第17章一元二次方程（13大重難點題型）

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題型大國囹

題型——元二次方程的解

（23-24八年級下?安徽滁州?階段練習）

1.已知關于x的一元二次方程加y+"=0（°#0）的兩個根分別為-2,3,則方程

a（x+l-〃+〃=0（aK0）的兩個根分別為（）

A.-2,3B.-1,3C.-1,2D.-1,2

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

2.關于x的一元二次方程辦2+加+0=0的兩根為％,x2,記A/1=玉+2024%,

陷=x；+2024x；,…，％=甘+2024H,貝UaM2025+W2024+cM2023的值為（）

A.0B.2023C.2024D.2025

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

3.若。是關于x的方程3x2-x+l=0的一個根，貝U2024-6〃+2。的值是（）

A.2026B.2025C.2023D.2022

試卷第1頁，共18頁

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

4.若加是關于x的方程/-2024x-l=0的根，則（川-2024%-4）（/-2024加+4）的值為

（）

A.-15B.15C.-16D.16

（22-23八年級下?安徽宣城?期中）

5.若切是一元二次方程/+2x-l=0的一個根，則代數式2療+4加+2023的值為.

題型二直接開平方法解一元二次方程

（2023?安徽?模擬預測）

6.在平面直角坐標系中，直線＞=2x+6分別與x的正半軸、了的負半軸相交于4B

兩點，已知a/OB的面積等于16,貝同的值為.

（23-24八年級下?安徽安慶?期中）

7.給出一種運算：對于函數＞=￡',規定了=〃x"T.例如：若函數y=x4,則有;/=4X3.已

知函數y=/對應的y'=36,則x的值是.

（22-23八年級下?安徽安慶?期末）

8.已知x=2+G是方程工2-立+1=0的一個根，貝壯=.

9.解方程：（x-l『-9=0.

10.在實數范圍內定義一種新運算“△”，其規則為：a^b=a2-b2,根據這個規則求

（X+2）A5=0中x的值.

題型三配方法解一元二次方程

（21-22八年級下?安徽馬鞍山?期末）

11.把方程/-4x-l=0轉化成（x+〃"=〃的形式，貝ijm、〃的值是（）

A.2,5B.4,3C.-2,5D.-4,3

（23-24八年級下?安徽淮北?階段練習）

12.一元二次方程丁-4工-7=0,其中較大的一個根為司，下列最接近再的范圍是（）

A.5＜石＜6B.5＜西＜5.5

C.5.3＜再＜5.4D.5.7＜玉＜6

試卷第2頁，共18頁

（23-24八年級下?安徽安慶?期中）

13.我國宋代數學家秦九韶的著作《數書九章》中關于三角形的面積公式與古希臘數學家海

倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”.它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是b,

c,記P="+；+c,S為三角形的面積，S^^p（p-a）（p-b）（p-c）,若一個三角形的三邊

長分別為。，b,c,p=S=15,a=10,J!LZ?>c,則6值為（）

A.10+V22B.10-V22C.10+V15D.10

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

14.解方程：x2-4%=3-8%.

（2024八年級下?安徽?專題練習）

15.觀察下列方程及其解的特征：

（1）請猜想：方程x+^=當的解為=

（2）請猜想：關于X的方程XH■—=_的解為石=4,尤2=—（。。0）；

（3）下面以解方程x+'=￥為例，驗證（1）中猜想結論的正確性.

解：原方程可化為5/-26X=-5

（下面請大家用配方法寫出解此方程的詳細過程）

題型四公式法解一元二次方程

（23-24八年級下?安徽淮北?階段練習）

16.對于實數b,定義運算“※"：a?b=a「5b-3,如3X1=3?-5x1-3=1.若打※

2%=-5,貝口的值為（）

5-V7

9

5+e或5一療V7-5

（23-24八年級下?安徽滁州?期末）

17.解方程：x（3x-5）=9-7x.

（23-24八年級下?安徽淮北?階段練習）

18.我國宋代數學家秦九韶的著作《數書九章》中關于三角形的面積公式與古希臘數學家海

倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”.它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是。，

b,c,記,=a+：+c,s為三角形的面積，那么S=個p（p-a）（p-b）（p-c）.

試卷第3頁，共18頁

(1)在△ABC中，8c=4,AC=7,48=9,請用上面的公式計算ZUBC的面積.

(2)一個三角形的三邊長分別為。，b,c,p=S=15,a=10,S.b>c,求b,c的值.

題型五因式分解法解一元二次方程

(23-24八年級下?安徽蚌埠?期中)

19.已知關于x的一元二次方程(〃?+1)2/+》=-/+1的一個根是0,則方程的另一個根是

()

A.—4B.4C.—D.—

44

(23-24八年級下?安徽安慶?期末)

20.若關于x的方程f-6x+8=0的兩個實數根恰好是等腰三角形/8C的兩邊長，則△/8C

的周長為()

A.8B.10C.12D.8或10

(23-24八年級下?安徽亳州?期中)

21.解方程：(x+l)~=4(x+l)

(23-24八年級下?安徽亳州?階段練習)

22.若實數。，b,我們規定=如(-3)*2=(-3>-(-3)*2=9+6=15.

(1)(6-2)大6+2)的結果是

(2)若(2-x)*x=24,則x的值為

(23-24八年級下?安徽合肥?期中)

23.規定：在實數范圍內定義一種運算其規則為=+方程(》-2)。7=0

的根為.

(23-24八年級下?安徽亳州?期中)

加之+加+〃(加>n\

24.對于實數加，n,定義一種新運算“※”如下：加※〃=2//；5

n+m+n^m<n).

(1)若加=-3,n=2,貝!J/※〃=；

(2)若這(-1)=5,則實數x的值為.

(23-24八年級下?安徽亳州?階段練習)

25.如圖，數軸上點A表示的數為3x+l,點B表示的數為/+2x.若4B=5,且點A在數

試卷第4頁，共18頁

軸的正半軸上，則X的值為.

AB

---1---------1---->

3x+l

（23-24八年級下?安徽阜陽?期末）

26.如圖，等腰三角形的底邊長為6,它的腰長為方程Y-6x+8=0的一個根，則加的值

（23-24八年級下?安徽安慶?期中）

27.定義:若為、是方程af+bx+c=O（"O）的兩個整數根，且滿足后-引=1，則稱此

類方程為“自然方程”，例如：（x-2）（x-3）=0是“自然方程”.

（1）下列方程是“自然方程”的是;（填序號）

①f+x=l；②/+3x+2=0；③/一、=0.

（2）若方程x2-（僅+l）x+m=O是“自然方程”，加的值為.

（23-24八年級下?安徽安慶?階段練習）

28.設后是一個兩位數，其中。是十位上的數字例如：當。=4時，病表示的

兩位數是45.

⑴嘗試：

①當。=1時，152=225=1x2x100+25;

②當。=2時，252=625=2x3x100+25；

③當。=3時，352=1225=3x4x100+25;

④當a=4時，452=2025=.

（2）運用：若益2與100。的和為6325,求a的值.

（23-24八年級下?安徽蚌埠?階段練習）

29.定義：若關于x的一元二次方程辦2+云+。=05#0）中的常數項是該方程的一個根，則

該一元二次方程就叫做常數根一元二次方程.

（1）己知關于x的方程V+x+c=0是常數根一元二次方程，則c的值為；

試卷第5頁，共18頁

⑵如果關于X的方程/+2〃a+7〃+1=0是常數根一元二次方程，則打的值;

（3）若關于x的常數根一元二次方程a/+6x+c=0（aw0）中不含零根，求證：關于y的方程

勺2+少+1=0是常數根一元二次方程.

（23-24八年級下?安徽滁州?期中）

30.【觀察思考】

圍棋起源于中國，至今已有4000多年的歷史.圍棋使用圓形黑白兩色棋子在方形格狀的棋

盤上對弈.現用黑白棋子圍成下列圖案：

?O?O??O?O?O??O?O?O?O?

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規律發現】

（1）請用含〃的式子填空：

第〃個圖案中黑色棋子的個數為白色棋子的個數為二

【規律應用】

（2）結合圖案中兩色棋子的排列方式及上述規律，求正整數"，使得黑色和白色棋子之和

為265個.

題型六換元法解一元二次方程

（22-23八年級下?安徽蚌埠?階段練習）

31.“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為己知”是數學學習中解決問題的基本思維方,

如：解方程x-&=0,就可以利用該思維方式，設4=將原方程轉化為：/->=0

這個熟悉的關于了的一元二次方程，解出了，再求x,這種方法又叫“換元法”，請你用這種

思維方式和換元法解方程：f+4x+442+4x-5=0?方程的解為.

（2024八年級下?安徽?專題練習）

32.（7-3）2+3（y-3）+2=0.

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

33.已知實數。，6滿足（2/+/+1）（2/+/-1）=80,試求2/+/的值.

解：設2/+/=冽，原方程可化為（加+。（加一1）=80,即/=81,解得％=±9.

試卷第6頁，共18頁

■-2a2+b2>0,■-2a2+b2=9.上面的這種方法稱為“換元法”.

請根據以上閱讀材料，解決問題.

（1）若實數x,V滿足（2/+2/-1）（/+/）=3,貝IJ3/+3/一2的值為.

（2）若一元二次方程a（x+〃"+〃=O的兩根分別為-5,3,則方程

a^\/x2+3x+機+1）+/7=0（a豐0）的木艮是.

（23-24八年級下?安徽亳州?階段練習）

34.解高次方程的思想就是“降次”，將含未知數的某部分用低次項替換，例如解四次方程

x4+2x2-8=0Ht,可設丁=/,則原方程可化為「+2了-8=0,先解出外將y的值再代入

了=/中解了的值，由此高次方程得解.解高次方程也可以將方程中某個部分看作一個整體,

例如上述方程中，可將f看作一個整體，得（一『+2x2-8=0,解出/的值，再進一步求解

即可.

根據上述方法，完成下列問題：

（1）若（2/+2/_3）（2/+2/+3）=7,貝+/的值為；

（2）解方程:（/-3y）2-4y2+12^=0.

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

35.讀下列材料：已知實數加，〃滿足（2機2+"2+I）（2/+/-I）=8O,試求2/+〃2的值.

解：設2沈2+/=/,則原方程變為。+1）。-1）=80,整理得/_1=80,？=81,

???t=+9,2m2+n2>0>2m2+;?2=9,

上面這種方法稱為“換元法”，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個

整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化.

根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程.

⑴設。，b滿足等式（'+/）（2/+2/-1）=3,求3/+3/-1的值；

（2）若四個連續正整數的積為24,求這四個連續正整數.

題型七配方法的應用

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

36.新定義，若關于x的一元二次方程：加（工-。）2+6=0與〃（％-。）2+6=0,稱為“同類方

試卷第7頁，共18頁

程”.如2(x-1)2+3=0與6(x—I)2+3=0是“同類方程

(1)2x?-4x+6=0與a(x-l)2+3=0是“同類方程"，則6=；

(2)現有關于x的一元二次方程：2*-1)2+1=0與(4+6)/-(6+8口+6=0是“同類方程”.那

么代數式“X?+隊+5能取的最大值是.

(23-24八年級下?安徽滁州?階段練習)

37.將代數式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質解決問題，這

種解題方法叫做配方法.配方法在代數式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應用.如利

用配方法求最小值，求/一4〃+3的最小值.

解：x2-4a+3=a2-4a+22-22+3=(a-2)2-l,

因為不論。取何值，(。-2)2總是非負數，即(°-2)20,所以>-1,

所以當a=2時，/_40+3有最小值-1.

根據上述材料，解答下列問題.

(1)求式子-/_4a-6的最大值.

⑵若M=2〃_5a+l,N=3a2_a+7,比較M、N的大小.(寫出比較過程)

⑶若等腰三角形的兩邊a,6滿足/+〃-6.-146+58=0,求這個三角形的周長.

(23-24八年級下?安徽淮北?期末)

38.閱讀下列材料：配方法是代數變形的重要手段，是研究相等關系和不等關系的常用方法,

配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來求某些代數式的最值，

我們可以通過以下方法求代數式/+6x+5的最小值.

解：???X2+6X+5=X2+2X(3X)+32-32+5=(X+3)2-4,

V(X+3)2>0,

;當x=-3時，/+6x+5有最小值-4.

請根據上述方法，解答下列問題：

⑴若/+4x+5=(x+a)2+6,貝！1°=_;b=_

⑵求代數式2/+4x7的最值；

(3)若代數式-Y+b+7的最大值為8,求人的值.

試卷第8頁，共18頁

題型八一元二次方程根的判別式

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

39.對于關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）的根的情況，有以下三種表述：

①當a<0,b+c>0,a+c<0時，方程一定沒有實數根；

②當。<0,b+c>0,b-c<0時，方程一定有實數根；

③當。>0,b+4a=0Aa+2b+c=Q^,方程一定有兩個不相等的實數根.其中表述正確的

個數是（）

A.0B.1C.2D.3

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

40.定義運算：a^b=a2b-2ab-X,例如:*5=4?x5-2x4x5-l.方程用3=0的根的情

況（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.只有一個實數根

（23-24八年級下?安徽亳州?期中）

41.如果關于X的方程—--2=匕彳有正數解,且關于x的一元二次方程a--20-1=0

2-xx-2

有兩個實數根，則符合條件的所有整數。的和是（）

A.-1B.0C.3D.-3

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

42.關于x的一元二次方程a/+6x+c=0（aw0）,下列說法錯誤的是（）

A.若。一6+。=0,則人2—4。。20

B.若c是方程分之+bx+c=o的一個實數根，則一定有QC+6+I=0成立

C.若方程如2=。沒有實數根，則方程"2+&+C=0必有兩個不相等的實數根

D.若加是方程"2+bx+c=o的一個實數根，則〃-4ac=（2q加+6）2

（23-24八年級下?安徽安慶?期中）

43.若關于％的方程（〃+1*+（2Q-3）x+〃-2=0有兩個不相等的實數根.①求。的取值范

圍為_____________②若關于尤的方程=一一的解為整數且滿足①中條件的所有a

3+x3+x

值的和為，

（23-24八年級下?安徽蚌埠?期中）

試卷第9頁，共18頁

44.若關于x的方程（a+l）x2a2-6x+|z7=0是一元二次方程.

⑴求。的值；

（2）若該方程有兩個相等的實數根，求a+b的值.

（23-24八年級下?安徽淮北?期中）

45.已知關于x的方程/一2機工+加2-〃+1=0.

（1）若原方程有兩個不相等的實數根，求"的取值范圍.

（2）若"為符合條件的最小整數，且該方程的較大根是較小根的5倍，求加的值.

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

46.有一邊長為3的等腰三角形，它的其他兩邊長是方程--4x+左=0的兩根，求左的值.

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

47.已知關于x的一元二次方程（加-1）--2加x+加+5=0有實數根.

⑴求m的取值范圍；

（2）若該方程有一個根是-1,求加的值及方程的另一個根.

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

48.已知：關于x的一元二次方程X?+（2左+l）x+左-1=0.

（1）若x=l是方程的一個根，求人的值；

（2）求證：方程有兩個不相等的實數根.

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

49.已知關于x的一元二次方程/-（左+2）x+"l=0.

（1）求證：無論左取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；

（2）已知5是此方程X?-優+2）x+左-1=0的一個根，求k的值和這個方程的另一個根

（23-24八年級下?安徽滁州?期末）

50.已知關于x的方程爐-2加x+〃/-3=0.

⑴判斷此方程根的情況；

（2）若工=-2是該方程的一個根，求代數式-2蘇-8m-3的值.

題型九一元二次方程的根與系數的關系

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

51.關于x的一元二次方程ax?+Z?x+c=0（。*0）滿足a-b+c=0,且有兩個相等的實數

試卷第10頁，共18頁

根，則下列結論不一定正確的是（）

A.a-c=0B.2a-b=0C.b-2c=0D.a+b+c=O

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

yyivi

52.已知兩個不等實數加，〃滿足3加之_加-2=0,3〃2一〃—2=0,則—I—的值為（）

nm

131313

A.-----B.2C.2或---D.—

666

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

53.方程+—1=0根的情況是（）

A.兩根一正一負B.兩根都是負數C.兩根都是正數D.沒有實數根

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

54.已知加，幾是方程/+4x—3=0的兩個實數根，貝I加2+5加+〃+2024的值是（）

A.2023B.2025C.2026D.2027

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

x+y=a的兩組解是I：：

55.方程組和＜~「，則%。2-々4=

xy=bb

[y2=2

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

56.已知關于x的一元二次方程x2+6x+c=0有兩個不同的實數根.

⑴求c的取值范圍；

⑵若方程X2+6X+C=0的兩個根的差為2,求c的值.

（23-24八年級下?安徽淮北?期末）

57.若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=機有實數根網,乙，且無產乙.

⑴求m的取值范圍.

（2）若了；々+再4=15,求加的值.

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

58.已知關于x的一元二次方程/+（〃+2）》+〃=0.

（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若x=-3是該方程的一個解，求方程的另一個根.

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

59.對于任意一個三位數"如果人滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平

試卷第11頁，共18頁

方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“如意數”.例如：

左=169,因為62=4x1x9,所以169是“如意數

(1)已知一個“如意數”左=100a+106+c(14。、b、c<9,其中a,b,c,為正整數)，請直

接寫出a,b,c,所滿足的關系式」

(2)利用(1)中“如意數”上中的a,b,c,構造兩個一元二次方程ax2+6x+c=0①與

ex1+bx+a=O@,若x是方程①的一個根，X="是方程②的一個根，求加與"滿足的

關系式；

⑶在(2)中條件下，且加+〃=-2,請直接寫出滿足條件的所有發的值.

(23-24八年級下?安徽淮北?期末)

60.已知關于x的一元二次方程x2+(m+4)x+機+3=0.

(1)求證：無論加取何值，方程總有實數根；

(2)若不，龍2是方程的兩根，且父-后=0,求加的值.

題型十增長率問題(一元二次方程的應用)

(23-24八年級下?安徽淮北?期末)

61.2023年10月4日，杭州第19屆亞運會龍舟項目在溫州龍舟運動中心開賽.某商店為

滿足龍舟愛好者的需求，特推出了龍舟模型.已知該模型每件成本30元，當模型售價為50

元時，10月售出300件，11月、12月銷量持續走高，假如12月售出507件.

(1)求11月、12月這兩個月的月平均增長率.

(2)為了讓利于愛好者，商店決定在每月售出507件的基礎上降價銷售.已知模型單價每降

低1元，可多售出5件.若要使該商店仍能獲利5570元，則每件模型應降價多少元？

(23-24八年級下?安徽安慶?期末)

62.安慶市某中學響應習近平總書記“足球進校園”的號召，開設了“足球大課間”活動，現

需要購進100個某品牌的足球供學生使用.經調查，該品牌足球2022年的單價是100元，現

在的單價為81元.

(1)求2022年到現在該品牌足球單價平均每年降低的百分率.

(2)購買期間發現該品牌足球在42兩個體育用品店有不同的促銷方案，A店買十送一，B

店全場9折，通過計算說明到哪個店購買足球更優惠.

(23-24八年級下?安徽合肥?期末)

63.交警部門提醒廣大市民，為保障自身安全，騎車出行必須佩戴安全頭盔.某品牌頭盔在

試卷第12頁，共18頁

銷售單價不變的情況下，5月份的月銷量比3月份增加了44%.

（1）求該品牌頭盔3月份到5月份的月銷售總額的平均增長率（月銷售總額=月銷量x單價）;

（2）若該品牌頭盔5月銷售總額為7000元，按此增長率，請你預測7月份該品牌頭盔月銷售

總額是否超過10000元？

（23-24八年級下?安徽安慶?期末）

64.受益于國家對高新技術企業的大力扶持，某新材料企業的利潤逐月增加.據統計，該企

業今年一月的利潤為128億元，到三月末累計利潤為608億元，若該企業利潤的月平均增長

率相同.

（1）求該企業從一月到三月利潤的月平均增長率；

（2）若該企業四月份保持前兩個月利潤的月平均增長率，求該企業四月份的利潤.

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

65.某品牌襯衫標價為200元/件，為提高銷售量，經過兩次降價后為162元/件，并且兩次

降價的百分率相同.

（1）求該種襯衫每次降價的百分率；

⑵若該種品牌襯衫的進價為100元/件，兩次降價共售出此種品牌襯衫100件，為使兩次降

價銷售的總利潤不少于6560元，第一次降價至少要銷售出多少件該種襯衫？

題型十一與圖形有關的問題（一元二次方程的應用）

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

66.為了節省材料，某農場水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為120

米的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，且這三塊矩形區域的面積都為

225平方米，則圖中區域①矩形的長。為米.

<-------a米-----?

區警一

區域②區域③

II

岸堤

（23-24八年級下?安徽亳州?期中）

67.某水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網在水庫中

圍成了如圖所示的①②③三塊長方形區域，而且這三塊長方形區域的面積相等，設3C的

長度為加.

試卷第13頁，共18頁

（X）AE:BE=；

（2）/8的長度為m（用含有x的代數式表示）；

（3）當長方形區域ABCD的面積為300m2時，求8C的長度.

（23-24八年級下?安徽蚌埠?期中）

68.《勞動教育》成為一門獨立的課程，我校率先行動，在校園內開辟了一塊勞動教育基

地.八年級數學興趣小組在課余時間里，利用一面學校的墻（墻的最大可用長度為22米）,

用長為34米的籬笆（籬笆正好要全部用完，且不考慮接頭的部分），圍成中間隔有一道籬笆

的長方形菜地，在菜地的前端各設計了兩個寬1米的小門，供同學們進行勞動實踐.

AD

wwWW

wwww

33...，W

_____ii___________ii_____

（1）若設菜地的寬為尤米，BC=米（用含x的代數式表示）；

⑵求當x為何值時，圍成的菜地面積為81平方米；

（3）要想圍成菜地面積為120平方米，可能嗎？請計算說明理由.

（23-24八年級下?安徽安慶?期中）

69.某學校開辟一塊矩形的蔬菜種植基地，該基地兩邊靠著一個直角圍墻如圖（圍墻的長足

夠長），另兩邊和AD由總長為80米長的籬笆組成.

（1）若蔬菜種植基地的面積為1200平方米，求AD的長；

⑵能圍成面積為1800平方米的蔬菜種植基地嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理

由.

試卷第14頁，共18頁

（23-24八年級下?安徽合肥?期中）

70.如圖，要建一個面積為150m2的長方形花園/2CD,為了節省材料，花園的一邊利用原

有的一道墻，另三邊用柵欄圍成，5c邊留有2m的門斯，如果柵欄的長為33m.

////J///////////////、/////

AD

（1）若墻足夠長，則花園的長和寬各為多少？

⑵若給定墻長為am,請直接寫出圍成的花園只有一種圍法時，a的取值范圍是

（23-24八年級下?安徽六安?期末）

71.社區利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示.已知空地長2O=52m,

寬48=28m,陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路.已知

鋪花磚的面積為640m2.

（1）求道路的寬是多少米？

（2）該停車場共有車位50個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出;

若每個車位的月租金每上漲5元,就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，

停車場的月租金收入為10000元？

題型十二營銷問題（一元二次方程的應用）

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

72.岳西縣被譽為“中國菱白之鄉”，該縣某村今年種植12萬千克的菱白，計劃在/市和2

市全部銷售，若在N市銷售，每千克菱白的利潤為2元，若在3市銷售，平均每千克菱白

的利潤V（元）與2市的銷售量x（萬千克）之間的關系滿足：尸-0.2X+4.2.

（1）若在N市銷售菱白2萬千克，則銷售完這批菱白共獲利多少萬元；

（2）若該村銷售完所有菱白共獲利28.8萬元，求3市銷售菱白多少萬千克；

試卷第15頁，共18頁

(3)若在B市銷售菱白加萬千克與n萬千克所獲總利潤相同，且機W",請直接寫出m與”

所滿足的關系式：.

(23-24八年級下?安徽安慶?期末)

73.某超市銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，提高進價的16%后的標價為定價.市場

調研表明：

(1)若每臺降價150元，則每天售量為____臺.

(2)該超市要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的售價應為多少元？

(23-24八年級下?安徽亳州?期末)

74.某社區超市銷售甲、乙兩種面粉，已知購買20袋甲種面粉和16袋乙種面粉需要資金

800元，購買40袋甲種面粉和8袋乙種面粉需要資金1000元.

(1)甲、乙兩種面粉每袋的售價分別為多少元？

(2)已知該超市在四月份共售出甲種面粉500袋、乙種面粉300袋.五月份超市將甲種面粉

每袋的售價提高。元，乙種面粉每袋的售價不變，結果與四月份相比，五月份甲種面粉的銷

量下降了10。袋，乙種面粉的銷量上升了2a袋，但甲種面粉的銷量仍高于乙種面粉，銷售

總額比四月份多出3000元，求。的值.

(23-24八年級下?安徽滁州?期末)

75.某品牌粽子專營店在銷售中發現，一盒鮮肉粽的進價為40元，銷售價為60元時，每天

可售出20盒，為了迎接“端午節”，該店決定采取適當的降價措施，以擴大銷售量，增加利

潤，經市場調查發現，若該種粽子每盒降價1元，則平均可多售出3盒.設該種粽子每盒降

價x元；

(1)每天可銷售______盒，每盒盈利元；(用含x的代數式表示)

(2)求該種粽子每盒最多降價多少元時，平均每天可盈利500元.

(3)若店長希望平均每天能盈利800元，這個愿望能實現嗎？請說明理由.

題型十三動態幾何、規律、數字等問題(一元二次方程的應用)

(23-24八年級下?安徽亳州?階段練習)

試卷第16頁，共18頁

76.對于兩個不相等的實數°、6,我們規定符號max{。/}表示0、6中的較大值，如:

max{-3,1}=1按照這個規定，解決下列問題：

(1)max,2跖-36}=.

(2)關于x的方程max{l,x+3}=x2-9(其中x+3")的解為

(23-24八年級下?安徽亳州?階段練習)

77.［觀察思考］

OOOOOOOOOOOOOO△△△△

OOOOOOOOO△△AOOOOO△△△△

OOOOO△△oOoO△△△OOOOO△△△△

OO△OOO△△oOOO△△△OOOOO△△△△

第1個圖案第2個圖案1卷3個圖案第4個圖案

［規律發現］

用含"的代數式填空：

(1)第"個圖案中，“△”的數量有；

(2)第1個圖案中，“。”的數量有4x2；第2個圖案中，“。”的數量有4x3；第3個圖案中,

“。”的數量有4x4；……，第〃個圖案中，“。”的數量有；

［規律應用］

(3)第"個圖案中，若“△”和“。”的數量之和為225,求〃的值.

(23-24八年級下?安徽合肥?期中)

78.如圖，點8在射線上，過點3作射線點C在射線8N上，且

N8=BC=10cm,點P由點/開始沿射線運動，點0由點。開始沿射線CN運動，兩

點同時出發，速度都是lcm/s,尸。與直線NC相交于點。，設點尸的運動時間為f(s),APCQ

試卷第17頁，共18頁

⑴當點P在射線3M上時，S=S^ABC,求t的值.

(2)求出S關于/的函數關系式.

(3)當點尸運動多少秒時,S=^ABC.

(23-24八年級下?安徽淮北?期中)

79.如圖所示的是2024年1月的日歷表，用虛線方框按如圖所示的方法任意圈出四個數,

設這四個數從小到大依次為a,b,c,d.請解答下列問題.

日—*二三四五六

123456

78910111213

16i

141/p>

21!22___23_:24252627

28293031

(1)若用含有a的式子分別表示出6,c,d,則6=_,。=_,"=_；按這種方法所圈出

的四個數中，成的最大值為

(2)若虛線方框中最大數與最小數的乘積為180,求最小數.

(3)虛線方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和能為124嗎？若能，請求出最小數；

若不能，請說明理由.

試卷第18頁，共18頁

1.c

【分析】根據方程。（X-冽『+幾=0（”0）的兩個根分別為-2,3,得到x+l=-2,或

x+1=3,即可求解，

本題考查了，一元二次方程的解，解題的關鍵是：理解方程的解.

【詳解】解：—加）2+〃=0（。。0）的兩個根分別為一2,3,

+1-冽）2+〃=0（Qw0）中，X+1=-2,或x+l=3,

解得：%=一1或%=2,

故選：C.

2.A

【分析】本題考查了一元二次方程的根的概念，解題的根據是理解方程根的定義.

根據題意得至！）西2+如+。=0,ax^+bx2+c=0,代入

x2023

Q“2025+6M2024+0用2023=i（辦；+bx、+c）+2O24x2{cix^+bx2+c）即可求解.

【詳解】???關于X的一元二次方程爾+bx+c=o的兩根為占，x2,

ax^+云1+c=0,ax^++c=0,

.?.Un/MKZ2025+'”bM以2024丁+3cM乙2023

=a（鏟+2024鏟）+6（x產4+2024鏟）+c（鏟+2024鏟）

=X；°23（辦：+如+c）+2024v23（辦；+bx2+c）

=0+0

=0.

故選：A.

3.A

【分析】此題考查了一元二次方程的解和代數式的值，由方程解的定義得到3〃2_Q=—1,

把代數式變形后整體代入即可.

【詳解】解：?.2是關于%的方程3/_工+1=0的一個根，

???3/-。=-1,

???2024-6/+2。

答案第1頁，共49頁

=2024-2(3a2-a)

=2024-2x(-1)

=2026,

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了一元二次方程的解、求代數式的值，由題意得出療一2024加-1=0,從

而得至I」加2-2024加=1,整體代入計算即可得出答案.

【詳解1解：機是關于x的方程x2-2024x-1=0的根，

m2—2024m—1=0,

m2—2024m—1,

...(m2-2024m-4)(m2-2024m+4)=(l-4)x(l+4)=-15,

故選：A.

5.2025

【分析】由加是一元二次方程/+2x-l=0的一個根得到蘇+2加=1,再整體代入

2m°+4m+2023即可得至U答案.

【詳解】解：.??加是一元二次方程/+2》-1=0的一個根，

m2+2加-1=0,

m~+2m=1，

2m1+4m+2023=2(m2+2w)+2023=2x1+2023=2025,

故答案為：2025.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數式的值，熟練掌握一元二次方程的解的定義

是解題的關鍵.

6.-8

【分析】依據題目求出仇0),再根據ZUOB的面積等于16,即可得出答案.

【詳解】當歹=0時，0=2x+b

17

.,.X=——b,

2

???力?

答案第2頁，共49頁

當x=0時，y=b

???8(0,6),

?.?直線＞=2x+6分別與x的正半軸、了的負半軸相交于43兩點，

.1.OA=——b,OB=—b

2

的面積等于16,

f詢=16,

解得：b=-8,6=8(不合題意，舍去).

故答案為：-8.

【點睛】此題考查了一次函數與x軸、丁軸的交點問題，以及三角形面積問題，一元二次方

程的解，掌握一次函數與x軸、了軸的交點的求法是解題的關鍵.

7.-26或26##2月或-2道

【分析】本題考查解一元二次方程一直接開平方法、以及對新定義的理解，解答本題的關鍵

是明確題目中的新定義，利用解方程的方法解答.根據題目中的新定義，可以得到相應的方

程，從而可以求得相應的尤的值.

【詳解】解：；對于函數〉=7，規定了=內1.

又；函數了=/對應的y'=36,

3x2=36,

x2=12,

解得再=-26，x2=273.

故答案為：-26或2VL

8.4

【分析】將x=2+百代入方程/-日+1=0中，解關于左的一元一次方程即可.

【詳解】解：..?》=2+6是方程--.+1=0的一個根，

.?.(2+石『一(2+百伏+1=0,

解得：k=4,

故答案為：4.

答案第3頁，共49頁

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程的解的

定義，是解題的關鍵.

9.x=4或x=-2

【分析】根據直接開平方法計算即可.

【詳解】解：(X-1)2-9=0,

.-.(x-1)2=9,

二.x—1=±3,

解得：%=4或x=—2.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握利用直接開平方法解一元二次

方程.

10.X]=3,%=-7

【分析】根據題意可得方程：(x+2)2-25=0,再利用直接開平方法解方程即可；

【詳解】由題意得：(x+2)2-25=0,

0+2)2=25,

x+2=±5,

x+2=5或x+2=—5,

解得：演=3,々=-7；

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的解法，關鍵是正確理解題意，列出方程.

11.C

【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【詳解】解—2一4%一1=0,

%?—4x=1,

%?—4%+4=1+4,

.-.(x-2)2=5,

m=-2,m=5,

故選：C.

答案第4頁，共49頁

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程一配方法，熟練掌握解一元二次方程一配方法是解

題的關鍵.

12.A

【分析】先利用配方法解一元二次方程求得再=布+2,再根據3<后<4,即可求解.

2

【詳解】解：X-4X-7=0,

x?—4x=7,

配方得，(》一2丫=11,

x—±V1T+2，

???較大的一個根為占，

X]=VH+2,

??-3<VH<4.

???5<VlT+2<6>即5<%<6，

故選：A.

13.A

【分析】本題主要考查二次根式的應用，解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，熟

悉掌握解一元二次方程.

依據題意，由海倫-秦九韶公式轉化得到關于6的一元二次方程即可求解.

【詳解】解：：P=S=15,。=10

a+b+c10+b+c,l

p=----------=-------------=15,

22

6+c=20

即c=20-6

,:s=dp(p_a)(p_b)(p_c)=p

:.p(p-a)(p-b)(p-c)^p2

即(0-。)(0-s(0-c)=p

把p=15,a=10,c=20-6代入得：

(15-10)(15-i)(15-20+6)=15

答案第5頁，共49頁

整理得/-206+78=0,

即(6-10)2=22

;8+c=20且b>c

.-./>>10

:.b-10=y/22

即6=10+后，

故選：A

14.x=±^7—2

【分析】本題考查了一元二次方程的求解，利用配方法是解題的關鍵.

化簡后利用配方法解方程.

【詳解】解：X2-4X=3-8X

化簡為：X2+4X-3=0,

因式分解為：x2+4x+4=3+4,

即(x+2『=7,

x=±vy_2.

15.(1)玉=5,12=不

(3)見解析

【分析】此題考查了學生的綜合應用能力，解題的關鍵是認真審題，尋找規律.

配方法的一般步驟：

(1)把常數項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1,一次項的系數是2的倍

數.

解此題首先要認真審題，尋找規律，依據規律解題.解題的規律是將分式方程轉化為一元二

次方程，再采用配方法即可求得.而且方程的兩根互為倒數，其中一根為分母，另一根為分

母的倒數.

答案第6頁，共49頁

【詳解】（1）解：方程整理得：x+-=5+^,

x5

其解為占=5,x2=1；

（2）解：猜想得：x+’=a+，其解為再=a,x2=-,

xaa

故答案為：“+1（或。+工）；

aa

（3）解：方程二次項系數化為1,

配方得，

號7號，即0苧苫,

開方得，