

(2)設甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任

務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【詳解】(1)解：設4種外墻漆每千克的價格為x元，則8種外墻漆每千克的價格為(x-2)元，

二300x+300(x-2)=15000,

解得：x=26,

：.x-2=24,

答：力種外墻漆每千克的價格為26元，B