第二章點、直線和平面的投影§2－2直線的投影下頁總目錄結束§2－1點的投影§2－3平面的投影第二章點、直線和平面的投影§2－1點的投影平面直線點點、直線和平面稱為構成立體的幾何元素§2-1點的投影一、點在三投影面體系中的投影二、點的投影和坐標三、兩點間的相對位置、重影點下頁章目錄上頁結束VHWOXZYHYWVHWOXYZ§2－1點的投影一、點在三投影面體系中的投影Aayaxazaa

a

a

正面投影a

側面投影a水平投影1.點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸（aa

OX）；2.點的正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸（a

a

OZ）；3.點的水平投影到OX軸的距離等于點的側面投影到OZ軸的距離（aax=aaz）。axaz下頁章目錄上頁結束§2－1點的投影例：已知點的正面投影a

和水平投影a，求其側面投影a

a

aa

XZOYWYHaxa

a

OX;a

a

OZ;aax=a

az下頁章目錄上頁結束§2－1點的投影二、點的投影和坐標VHWOXZYHYWa

aa

axaz1.點的坐標XAyAyAVHWOXYZAaa

a

axayazxAyAzAZAXA(Oax)＝Aa

——點到W投影面的距離；YA(Oay)＝Aa——點到V投影面的距離；ZA(Oaz)＝Aa——點到H投影面的距離；點到投影面的距離2.點的投影XA，ZA()XA，yA()yA，ZA()每個投影反映點的兩個坐標；每個坐標在兩個投影中得到反映。下頁章目錄上頁結束cc

VHWOXYZabax§2－1點的投影例：已知點的坐標，求投影。A(15,8,10),B(15,8,0),C(15,0,0)aXZOYWYHa

A15810158a

10a

a

Bb

b

bb

axb

Ccc

c

c

投影面上點，其該面投影與點本身重合，另兩投影在相應的投影軸上；投影軸上點，有兩個投影與點本身重合，另一投影與原點重合。下頁章目錄上頁結束§2－1點的投影三、兩點間的相對位置VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右兩點間的相對位置可用它們同方向的坐標差來判斷兩點中X坐標大的點——在左方兩點中Y坐標大的點——在前方兩點中Z坐標大的點——在上方下頁章目錄上頁結束VHWXZYHYWaa

a

§2－1點的投影XA>XBYA>YBZA>ZB

A在B的左方XA-XB處

A在B的前方YA-YB處

A在B的上方ZA-ZB處

點A在點B的左、前、上方下頁章目錄上頁結束VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右VHWOXYZAaa

a

Bbb

b

§2－1點的投影（

）VHWOXYZAaa

a

C（c

）cc

重影點及可見性當空間兩點位在某一投影面的同一條投射線上時，它們的該面投影重合,這時，空間兩點稱為對該投影面的重影點。對H面的重影點對V面的重影點下頁章目錄上頁結束§2－1點的投影例：已知B點的三投影，A點在B點之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A點的投影。bb

XZOYWYHb

aa

5a

89下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影§2-2直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性三、一般位置直線的實長及其對投影面的傾角四、直線上的點的投影五、兩直線的相對位置六、直角投影定理下頁章目錄上頁結束

§2－2直線的投影一、直線的投影

ABaa

a

bb

b

XZOYWYHbb

b

aa

a

直線上兩點同面投影的連線可確定直線的投影直線對投影面的傾角下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影二、各種位置直線的投影特性VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ投影面平行線：平行于一個、傾斜于另兩個投影面的直線

V面—正平線

H面—水平線

W面—側平線投影面垂直線：垂直于一個、同時平行于另兩個投影面的直線

V面—正垂線

H面—鉛垂線

W面—側垂線投影面傾斜線：對三個投影面都傾斜的直線特殊位置直線一般位置直線下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影1.投影面平行線（1）正平線XZOYWYHaba

b

a

b

投影特性：a

b=AB;ab

OX、a

b

OZ;反映、角的真實角度。VHWOXYZABaa

a

bb

b

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影（2）水平線（3）側平線cd=CD;c

d

OX、c

d

OYW;反映、角的真實角度e

f

=EF;e

fOZ、efOYH;反映、角的真實角度XZOYWYHVHWOXYZEFff

f

ee

e

ef

f

fe

e

VHWOXYZCDcc

c

dd

d

XZOYWYH

cc

c

dd

d

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影1)在與其平行的投影面上的投影顯實長，且與兩投影軸的夾角反映直線對另兩投影面的真實傾角；2)另兩個投影長度縮短，且分別平行于相應的投影軸。例：過點A作正平線AB，長為20mm,α＝30°。aa

XO30°20mmbb

投影面平行線的投影特性VHWOXYZABaa

a

bb

b

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影2.投影面垂直線（1）正垂線ZXOYWYHbaa

(b)b

a

投影特性：a(b)積聚為一點;ab

OX、a

b

OZ。ab＝a

b＝AB;VHWOXYZABba

b

a(b)a

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影（2）鉛垂線（3）側垂線c(d)積聚為一點;c

d

OX、c

d

OYW;e(f)積聚為一點;e

f

OZ、ef

OYH;VHWOXYZCDcc

c

（d）d

d

XZOYWYHcc

c

(d)d

d

c

d＝c

d＝CD;VHWOXYZXZOYWYHEFff

(f)ee

e

ef

(f)fe

e

e

f＝ef＝EF;下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影VHWOXYZABba

b

a(b

)a

投影面垂直線的投影特性1)在與其垂直的投影面上的投影積聚為一點；2)另兩個投影顯實長，且分別垂直于相應的投影軸。VHWOXYZXZOYWYHVHWOXYZXZOYWYH投影面上的直線的投影下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影3.投影面傾斜線ABaa

a

bb

b

b

bXZOYWYHb

aa

a

投影特性：1)直線的三個投影均為傾斜于投影軸的直線;2)投影中不能反映直線段的實長和傾角。下頁章目錄上頁結束例：判斷各直線對投影面的相對位置（b）bb

XZOYWYHc

aa

a

cdc

d

d

AB為____線BC為____線CD為____線§2－2直線的投影側垂線傾斜線水平線下頁章目錄上頁結束VHOXABaa

bb

§2－2直線的投影三、一般位置直線段的實長及其對投影面的傾角1.求線段的實長及對水平面的傾角

ZAB

B0

ZAB

AB

abAB

bb

XOaa

ZAB

直角三角形法下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影2.求線段的實長及對正平面的傾角

VHOXABab

a

b

yAB

yAB

AB

AB

bb

XOaa

yAB

A0a

b

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影3.求線段的實長及對側平面的傾角

bb

XZOYWYHb

aa

a

XAB

XAB

AB

ABaa

a

bb

b

XAB

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影直角三角形法小結ABaa

a

bb

b

記憶立體圖實長傾角投影長坐標差實長投影長坐標差傾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB四個量中，已知兩個量可求出另外兩個量下頁章目錄上頁結束例：已知直線AB的正面投影a

b

及點B的水平投影b,

=30°,求ab。實長投影長坐標差傾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB§2－2直線的投影Xa'b'b30°ababaa

ZAB下頁章目錄上頁結束OABaa

a

bb

b

§2－2直線的投影四、直線上點的投影Za

bb

XOYWYHb

a

ac

c

cC1、點在線上，則點的投影必在直線的同面投影上；2、點分線段成定比，其空間比等于投影比。

AC：CB=ac：cb=a

c

：c

b

=a

c

：c

b

c

c

c下頁章目錄上頁結束c

AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=2:1

§2－2直線的投影例1已知線段AB的投影圖，試將AB分成AC:CB=2:1兩段，求分點C的投影。OXbb

aa

c0b0c

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影下頁章目錄上頁結束例2已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bcc

ca定比作圖方法b

a

abcXOb

c

bcaa

VHXBACO§2－2直線的投影下頁章目錄上頁結束a

b

例2已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。OZYHYWc

a

b

c

bcaa

VHXBACOb

a

abcXOc0c

§2－2直線的投影例3.在直線AB上取一點C,使AC=L，求點C的兩投影。a

b

abL

ZAB

ZABcb0ABVHOXABaa

bb

CLc

cLXO下頁章目錄上頁結束VHOXAaa

CcLc

§2－2直線的投影例3.在過點A且已知方向的直線上取一點C,使AC=L，求點C的兩投影。c'a'adL

ZAD

ZADcd0c0ADLDdd

d'XO下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影五、兩直線的相對位置1.平行兩直線aa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

（1）若空間兩直線平行，則他們各同面投影仍然平行。（2）兩直線段空間長度比等于他們各同面投影的長度比。下頁章目錄上頁結束VHOXADaa

CBb

c

d

bcdaa

XZOYWYHb

c

d

bcd§2－2直線的投影a

b

c

d

若兩直線的各同面投影互相平行，則兩直線空間平行；當為一般位置直線時，若有兩個同面投影互相平行，則兩直線空間平行。下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影2.相交兩直線VHXADaa

CBb

c

d

bcdOKk

kaa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

k

kk

若空間兩直線相交，則他們各同面投影也相交，且三個交點符合一點的投影規律。下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影若兩直線的各同面投影都相交，且交點符合一點的投影規律，則空間兩直線相交；當兩直線均為一般位置直線時，若有兩個同面投影滿足上述條件，則空間兩直線相交。aa

XZOYWYHb

c

d

bcdc

d

a

b

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影3.交叉兩直線bb

XOaa

c

d

cd121

(2)既不平行又不相交的兩直線VHXADaa

CBb

c

d

bcdO121

(2)ⅠⅡ下頁章目錄上頁結束3412（）bb

XOaa

c

d

cd（）§2－2直線的投影21判斷兩直線上重影點投影的可見性Ⅰ∈ABⅡ∈CDⅢ∈ABⅣ∈CD判斷重影點重合投影的可見性時，要在其他投影中比較它們坐標的大小。4

3

下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影六、直角投影定理空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。若兩直線的某面投影互相垂直，且其中一條平行于該投影面，則兩直線空間互相垂直。AaCBbcHbb

XOaa

c

c下頁章目錄上頁結束§2－2直線的投影d

例1已知長方形ABCD中邊BC的兩投影和邊AB的正面投影（a'b'//OX)，求作長方形的兩投影。bb

XOa

c

cadABCD有ab

bc分析：

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。因為AB

BC,且AB

H根據直角投影定理下頁章目錄上頁結束（e）§2－2直線的投影空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。fe

f

分析：ABCDEFabecdfH因為AB

H,EF

AB,所以EF//H；又因為EF

CD,EF//H所以ef

cd。例2求直線AB和CD間的最短距離。Xcd（b）b

aa

c

d

o因為EF//H,所以e'f'//OX；EF

AB,EF

CD下頁章目錄上頁結束f0§2－2直線的投影e

ef

f

ZFE

ZFELc0cc

dd

ABCDEL

L

例3已知菱形ABCD的對角線AB的兩投影，另一對角線CD長為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。Xa

ab

bLo分析：因為AB

CD,且AB//H所以ab

cd；于是CD成為過E點且已知方向的直線；在CD線上取點C和D,使EC=ED=L,求投影c、d下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影§2-3平面的投影一、平面的投影二、各種位置平面的投影特性三、平面上的點和直線下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影一、平面的投影1.用幾何元素表示平面各種形式可以互相轉換bb

aa

c

cXObb

aa

c

cXOa

bb

ac

cXObb

aa

c

cXOd

dbb

aa

c

cXO不共線三點直線和線外一點兩相交直線平面圖形兩平行直線下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影2.用跡線表示平面VHWOXYZPPVPHPW

XZOYWYHPVPHPW跡線——平面與投影面的交線正面跡線水平跡線側面跡線平面對投影面的傾角、、下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影二、各種位置平面的投影特性投影面垂直面：垂直于一個、傾斜于另兩個投影面的平面

V面—正平面

H面—水平面

W面—側平面投影面平行面：平行于一個、同時垂直于另兩個投影面的平面

V面—正垂面

H面—鉛垂面

W面—側垂面投影面傾斜面：對三個投影面都傾斜的平面特殊位置平面一般位置平面VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ下頁章目錄上頁結束VHWOXYZaa

(b)bcda

b

c

d

ADCBd

(c)P§2－3平面的投影1.投影面垂直面（1）正垂面PVXZOYWYHa

b

c

d

a

(b)d

(c)abdc

投影特性：abcd積聚為直線;abcd和abcd為面積縮小的類似形。反映

、

角的真實角度；

PV下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影VHWOXYZGHhh

g

e(g)EFh

f

(f)f

e

e

Q(g)f

(f)f

e

e

heh

g

h

g

XZOYWYH（2）鉛垂面（3）側垂面反映、角的真實角度;VHWOXYZi

i

l

j

i

XZOYWYHLKIJj

jk(l)(k)R

RW

(l)i

(k)j

i

l

j

K

ijklRWefgh--直線;efgh和efgh--類似形。反映、角的真實角度;ijkl--直線;ijkl和ijkl--類似形。QHQH下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影投影面垂直面的投影特性1)在與其垂直的投影面上的投影積聚為直線，其與相鄰投影軸的夾角反映平面對另兩投影面的真實傾角；2)另兩投影為面積縮小的類似形。下頁章目錄上頁結束VHWOXYZaa

(b)bcdb

c

d

ADCBd

(c)

Pa

a(d)(c)b

a(b)d(c)PWPH§2－3平面的投影2.投影面平行面（1）正平面XZOYWYHVHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

PHPWa

b

d

c

投影特性：abcd顯示平面的實形;abcd和abcd積聚為直線；abcd∥OX軸、abcd∥OZ軸。下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影（2）水平面（3）側平面efgh--實形;efgh和efgh--直線，分別平行于OX、OYW軸ijkl--實形;ijkl和ijkl--直線，分別平行于OZ、OYH軸VHWOXYZXZOYWYHGHEFff

f

(e)QV(g)g

(h)egh(h)e

Qefghf

(e)g

(h)e

(h)f

(g)QVVHWOXYZi

(i)l

j

XZOYWYHLKIJi(j)l

k

RHR(j)k

(k)li

j

k

l

(i)l

(j)k

i(j)(k)lRH下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影VHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

投影面平行面的投影特性1)在與其平行的投影面上的投影反映平面的實形；2)另兩個投影積聚成直線，且分別平行于相應的投影軸。3.投影面傾斜面1)三個投影均為面積縮小的類似形；2)投影不反映平面的真實形狀和傾角。VHWOXYZa

b

aACBc

bca

c

b

下頁章目錄上頁結束ABC為_______面SAC為_______面SAB為_______面SBC為_______面§2－3平面的投影例1判斷三棱錐各表面的位置水平面側垂面傾斜面傾斜面下頁章目錄上頁結束§2－3平面的投影例2過點A作鉛垂面，使

＝30°例3過直線AB作正垂面b

c

aa

XObc30°XOa

b

ab