第二章方程（組）與不等式（組）第08講：一元一次不等式（組）的解法及其應用（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一不等式及不等式的基本性質考點二一元一次不等式考點三一元一次不等式組考點四不等式（組）的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一不等式及其性質題型01不等式的概念及意義題型02不等式的性質命題點二一元一次不等式題型01求一元一次不等式解集題型02一元一次不等式整數解問題題型03利用數軸表示一元一次不等式解題型04含絕對值的一元一次不等式命題點三一元一次不等式的應用題型01列一元一次不等式題型02用一元一次不等式解決實際問題題型03用一元一次不等式解決幾何問題命題點四一元一次不等式組題型01解不等式組題型02求不等式組整數解題型03由一元一次不等式組的解集求參數題型04由不等式組的解集求參數命題點五不等式組的實際應用題型01利用一元一次不等式組題型02不等式組的經濟問題題型03不等式組的方案問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升0考點要求新課標要求考查頻次命題預測不等式及不等式的基本性質結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質10年8考中考數學中，一元一次不等式(組)的解法及應用題時有考察.其中不等式性質、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現，難度不大.而不等式（組）相關的應用題常會和其它考點(如二元一次方程組、二次函數等)結合考察，常以解答題形式出現，此時難度上升，需要小心應對.對于一元一次不等式（組）中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學生應在復習過程中扎實掌握．一元一次不等式能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集近10年連續考查一元一次不等式組會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集.10年7考不等式（組）的實際應用能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.10年8考考點一不等式及不等式的基本性質一、不等式的相關概念不等式的定義：用不等號“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.二、不等式的性質基本性質1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質2若a>b,c>0，則ac>bc（或）基本性質3若a>b,c<0，則ac<bc（或）11.方程與不等式的區別：方程表示的是相等關系，不等式表示的是不等關系.2.常見的不等號有：≠，>，≥，<，≤五種.3.用數軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.4.不等式的解與不等式的解集的區別與聯系：1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的某個值.2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數的所有的值.3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.5.在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同時要根據關鍵詞準確地選用不等號．另外，對一些實際問題的分析還要注意結合實際．6.運用不等式的性質的注意事項：1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．3）等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數或分母．4）運用不等式的性質進行不等式變形時,要特別注意性質2和性質3的區別,在乘(或除以)同一個數時,必須先弄清楚這個數是正數還是負數,如果是負數,不等號要改變方向.考點二一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式：或.步驟具體做法依據注意事項去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數不等式性質2、31）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數時，先將小數化成整數，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號分配律去括號法則1)去括號時，括號前的數要乘括號內的每一項;2)括號前面是負數時,去掉括號后,括號內各項都要變號；3）括號前面是正數時,去掉括號后,括號內各項都不變號.移項把含有未知數的項移到不等式左邊，其它項都移到不等式右邊不等式性質11）移項時不要漏項;2）將不等式中的項從一邊移到另一邊要變號.而在不等式同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把不等式變為或的形式合并同類項法則1）不要漏項；2）系數的符號處理要得當.系數化為1將不等式兩邊都除以未知數系數a，得到不等式的解不等式性質2、31)不等式兩邊都除以未知數系數;2)當系數為負數，不等號的方向發生改變.1.一元1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.2.進行“去分母”和“系數化為1”時，要根據不等號兩邊同乘以（或除以）的數的正負，決定是否改變不等號的方向，若不能確定該數的正負，則要分正、負兩種情況討論．3.在解一元一次不等式時,上述的五個步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.考點三一元一次不等式組一元一次不等式組的概念：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．不等式組解集的確定有兩種方法：1）數軸法：在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．解一元一次不等式組的一般步驟：求出不等式組中各不等式的解集.將各不等式的解決在數軸上表示出來.在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.1.在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.1.在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.2.利用數軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.考點四不等式（組）的實際應用一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：1）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．2）對一些實際問題的分析還要注意結合實際.有些不等關系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本.設買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數不能超過50元.由此可得出不等式6x≤50.用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.命題點一不等式及其性質?題型01不等式的概念及意義1、以下表達式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【提示】根據不等式的定義進行判斷即可．【詳解】解：、、是不等式，和不是不等式，即不等式有3個，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號連接的式子是不等式是解本題的關鍵．2、（2020·河北·統考模擬預測）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“不是負數”表示為 B．“不大于5”表示為C．“與4的差是正數”表示為 D．“不等于4”表示為【答案】C【提示】根據題意列出不等式即可判斷．【詳解】A、∵m不是負數，∴m≥0，A選項錯誤；B、∵m不大于5，∴m≤5，B選項錯誤；C、∵n與4的差是正數，∴n?4＞0，C選項正確；D、∵n不等于4，∴n＜4或n＞4，D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個選項的正誤是解題的關鍵．3、（2023南寧市模擬）a是非負數的表達式是（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】非負數就是正數和零，即大于等于零的數是非負數判斷即可．【詳解】∵a是非負數，∴，故選：D．【點睛】本題考查了非負數，熟練掌握定義是解題的關鍵，易錯點是忽略零而導致錯誤．4、（2023·河北保定·統考二模）在四個數中，滿足不等式的有（

）A．－2 B．－3 C． D．1【答案】B【提示】根據各數的大小即可做出判斷．【詳解】在四個數中，，故滿足不等式的有，故選：B【點睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關鍵．?題型02不等式的性質4、（2023·湖南長沙·長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考模擬預測）如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據不等式的性質判斷即可．【詳解】解：因為，所以（不等式的兩邊同時乘同一個負數，不等號的方向改變）．故選：A．【點睛】本題考查不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．5、（2023·湖南常德·統考模擬預測）已知，則下列不等式變形不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．根據不等式的性質進行提示即可．【詳解】解：A、，不等式的性質，，故A正確，不符合題意；B、，不等式的性質，，故B錯誤，符合題意；C、，不等式的性質，，故C正確，不符合題意；D、，不等式的性質，，故D正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了不等式的性質，解題關鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變．6、（2023·浙江嘉興·統考二模）已知是實數，且，下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【提示】根據不等式的性質，逐項提示判斷即可求解．【詳解】解：A.若，，則，故該選項正確，符合題意；

B.若，，則，故該選項不正確，不符合題意；C.若，則不一定成立，例如，則，故該選項不正確，不符合題意；

D.同C選項，可得，若，則不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．不等式的性質：不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．7、（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學校考三模）設，，為實數，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【提示】根據不等式的性質進行運算辨別即可．【詳解】解：若，不一定成立，即不一定成立，故選項A不符合題意；若，時，，故選項B不符合題意；若，時，則，故選項C不符合題意；若，則，故，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了不等式性質的應用能力，關鍵是能根據不等式的變化正確選擇對應的性質．8、（2022·江蘇鎮江·統考中考真題）如圖，數軸上的點A和點B分別在原點的左側和右側，點A、B對應的實數分別是a、b，下列結論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】依據點在數軸上的位置，不等式的性質，絕對值的意義，有理數大小的比較法則對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且＜，∴，∴A選項的結論不成立；，∴B選項的結論不成立；，∴C選項的結論不成立；，∴D選項的結論成立．故選：D．【點睛】本題主要考查了不等式的性質，有理數大小的比較法則，利用點在數軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關鍵．命題點二一元一次不等式?題型01求一元一次不等式解集9．（2024·安徽·三模）解不等式：【答案】【分析】本題考查的知識點是解一元一次不等式，解題關鍵是熟練掌握解一元一次不等式的相關運算．根據解一元一次不等式的相關運算方法即可求解．【詳解】解：，，．10．（2024·浙江·模擬預測）．【答案】【分析】此題考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括號、移項、合并同類項，系數化1的步驟解不等式即可．【詳解】解：去分母，得：，

去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為1，得：．11．（2024·北京·模擬預測）解下列不等式：，并求出滿足不等式的非負整數解．【答案】，．【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據解一元一次不等式的方法求解即可，解題的關鍵是掌握一元一次不等式的求解方法．【詳解】解：，∴不等式的非負整數解為．12．（2024·陜西西安·模擬預測）解不等式，并將該不等式的解集在如圖所示的數軸上表示出來．【答案】，數軸見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式和在數軸上表示不等式的解集，注意在數軸上表示解集時，大于等于或小于等于用實心點，大于或小于用空心點．首先解不等式，求出不等式的解集，再在數軸上表示出不等式的解集即可．【詳解】解：去分母，得：，解得，把解集在數軸上表示出來，如圖所示：．?題型02一元一次不等式整數解問題13．（2024·四川自貢·模擬預測）不等式的自然數解有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根據自然數的定義得出自然數解即可得出結果．【詳解】解：，去分母得：，移項合并同類項：，所以，∴不等式的自然數解有0，1，2共3個，故選：C．14．（2024·山東濟南·模擬預測）已知不等式的正整數解有2個，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式的整數解，按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【詳解】解：，，，∵不等式的正整數解有2個，∴，∴，故選：D．15．（2024·浙江溫州·一模）已知關于x的不等式的負整數解只有,則m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得不等式的解集，再利用數軸求解即可．本題考查了不等式的解集，根據解集求參數，熟練掌握不等式解集是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∵不等式的負整數解只有,∴符合題意的m取值范圍如圖所示，∴，故選B．16．（2023·福建漳州·一模）關于x的不等式恰有兩個負整數解，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解不等式，然后根據條件即可確定b的值．【詳解】解：∵，，∵不等式恰有兩個負整數解，．故選：B．【點睛】本題考查不等式的整數解問題，解題的關鍵是利用數軸分析，其次解題時必須理解題意，屬于基礎題，中考常考題型．?題型03利用數軸表示一元一次不等式解17（2024·湖南·模擬預測）不等式的解集在數軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．依次移項、合并同類項即可得出答案，也考查了在數軸上表示不等式的解集．【詳解】解∶∵，∴，∴，在數軸上表示為∶，故選∶A．18．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知實數，滿足，則的取值范圍可在數軸表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了絕對值的性質，算術平方根的性質，不等式的性質和在數軸上表示不等式的解集．得出是解題的關鍵．根據題意得出且，求解即可；【詳解】解：∵實數，滿足，，∴且，∴，，∴，在數軸表示為，故選：A．19．（2024·廣東惠州·模擬預測）一個關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖所示，則這個不等式組的解集是（

）

A． B．C．或 D．【答案】D【分析】本題考查在數軸上表示不等式的解集，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題目中的數軸，可以寫出該不等式組的解集．【詳解】解：由圖可得，該不等式組的解集為，故選：D．20．（2024·遼寧·模擬預測）若點在平面直角坐標系的第三象限內，則x的取值范圍在數軸上可表示為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查點的坐標特征、解一元一次不等式組、在數軸上表示解集，根據點P在第三象限可得，再解不等式組，并在數軸上表示即可．【詳解】解：∵點在平面直角坐標系的第三象限內，∴，解①得：；解②得：，∴x的取值范圍在數軸上可表示如圖：故選：C．?題型04含絕對值的一元一次不等式21．（2020·四川自貢·中考真題）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”；數形結合是解決數學問題的重要思想方法.例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．

⑴.發現問題：代數式的最小值是多少？⑵.探究問題：如圖，點分別表示的是，．∵的幾何意義是線段與的長度之和∴當點在線段上時，;當點點在點的左側或點的右側時∴的最小值是3．⑶.解決問題：①.的最小值是；②.利用上述思想方法解不等式：③.當為何值時，代數式的最小值是2．【答案】①6；②或；③或【分析】(3)①根據絕對值的幾何意義可知，變成數軸上的點到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據題意畫出相應的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．【詳解】解：(3)①設A表示的數為4，B表示的數為-2，P表示的數為x，∴表示數軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，表示數軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6.故答案為：6.②設A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應該在A的左側或者B的右側，即不等式的解集為或．故答案為：或．③設A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或.【點睛】此題考查了解一元一次不等式，數軸，絕對值，以及數學常識，掌握絕對值的幾何意義，學會分類討論是解決本題的關鍵．22．（23-24安徽滁州）數學探究小組在學習了不等式知識后開展對絕對值不等式的解集的探究，首先對和進行探究：根據絕對值的意義，將不等式的解集表示在數軸上（如圖1），可得的解集是：；將不等式的解集表示在數軸上（如圖2），可得的解集是：或．

根據以上探究，解答下列問題：(1)填空：不等式（）的解集為______，不等式（）的解集為______；(2)解不等式；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，或(2)或(3)【分析】此題是一個閱讀題目，首先通過閱讀把握題目中解題規律和方法，然后利用這些方法解決所給出的題目，所以解題關鍵是正確理解閱讀材料的解題方法，才能比較好的解決問題．此題是一個絕對值的問題，有點難以理解，要反復閱讀，充分理解題意．（1）由于的解集是，的解集是或，根據它們即可確定和的解集；（2）把當做一個整體，首先利用（1）的結論可以求出的取值范圍，然后就可以求出的取值范圍；（3）先在數軸上找出的解，即可得出不等式的解集．【詳解】（1）根據題干規律可得，不等式（）的解集為；不等式（）的解集為或；（2）由（1）得：由于，所以或，所以或，所以的解集為或；（3）由絕對值的意義得方程的解就是求在數軸上到1和對應點的距離之和等于5的點對應的x的值，因為數軸上1和對應點的距離為3，所以滿足方程的x對應的點在1的右邊或的左邊．若x對應的點在1的右邊，可得；若x對應的點在的左邊，可得；所以方程的解為或，所以不等式的解集為．23．（22-23福建廈門）閱讀理解：例1．解方程，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程的解為．例2．解不等式，在數軸上找出的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程的解為________(2)解不等式：．(3)解不等式：．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）利用在數軸上到對應的點的距離等于5的點對應的數為5或，求解即可；（2）先求出的解，再求的解集即可；（3）先在數軸上找出的解，即可得出不等式的解集．【詳解】（1）解：∵在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數為或5，∴方程的解為：或，故答案為：或．（2）解：在數軸上找出的解，如圖：

∵在數軸上到2對應的點的距離等于1的點對應的數為1或3，∴方程的解為或，∴不等式的解集為．（3）解：在數軸上找出的解，由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到4和對應的點的距離之和等于8的點對應的的值，∵在數軸上4和對應的點的距離為6，∴滿足方程的x對應的點在4的右邊或的左邊，若x對應的點在4的右邊，可得；若x對應的點在的左邊，可得，∴方程的解是或，∴不等式的解集為或．【點睛】本題主要考查了絕對值，不等式，數軸上兩點間的距離公式，解題的關鍵是理解表示在數軸上數與數對應的點之間的距離．24．（22-23上海）閱讀理解：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．例1.解方程，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程的解為；例2.解不等式，在數軸上找出的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問題：(1)的解為____________；(2)找出所有符合條件的整數，使得，這樣的整數是____________；(3)不等式的解集為____________．【答案】(1)或(2)，，，0，1，2(3)或【分析】（1）根據材料定義，理解為數軸上到3的距離為2的點即為表示的數，從而求解；（2）根據材料定義，理解為數軸上到2的距離與到的距離之和為5點即為表示的數，由此結合數軸求解即可；（3）在（2）的基礎上，求出數軸上到2的距離與到的距離之和大于7的的范圍即可．【詳解】（1）解：，或，∴或，故答案為：或；（2）解：要使得，即：數軸上到2的距離與到的距離之和為5，∵數軸上和2之間的距離恰好為5，∴，∵為整數，∴，，，0，1，2，故答案為：，，，0，1，2；（3）解：要使得，即：數軸上到2的距離與到的距離之和大于7，首先在數軸上找出的解（如圖），

由（2）可知數軸上和2之間的距離恰好為5，∴要使得到2的距離與到的距離之和等于7，則或，∴的解集為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，以及利用絕對值的幾何意義解方程和不等式，熟練利用絕對值的幾何意義和數軸分析是解題關鍵．命題點三一元一次不等式的應用?題型01列一元一次不等式25．（2024·廣東陽江·二模）與6的和不大于0，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式．根據“與6的和不大于0”，即可列出關于的一元一次不等式，此題得解．【詳解】解：根據題意得：．故選：D．26．（2022·廣東河源·二模）如圖，x和5分別是天平上兩邊的砝碼的質量，則x的取值范圍在數軸上可表示為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】托盤天平是支點在中間的等臂杠桿，天平平衡時砝碼的質量等于被測物體的質量，根據圖示知被測物體的質量x小于砝碼的質量，再在數軸上表示不等式即可．【詳解】解：根據圖示知被測物體的質量x小于砝碼的質量，即x＜5；所以在數軸上表示如下：故選D．【點睛】本題考查了不等式的相關知識，在數軸上表示不等式的解集，利用“天平”的不平衡來得出不等關系，體現了“數形結合”的數學思想．27．（2020·廣東廣州·二模）小麗計劃節省部分零花錢購買一臺學生平板電腦，她已存有元，并計劃從本月起每月存錢元，直到她至少存有元，設個月后小麗至少有元，則可列出不等式為（）A．B． C． D．【答案】D【分析】首先根據小麗每月存30元且存個月可知這段時間小麗共存元，由此根據題意進一步表示出個月后小麗所具有的零花錢，最后結合題意即可得出不等式.【詳解】∵小麗每月存30元，且存個月，∴這段時間小麗共存元，∵小麗至少要存有元，∴可列不等式為：，故選：D.【點睛】本題主要考查了不等式的實際應用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.28．（2022·吉林·中考真題）與2的差不大于0，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據差運算、不大于的定義列出不等式即可．【詳解】解：由題意，用不等式表示為，故選：D．【點睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于”是解題關鍵．?題型02用一元一次不等式解決實際問題29．（2023·廣東佛山·一模）某環保知識競賽一共有20道題，規定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明被評為優秀（85分或85分以上），則小明至少答對了______道題．（

）A．17 B．18 C．19 D．16【答案】B【分析】設小明答對了x道題，則答錯和不答的一共有道題，再根據答對一題得5分，答錯或不答一道題扣1分列出不等式求解即可．【詳解】解：設小明答對了x道題，則答錯和不答的一共有道題，由題意得，，解得，∵x為正整數，∴的最小值為18，∴小明至少答對了18道題，故選B．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的實際應用，正確理解題意找到不等關系是解題的關鍵．30．（2024·廣東惠州·模擬預測）某服裝的進價為元，出售時標價為元，由于換季，商場準備打折銷售，但要保證利潤率不低于，那么該服裝至多打（）折A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各個數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．設該服裝打折銷售，利用利潤售價進價，結合要保證利潤率不低于，可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．【詳解】解：設該服裝打折銷售，根據題意得：，解得：，的最小值為，即該服裝至多打折．故選：C．31．（2024·吉林長春·模擬預測）某高速公路工地需要實施爆破，操作人員點燃導火線后，要在炸藥爆炸前跑到400米以外的安全區域．已知導火線的燃燒速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．設導火線的長度為厘米，問導火線必須滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式.根據題意可知：操作人員點燃導火線后，要在炸藥爆炸前跑到400米以外的安全區域，列出不等式即可．【詳解】解：設導火線的長度為厘米，根據題意得，，故選：B．32．（2024·遼寧·模擬預測）丹東九九草莓是一種品質優良、花朵大、果實顏色鮮艷且糖度高的草莓品種，廣泛栽培于遼寧省的丹東市和周邊地區．因其好看、好吃等特點，在市場上備受歡迎．某大型超市從生產基地花費4000元購進丹東九九草莓，運輸過程中質量損失，超市計劃銷售這批草莓至少獲得的利潤（不計其他費用），售價至少定為多少？設售價定為x元/kg，根據題意，可列不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次不等式的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出不等關系，列出不等式即可得到答案．【詳解】解：根據題意可得，這批草莓可賣元．根據“這批草莓至少獲得20%的利潤”，得．故選：B．?題型03用一元一次不等式解決幾何問題33．（2024·河北石家莊·一模）已知數軸上有，兩點，點表示的數為，點表示的數為．(1)當時，求線段的長；(2)若點與點關于原點對稱，求點表示的數；(3)若點在點的左側，求的正整數值．【答案】(1)；(2)點表示的數為；(3)的正整數值為，，．【分析】本題考查數軸上兩點之間的距離，一元一次方程，一元一次不等式，掌握數軸上點表示數的大小與位置關系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解題關鍵．（1）根據，得到點表示的數和點表示的數，在利用兩點間距離公式，即可解題；（2）根據點與點關于原點對稱，表示的數為相反數，列式即可解得．（3）根據點在點的左側，根據左側的數小于右側的數，列出不等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：當時，點表示的數為，點表示的數為，；（2）解：點與點關于原點對稱，，解得，，點表示的數為；（3）解：若點在點的左側，，解得，的正整數值為，，．34．（2023·河南新鄉·三模）已知拋物線與軸交于、兩點，點在點的左側．(1)請求出拋物線對稱軸和點A、B的坐標；(2)已知點、，且拋物線與線段只有一個公共點，請求出的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為直線，點，(2)或【分析】（1）根據求拋物線的對稱軸，令，解方程即可求出點A、B的坐標；（2）先計算出拋物線與直線的交點坐標，拋物線經過定點，，分和兩種情況，根據拋物線與線段只有一個公共點，判斷點與點的位置關系，進而列不等式即可求解．【詳解】（1）解：對稱軸為直線，，當時，或，點在點的左側點，．（2）解：當時，，∴拋物線與直線的交點坐標為，由（1）知，拋物線經過定點，，分和兩種情況討論：當時，拋物線開口向上，當拋物線與線段只有一個公共點時，點在點下方或者點與點重合，∴，解得，∴；當時，拋物線開口向下，當拋物線與線段只有一個公共點時，點在點下方，∴，解得，∴；綜上所述，a的取值范圍為或．【點睛】本題考查求二次函數的對稱軸，與x軸的交點坐標，拋物線上的點的坐標，以及根據圖形求所含參數的取值問題，解題的關鍵是熟練掌握二次函數圖象的性質和數形結合思想的運用．35．（2022·河北邯鄲·三模）如圖，數軸上點O為原點，點A，B，C表示的數分別是，，．(1)________（用含m的代數式表示）；(2)若點B為線段的中點，求的長；(3)設，求當與的差不小于時整數x的最小值．【答案】(1)(2)(3)整數x的最小值為25【分析】（1）直接利用兩點之間的距離公式進行計算即可；（2）點B為線段的中點，可得，再建立方程求解即可；（3）由，，，再利用當與的差不小于，建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：∵點A，B表示的數分別是，，∴；（2）∵點B為線段的中點，∴，∵，，即，解得．∴B點表示的數為，∴．（3）∵，，，由題意得，解得，∴，∴整數x的最小值為25．【點睛】本題主要考查數軸上兩點間的距離，列方程、不等式解決問題，考查學生的幾何直觀和運算能力．36．（2023·河北衡水·模擬預測）如圖，點A，B均在數軸上，點B在點A的右側，點A對應的數字是，點B對應的數字是m．(1)若，求m的值；(2)將線段三等分，這兩個等分點所對應數字從左到右依次是，，若，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據和點A表示的數即可求出m的值；（2）首先根據題意表示出，然后根據三等分點的特點表示出，最后利用求不等式即可．【詳解】（1）∵，∴，即m的值為；（2）∵，∴，∴，∵，∴，解得．【點睛】此題綜合考查了數軸的有關內容及一元一次不等式組的解法，解題的關鍵是掌握以上知識點命題點四一元一次不等式組?題型01解不等式組37．（2024·廣東廣州·模擬預測）解不等式組：．【答案】【分析】本題考查解不等式組，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：．38．（2024·廣東中山·三模）解不等式組．【答案】【分析】本題考查求不等式組的解集，求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得解不等式，得不等式組的解集為39．（2024·廣東惠州·三模）解不等式組，并在數軸上表示它們的解集．【答案】，數軸見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示解集．熟練掌握解一元一次不等式組，在數軸上表示解集是解題的關鍵．先分別計算兩個不等式的解集，進而可得不等式組的解集，最后在數軸上表示解集即可．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為．在數軸上表示它們的解集如下：40．（2024·廣東揭陽·一模）解不等式組，并把解集表示在數軸上．【答案】，圖見解析【分析】本題考查了解一元一次方程組、運用數軸表示不等式組的解集，先把每個不等式的解集解出來，再運用數軸表示不等式組的解集，即可作答．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集為，其解集在數軸上表示如下：?題型02求不等式組整數解41．（2024·廣東·模擬預測）下列數值不是不等式組的整數解的是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】本題考查了不等式組的解法及整數解的確定．先求出每個不等式的解集，再確定其公共解，得到不等式組的解集，最后求其整數解即可．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，∴不等式組的解為：，∴整數解為：，不符合的整數為，故選A．42．（2023·廣東潮州·二模）如果關于x的不等式組的整數解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數對共有（）A．42對 B．36對 C．30對 D．11對【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數解的應用，先求出不等式組的解集，根據已知得出關于、的不等式組，求出整數解即可，解此題的關鍵是求出、的值．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集是，∵關關于x的不等式組的整數解僅為1，2，3，∴，，∵m、n為整數，∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20，，所以適合這個不等式組的整數對共有30對，故選：C．43．（2023·廣東東莞·二模）不等式組的整數解的個數是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集，根據不等式組的解集確定整數解及其個數即可．【詳解】解：，解①得，解②得．則不等式組的解集是：．則整數解是2、3、4，共有3個．故選C．【點睛】此題考查的是一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數解，求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．44．（2022·廣東惠州·一模）不等式組的整數解的個數是（

）．A．0個 B．2個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】求出不等式組的解集，根據解集即可確定不等式組的整數解的個數．【詳解】解第一個不等式得：；解第二個不等式得：；∴不等式組的解集為：，所以不等式組的整數解為：?1，0，1，2，共4個整數解．故選：D．【點睛】本題考查了求不等式組的整數解，求出不等式組的解集是解題的關鍵．?題型03由一元一次不等式組的解集求參數45．（2024·四川雅安·三模）若關于的不等式組的解集為，則的值為（

）A． B． C．3 D．1【答案】A【分析】本題考查了根據一元一次不等式組的解集確定參數，解一元一次不等式組；先求出不等式組的解集，再根據已知不等式組的解集與所求不等式組解集比較即可求得m與n的值，從而求出的值．【詳解】解：解不等式得：；解不等式得：；則不等式組的解集為：；由于不等式組的解集為，所以，則，所以；故選：A．46．（2024·廣東深圳·一模）已知不等式組的解集是，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．2024【答案】B【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．分別求出每個不等式的解集，根據不等式組的解集求出的值，再代入計算即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，解集是，，解得，則原式，故選B．47．（2023·廣東深圳·模擬預測）如果關于x的不等式組的解集是，那么m的值為（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】先根據不等式組的解集為得出關于m的方程，再求出m的值即可．【詳解】解：∵關于x的不等式組的解集是，且，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．48．（2022·廣東·二模）已知不等式組，的解集為，則的值為（

）A． B．2022 C．1 D．【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a，x≤-b，由不等式組的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a、b的值，代入計算可得．【詳解】解：由x+a≥0，得：x≥-a，由x+b≤0，得：x≤-b，∵解集是2≤x≤3，∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴，故選：C．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，能求出不等式（或組）的解集是解此題的關鍵．?題型04由不等式組的解集求參數49．（2024·廣東·二模）若一元一次不等式組的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式組的解集，解題關鍵是根據不等式組解集的確定方法，列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：一元一次不等式組的解集為，所以，，解得，，故選：D50．（2024·云南昭通·模擬預測）若關于x的不等式組的解集是，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式組的解集．熟練掌握一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．根據不等式組的解集結合題意求解即可．【詳解】解：，解得，，∵且不等式組的解集為，∴，故選：C．51．（2024·廣東湛江·一模）已知不等式組的解集為，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】本題考查不等式和有理數的乘方，解題的關鍵是先根據不等式求出，的值，再根據有理數的乘方進行運算，即可．【詳解】解不等式組，解得：，∵不等式的解集為：，∴，，解得：，∴．故選：A．52．（2023·廣東深圳·模擬預測）若關于的不等式組有解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，即可確定的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，關于的不等式組有解，，故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．命題點五不等式組的實際應用?題型01利用一元一次不等式組53．（23-24八年級下·廣東深圳·期中）某雙向六車道高速公路，分車道與分車型組合限速，其標牌版面如圖所示，每個標牌上左側數字代表該車道車型的最高通行車速（單位：），右側數字代表該車道車型的最低通行車速（單位：）.王師傅駕駛一輛貨車在該高速公路上依規行駛，車速為，則車速v的范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了不等式的定義．由王師傅駕駛的車輛是貨車，可得出王師傅應走右側兩車道，結合右側車道標牌上速度，即可得出車速的范圍．【詳解】解：王師傅駕駛的車輛是貨車，王師傅應走右側兩車道，車速的范圍是．故選：B．54．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于，蛋白質的含量p應不少于．據此情境，可列不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了列不等式組，解題的關鍵是理解題意，根據酸奶中脂肪的含量f應不少于，蛋白質的含量p應不少于，列出不等式組即可．【詳解】解：∵脂肪的含量f應不少于，蛋白質的含量p應不少于，∴，故選：A．55．（2023九年級·全國）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有1個小朋友所分蘋果不到8個．若小朋友的人數為x，則列式正確的是（

）A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8【答案】C【解析】略56．（21-22九年級下·河北石家莊）檢測游泳池的水質，要求三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗，pH的讀數分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗的pH應該為多少才能合格？設第3次的pH為x，由題意可得（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據算術平均數的定義，并結合三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，從而得出答案．【詳解】解：根據題意知，故選：C．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握算術平均數的定義．?題型02不等式組的經濟問題57．（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）某地脫貧攻堅，大力發展有機農業，種植了甲、乙兩種蔬菜．某超市花430元可購進甲種蔬菜15千克和乙種蔬菜20千克；花212元可購進甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜8千克．(1)求該超市購進甲、乙兩種蔬菜的單價分別為多少元？(2)若該超市每天購進甲、乙兩種蔬菜共計100千克（甲、乙兩種蔬菜重量均為整數），且花費資金不少于1160元又不多于1200元，問該超市有多少種購進方案？【答案】(1)甲種蔬菜的單價為10元，乙種蔬菜的單價為14元(2)共有11種方案【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是理解題意，找準等量關系．（1）設甲單價x元，乙單價y元，根據題意列出方程組計算即可；（2）設購進甲m千克，則購進乙千克，根據題意列出不等式組，求解即可．【詳解】（1）設甲單價x元，乙單價y元，根據題意，得，解得，∴甲種蔬菜的單價為10元，乙種蔬菜的單價為14元；（2）設購進甲m千克，則購進乙千克，由題意得：，解得：，∵是整數∴的值可以為50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11種方案．58．（24-25九年級上·黑龍江佳木斯）“華夏東極”佳木斯市是中國人口較少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚聲全國、源遠流長，其中赫哲族特有文化——魚皮畫，成為省級非遺項目．為宣傳赫哲文化，某文創店準備購進甲、乙兩種魚皮畫，其中乙種魚皮畫的進價比甲種魚皮畫的進價少10元，已知甲種魚皮畫的售價為每件120元，乙種魚皮畫的售價為每件100元，若用2000元購進甲種魚皮畫的數量與用1800元購進乙種魚皮畫的數量相同．(1)求甲、乙兩種魚皮畫每件的進價；(2)要使購進的甲、乙兩種魚皮畫共300件的總利潤不少于4000元，且不超過4100元，問該文創專賣店有幾種進貨方案；(3)文創店準備對甲種魚皮畫進行價格調整，甲種魚皮畫每星期可賣出40件，市場調查反映，如調整價格，甲種魚皮畫每降價1元，每星期可多賣出10件，乙種魚皮畫售價不變，若該專賣店一星期要購進甲、乙共200件魚皮畫且全部售出，如何給甲種魚皮畫定價才能使一星期總利潤最大，此時甲、乙兩種魚皮畫各賣出多少件？【答案】(1)甲、乙兩種魚皮畫每件的進價分別為100元和90元(2)11種(3)甲種魚皮畫售出70件，乙種魚皮畫售出130件【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，分式方程的實際應用，一元一次不等式組的實際應用：（1）設乙種魚皮畫的進價為元，則甲種魚皮畫的進價為元，根據用2000元購進甲種魚皮畫的數量與用1800元購進乙種魚皮畫的數量相同列出方程求解即可；（2）設購進甲種魚皮畫件，則購進乙種魚皮畫件，根據總利潤不少于4000元，且不超過4100元列出不等式組求解即可；（3）設甲種魚皮畫降了元，則每星期可多賣出10件，該文創專賣店一星期的總利潤為元，列出w關于y的二次函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設乙種魚皮畫的進價為元，則甲種魚皮畫的進價為元，由題意得，，∴解得．經檢驗，是原分式方程的解．∴甲種魚皮畫的進價為（元）．答：甲、乙兩種魚皮畫每件的進價分別為100元和90元．（2）解：設購進甲種魚皮畫件，則購進乙種魚皮畫件，由題意得，，解得，又∵為正整數，∴該文創專賣店有11種進貨方案；（3）解：設甲種魚皮畫降了元，則每星期可多賣出10件，該文創專賣店一星期的總利潤為元，則∵，當時，有最大值．

∴此時，甲種魚皮畫的售價為：（元），甲種魚皮畫售出：（件），乙種魚皮畫售出：（件）．59．（24-25九年級上·江蘇）某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價為30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價為40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．不妨設該種品牌玩具的實際銷售單價為元，銷售該品牌玩具獲得的利潤為元．(1)求出與之間的函數關系式；(2)若商場只獲得了6000元的銷售利潤，求該玩具銷售單價為多少元？(3)若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于500件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？【答案】(1)(2)銷售單價為90元(3)最大利潤是10000元【分析】本題考查了二次函數的應用，一元二次方程的應用，不等式組的應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質以及利用二次函數最值求解．（1）一件的利潤為元，漲價后的銷售量為元，根據一件的利潤與銷售數量的積，即可表示出函數關系式；（2）由所得函數關系式，求出當函數值為6000時，解一元二次方程即可求出自變量的值；（3）由題意解不等式組，可求得x的范圍，再由二次函數的性質即可求得最大利潤．【詳解】（1）解：由題意得：，整理得：；答：與之間的函數關系式為；（2）解：由題意得：，整理，得：，解得：（舍去），答：該玩具銷售單價為90元；（3）解：由題意得：，解得：；∵，，∴當時，函數取得最大值，且最大值為10000；答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是10000元．?題型03不等式組的方案問題68．（24-25九年級上·湖南益陽）扎染文化是我國傳統文化的重要組成部分，扎染文化的發展帶動了旅游相關產業的發展，電視劇《去有風的地方》的熱映不僅推動了云南大理旅游業的熱潮，也增進了人們對扎染文化的了解，云南大理某扎染坊購進甲、乙兩種布料共100件，其中兩種布料的成本價和銷售價如表：成本價（元/件）銷售價（元/件）甲種布料60100乙種布料4070(1)設購進甲種布料x件，銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤為W元，請寫出W關于x的表達式(2)若此次購進甲種布料的數量不超過乙種布料的數量的1.5倍，試問怎樣進貨方案才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)購進甲種布料60件，購進乙種布料40件才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤最大，最大利潤是3600元【分析】本題考查了一次函數的應用、一元一次不等式組的應用，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．（1）先求出購進乙種布料件，再根據利潤（甲種布料的銷售價甲種布料的成本價）甲種布料的銷售量（乙種布料的銷售價乙種布料的成本價）乙種布料的銷售量即可得函數關系式；再根據兩種布料的購進的數量均大于0求出的取值范圍，由此即可得；（2）先求出的取值范圍，再利用一次函數的增減性求解即可得．【詳解】（1）解：由題意可知，購進甲種布料件，購進乙種布料件，則，∵，∴，所以關于的表達式為．（2）解：∵此次購進甲種布料的數量不超過乙種布料的數量的倍，∴，∴，由（1）可知，，由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而增大，∴當時，取得最大值，最大值為，此時，答：購進甲種布料60件，購進乙種布料40件才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤最大，最大利潤是3600元．69．（2024全國）某商場準備購進，兩種書包，每個種書包比種書包的進價少元，用元購進種書包的個數是用元購進種書包個數的倍．請解答下列問題：(1)，兩種書包每個進價各是多少元？(2)若該商場購進種書包的個數比種書包的倍還多個，且種書包不少于個，購進，兩種書包的總費用不超過元，則該商場有哪幾種進貨方案？【答案】(1)每個種書包的進價是元，每個種書包的進價是元(2)該商場共有種進貨方案：方案：購進個種書包，個種書包；方案：購進個種書包，個種書包；方案：購進個種書包，個種書包．【分析】本題考查分式方程的應用，一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是找準等量關系列出分式方程，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．（1）設每個種書包的進價是元，則每個種書包的進價是元，利用數量總價單價，結合用元購進種書包的個數是用元購進種書包個數的倍，可列出關于的分式方程，解之經檢驗后，可得出每個種書包的進價，再將其代入中，可得出每個種書包的進價；（2）設該商場購進個種書包，則購進個種書包，根據“購進種書包不少于個，且購進，兩種書包的總費用不超過元”，可列出關于的一元一次不等式組，解不等式組可得出的取值范圍，再結合為正整數，即可得出各進貨方案．【詳解】（1）解：設每個種書包的進價是元，則每個種書包的進價是元，，解得：，經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，，答：每個種書包的進價是元，每個種書包的進價是元；（2）解：設該商場購進個種書包，則購進個種書包，根據題意得：，解得：，又為正整數，的值為、、，當時，，當時，，當時，，該商場共有種進貨方案：方案：購進個種書包，個種書包；方案：購進個種書包，個種書包；方案：購進個種書包，個種書包．70．（24-25·浙江）某文具店準備用1000元購進甲、乙兩種筆，甲種筆每支10元，乙種筆每支5元．考慮到顧客的需求，文具店購進的乙種筆的數量不少于甲種筆數量的6倍，且甲種筆不少于20支．設購進甲種筆支，購進乙種筆支．(1)寫出關于的函數表達式．(2)通過列不等式求出該文具店共有幾種進貨方案．(3)若文具店銷售每支甲種筆可獲利潤3元，銷售每支乙種筆可獲利潤2元，在所有進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)該文具店共有6種進貨方案；(3)當購買甲鋼筆20支，乙鋼筆160支時獲利最大，最大利潤為380元．【分析】本題考查一元一次不等式組和一次函數的應用．（1）由購進甲種筆支，購進乙種筆支，總費用元，再建立關系式并整理即可；（2）由文具店購進的乙種筆的數量不少于甲種筆數量的6倍，且甲種筆不少于20支．再建立不等式組解題即可得到答案；（3）設利潤為W元，可得，再利用一次函數的性質可得答案．【詳解】（1）解：設購進甲種筆支，購進乙種筆支，∴，解得：；（2）解：由題意可得：，解得：．∵x，y為整數，∴20，21，22，23，24，25共六種方案．經檢驗符合題意．∴該文具店共有6種進貨方案．（3）解：設利潤為W元，則，∵W隨著x的增大而減小，∴當時，W有最大值，最大值為（元）．即當購買甲鋼筆20支，乙鋼筆160支時獲利最大，最大利潤為380元．基礎鞏固一、單選題1．（2024·廣東·模擬預測）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解不等式，解題的關鍵是掌握不等式的解法．根據不等式的性質解不等式即可．【詳解】解：，，，，故選：D．2．（2024·廣東·模擬預測）把不等式組中每個不等式的解集在同一條數軸上表示出來，正確的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了一元一次不等式組的解法．分別解出不等式組中每個不等式，再對比選項中數軸所表示的解的范圍．【詳解】解：解不等式得；解不等式得；∴不等式組的解集為；在同一條數軸上表示為；故選：C．3．（2024·廣東清遠·模擬預測）農戶利用“立體大棚種植技術”把茄子和絲瓜進行混種．已知茄子齊苗后棚溫在最適宜，播種絲瓜的最適宜溫度是．農戶在茄子齊苗后在同一大棚播種了絲瓜，這時應該把大棚溫度設置在下列哪個范圍最適宜（

）A． B． C． D．以上【答案】B【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組的應用，根據題意，設大棚溫度為，則，再根據一元一次不等式組的方法，求出這時應該把大棚溫度設置在下列哪個范圍最適宜即可．【詳解】解：設大棚溫度為，則，解得，∴這時應該把大棚溫度設置在最適宜．故選：B．4．（2024·廣東珠海·一模）如圖，天平右盤中的每個砝碼的質量為10g，則物體M的質量的取值范圍在數軸上可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查一元一次不等式組的應用及不等式組的解集在數軸上的表示方法．通過看圖得出具體的信息，從而得出物體M的質量m的取值范圍．【詳解】解：∵由左圖可知，由右圖可知，∴m的取值范圍是：．在數軸是表示為故選：C．5．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知點在第二象限，則a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查根據點所在的象限求參數的范圍，根據點在第二象限的符號特征：，列出不等式組，求解即可．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，∴；故選B．6．（2023·浙江·中考真題）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據對應的點在數軸上的位置，利用不等式的性質逐一判斷即可．【詳解】解：由數軸得：，，故選項A不符合題意；∵，∴，故選項B不符合題意；∵，，∴，故選項C不符合題意；∵，，∴，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是實數與數軸，絕對值的概念，不等式的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．7．（2023·廣東肇慶·二模）若關于的方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一元二次方程根的判別式得到，解不等式即可．【詳解】關于的方程有實數根,故選：D【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的個數之間的關系是解本題的關鍵．8．（2023·廣東廣州·二模）定義運算“”為：當時，；當時，．例如：．若則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據定義新運算的運算法則，結合不等式的性質即可求解．【詳解】解：當,即時，，即；當，即時，，即，無解，舍去；綜上所示，，故選：．【點睛】本題主要考查定義新運算，不等式的綜合，掌握定義新運算的運算法則，不等式的性質是解題的關鍵．二、填空題9．（2024·廣東汕頭·二模）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，正確求解是解答的關鍵．先分別求得每個不等式的解集，再求得它們的公共部分即可求解．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，故答案為：．10．（2024·廣東汕頭·一模）一次生活常識競賽，一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，小明有2題沒答，競賽成績要不低于83分，則小明至少要答對道題．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式的應用，設小明答對道，根據“一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，有2題沒答，競賽成績要不低于83分”可得相應的一元一次不等式，解題的關鍵是讀懂題意，列出不等式．【詳解】解：設小明答對道，根據題意得：解得：∴小明至少要答對道題．故答案為：．11．（2022·廣東中山·二模）將點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，得到點，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先根據平移方式和平移前后點的坐標得到從而求出再由，得到，由此求解即可．【詳解】解：∵點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，得到點，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化|—平移，解一元一次不等式組，解一元一次方程，解題的關鍵在于能夠利用m表示出a、b．三、解答題12．（2024·廣東深圳·模擬預測）為改善城市人居環境，某區域原來每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個A型和10個B型預處置點位進行初篩、壓縮等處理．已知一個A型點位比一個B型點位每天多處理7噸生活垃圾．(1)求每個B型點位每天處理生活垃圾的噸數；(2)由于垃圾分類要求提高，在每個點位每天將少處理8噸生活垃圾，同時由于市民環保意識增強，該區域每天需要處理的生活垃圾比原來少10噸．若該區域計劃增設A型、B型點位共5個，試問至少需要增設幾個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾？【答案】(1)38噸(2)3個【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用：（1）設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，根據一共要處理920噸垃圾列出方程求解即可；（2）設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，則提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸），個B型點位每天處理生活垃圾（噸），再根據一共處理的垃圾要不少于噸列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，根據題意，得，解得．答：每個B型點位每天處理生活垃圾38噸．（2）解：設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，由（1）可知垃圾分類要求提高前，每個A型點位每天處理生活垃圾45噸，則垃圾分類要求提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸）；垃圾分類要求提高前，每個B型點位每天處理生活垃圾38噸，則垃圾分類要求提高后，每個B型點位每天處理生活垃圾（噸）．根據題意，得，解得．是正整數，符合條件的的最小值為3．答：至少需要增設3個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾．13．（2024·廣東·模擬預測）某校因物理實驗室需更新升級，現決定購買甲、乙兩種型號的滑動變阻器．若購買甲種滑動變阻器用了1650元，購買乙種用了1000元，購買的甲種滑動變阻器的數量是乙種的1.5倍，甲種滑動變阻器單價比乙種單價貴5元．(1)求甲、乙兩種滑動變阻器的單價分別為多少元．(2)該校擬計劃再訂購這兩種滑動變阻器共100個，總費用不超過5200元，那么該校最多可以購買多少個甲種滑動變阻器?【答案】(1)甲單價為55元，乙單價為50元(2)40個【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用；（1）設乙種滑動變阻器的單價是x元，則甲種滑動變阻器的單價是元，乙種書的單價是元，根據“購買甲種滑動變阻器用了1650元，購買乙種用了1000元，購買的甲種滑動變阻器的數量是乙種的1.5倍”，可得出關于的分式方程，解之即可得出結論；（2）設購買甲種滑動變阻器m個，則購買乙種滑動變阻器個，利用總價單價數量，結合總費用不超過5200元，可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．【詳解】（1）設乙種滑動變阻器的單價是x元，根據題意得：解得：．經檢驗，是所列方程的根，且符合題意．∴（元）答：甲種滑動變阻器的單價是55元，乙種滑動變阻器的單價是50元．（2）設購買甲種滑動變阻器m個，則購買乙種滑動變阻器個．根據題意得：．解得：．答：該校最多可以購買40個甲種滑動變阻器．能力提升一、單選題1．（2023·廣東梅州·一模）已知實數a，b滿足，則有關x的不等式組的解集為（

）A． B． C． D．無解【答案】D【分析】根據a，b滿足的條件可推出a，b的值，將其代入關于的不等式組中，按照一元一次不等式組取值范圍口訣即可求出答案.【詳解】解：，，，.有關x的不等式組轉化為：，解不等式組得：，將不等式組的解集表示在數軸上，如圖所示，的解集為：無解.故答案選：D.【點睛】本題考查了一元一次不等式的解、完全平方公式和化簡絕對值.解題的關鍵是否掌握完全平方公式以及是否熟悉不等式解集取值范圍口訣：同大取大，同小取小，大大小小無解，大小小大取中間.2．（2023·四川綿陽·二模）不等式組的所有整數解的和為9，則整數的值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先解不等式組，求出其解集（用a表示），再根據不等式組的所有整數解的和為9，得到不等式整數解，從而得出關于a的不等式組，再求解即可．【詳解】解：解等式組得，∴，∵不等式組的所有整數解的和為9，當x的整數解為2，3，4時，∴∵a為整數，∴，當x的整數解為-1，0，1，2，3，4時，∴∵a為整數，∴，∴整數的值有2個，故選：B．【點睛】本題考查解不等式組，不等式組的整數解情況求參問題，熟練掌握解不等式組，確定不等式組解集的方法是解題的關鍵．根據不等式組的整數解得出關于a的不等式組是解題的難點．3．（2022·廣東珠海·一模）若不等式-1＞0的解都能使關于的不等式(m-2)＜2m-1成立，則m的取值范圍是(

)A．m＞1 B．1＜m≤2 C．0≤m≤1 D．-1≤m＜2【答案】D【分析】解不等式-1＞0，再求出的解集不等式(m-2)＜2m-1的解集，得出關于的不等式組，求出即可【詳解】解：-1＞0不等式-1＞0的解都能使關于的不等式(m-2)＜2m-1成立，且即解得即故選D【點睛】本題考查了一元一次不等式組，不等式的性質，根據題意列出不等式組是解題的關鍵．4．（2021·廣東江門·一模）已知關于x的不等式組有三個整數解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把不等式組標號，求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后根據整數解的個數確定的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集是，∵不等式組有3個整數解，∴整數解為－1、0，1∴-2≤＜－1．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．5．（2021·廣東佛山·一模）若關于x的不等式組有且只有8個整數解，關于y的方程的解為非負數，則滿足條件的整數a的值為（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】解不等式組，得到不等式組的解集，根據整數解的個數判斷a的取值范圍，解分式方程，用含有a的式子表示y，根據解的非負性求出a的取值范圍，確定符合條件的整數a，相加即可．【詳解】解：不等式組，解(1)得，解(2)得，∴不等式組的解集為；∵不等式組有且只有8個整數解，∴，解得；解分式方程得；∵方程的解為非負數，∴即；綜上可知：；∵a是整數，∴或或．故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程，本題易錯，易忽視分式方程有意義的條件．二、填空題6．（2024·廣東陽江·一模）若關于的不等式組有個整數解，則的取值范圍為．【答案】/【分析】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數解，先求出不等式組的解集，再根據不等式組有個整數解即可求出的取值范圍，正確求出一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．【詳解】解：，解得，，解得，，∴不等式組的解集為，∵不等式組有個整數解，∴，故答案為：．7．（2024·廣東惠州·三模）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式等知識．熟練掌握加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式是解題的關鍵．加減消元法解二元一次方程組，進而可得，計算求解即可．【詳解】解：，得，，解得，，將代入②得，，解得，，∴，解得，．故答案為：．8．（2023·廣東江門·一模）定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程、都是關于x的不等式組的相伴方程，則m的取值范圍為．【答案】【分析】先求出兩個方程的解，再解不等式組，根據題意可得且，即可解答．【詳解】解：解方程，得：，解方程，得：，由，得：，由，得：，均是不等式組的解，且，，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一