第六章：數(shù)列（模塊綜合調(diào)研卷）

（19題新高考新結(jié)構(gòu)）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知等差數(shù)列｛%｝中，q=3,a2+a6=18,貝！|出。+%+/o+…+%=（）

A.600B.608C.612D.620

則興=(

2.設等比數(shù)列｛%｝的前九項和為S"，若二=5,)

d10

31521

A.-B.—C.D.3

245

3.設等比數(shù)列｛%｝中，?3>%使函數(shù)/（xb/+S/d+zx+W在x=-l時取得極值0,則%的值是（）

A.土百或±3五B./或3亞

C.±3及D.3亞

4.已知數(shù)列｛%｝,也｝都是等差數(shù)列，記%7；分別為｛%｝,也｝的前〃項和，且>^則去=（）

8778

A.-B.-C.-D.-

5533

5.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為鼠，且S〃+氏=1,設2=匕4,若數(shù)列也｝是遞增數(shù)列，則％的取值范圍

an

是（）

A.（YO,2）B.（2,+co）C.（Y°,3）D.（3,-H?）

6."角谷猜想"首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而

人們就順勢把它叫作"角谷猜想"."角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除

以2,這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)旬,按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an（?eN）,

若生=1，且4（i=L2,3,4）均不為1,則4=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

7.已知等差數(shù)列｛%,｝和等比數(shù)列也｝,q=4=-4,%=2,%=池，根eN*,則滿足*心”>1的數(shù)值機

)

A.有且僅有1個值B.有且僅有2個值C.有且僅有3個值D.有無數(shù)多個

值

告j,則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)f（x）的牛頓數(shù)歹U.已知｛%｝為

8.給定函數(shù)/（X）,若數(shù)列｛%｝滿足當包=%

/（"=%2_尸2的牛頓數(shù)列，且q=l,x.>2（"eN+）,數(shù)列｛叫的前"項和為S”.則S2023

Xn十1

A.B.22024-1

C.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

2an，〃為奇數(shù)

9.數(shù)列｛a.｝（〃eN*）的前"項和為S“，若q=l,a,1+1=L“為偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

4，

A.%=2B.S]o=12

C.⑸｝為遞增數(shù)列D.｛%-｝為周期數(shù)列

10.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%+1=a“-；a；（weN*）,則（）

A.數(shù)列｛q｝單調(diào)遞減B.4<2%

C.3??>4a,1+1D.—<lOOt/loo<3

11.如圖，片是一塊半徑為1的圓形紙板，在片的左下端剪去一個半徑為1■的半圓后得到圖形鳥，然后依次

剪去一個更小半圓（其直徑為前一個剪掉半圓的半徑）得圖形A,B，L,P“，L,記紙板月的周長為

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知數(shù)列｛4,｝的通項公式為：an=2n-\,其前"項和為S,,若S’a,M成等比數(shù)列，則6

13.已知數(shù)列｛%｝中，q=1,??+i=|--,若年=」三,則數(shù)列也｝的前〃項和5“=.

14.已知函數(shù),數(shù)列｛4｝滿足%=%=1，a,.=a.(〃eN*),/(a2)+/(o3+a4)=0,則

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.數(shù)列｛%｝滿足2%+i+%=3,且%=]

(1)證明：數(shù)列｛%-1｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項和S,.

16.已知各項均不為零的數(shù)列｛氏｝滿足q=1,其前w項和記為且衿迪=2",〃eN*,n>2,數(shù)

列｛2｝滿足b?=an+an+r>〃eN*.

⑴求出，〃3，$102；

(2)求數(shù)列｛(1+3?”｝的前〃項和

17.己知數(shù)列｛%｝中，q=2,+=2("+〃)("eM)

⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛瑪｝的通項公式；

⑵設么=——,數(shù)列也｝的前〃項和為小若(<多(〃￡乂)恒成立，試求實數(shù)丸的取值范圍.

anan+ln+1

18.己知數(shù)列｛4｝滿足：2〃用=a“+a“+2(V〃eN*),正項數(shù)列也｝滿足：氏?=2心2(取eN*),且2%=4=2,

。4=b?,b§=4b3.

⑴求｛曰｝,｛2｝的通項公式;

a2n-lbn-l9〃為奇數(shù)

2〃+1

(2)已知g=\(32-2)〃-2〃為偶數(shù)’求：%;

(2+1)(%2+1)'

1/1111

⑶求證：

19.若正實數(shù)數(shù)列匕｝滿足c3V""+2（"eN*）,則稱仁｝是一個對數(shù)凸數(shù)列；若實數(shù)列｛4｝滿足

2dn+l<dn+dn+2,則稱｛4｝是一個凸數(shù)歹U.已知｛%｝是一個對數(shù)凸數(shù)列，b?=lnan.

(1)證明：a&Na5a6；

(2)右生。2…"2024=1，證明:“1012Toi341；

(3)若瓦=1,%24=2024,求九的最大值.

第六章：數(shù)列（模塊綜合調(diào)研卷）

（19題新高考新結(jié)構(gòu)）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知等差數(shù)列｛%｝中，％=3,a2+a6=18,貝！|%。+&+%（）+…+%5=（）

A.600B.608C.612D.620

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛%｝的公差，進而求出通項公式并求出和.

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由％=3,%+4=18,得3+d+3+5d=18,解得d=2,

因止匕+（"一l）d=2〃+1,%。=2x20+1=41,a55=2x55+1=111

顯然。20，%5，。30，“35，。40，。45，。50，。55構(gòu)成等差數(shù)列，

a

所以々20+。25+。30--------55=,%5xg=4（41+111）=608.

故選：B

2.設等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若言^5,則茬=（）

^10

31521

A.—B.—C.—D.3

245

【答案】c

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的求和公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)解析即可；

【詳解】

法一：設等比數(shù)列的公比為4,若4=1,則富=L=2N5,所以4*1；

用54

由*5,得=5x"j5)，即1-力=5(1-/，所以i+/=5,

d

5i-qi-q

q(i-ds)3

%=l—q75>3]>431-64=21

解得q5=4,

'幾q"/。)l-(^)21-421-165-

i-q

故選：c.

法二：設等比數(shù)列的公比為4,若4=1,則親=，%=2*5,所以qwl；

JcDd'i

由等比數(shù)列的性質(zhì)知&,幾一％幾-幾，…成等比數(shù)列，其公比為邑?邑=1=4,設工=乙顯然言0,

d5d5

2

則S]o=5r,S15-S10=r4=16f,

S21

所以幾=21乙所以”=三.

?io3

故選：C.

3.設等比數(shù)列｛q｝中，。3，%使函數(shù)/（尤）=丁+3/爐+%了+存在x=_i時取得極值0,則處的值是（）

A.土道或±3&B.有或3后

C.±3A/2D.3亞

【答案】D

【分析】根據(jù)〃x）在尸-1時取得極值0,可求得出，%,代回驗證可得4=2,%=9,再根據(jù)等比數(shù)列

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意〃%）=3彳2+6/彳+%,

因為〃x）在》=-1時取得極值0，

—

f(-1)—1+3a3-%+a；=0

所以

/'(—1)=3—6<23+a7=0

%二:或。3=2

解得

%=3%=9

當〃3=1,%=3時，

/,(X)=3X2+6X+3=3(X+1)2>0,

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意，

當%=2,%=9時，

/f(x)=3x2+12x+9=3(x+l)(x+3),

所以xe(YO,-3)U(-L+8)時，制%)>0,

光￡(一3,—1)時，

所以/(X)在(-8,-3),(T+⑹上單調(diào)遞增，在(-3,-1)上單調(diào)遞減,

所以當x=-1時/(%)取得極小值，滿足題意，

所以=〃3，。7=18,

又〃3，〃5'%同號，

所以為=30.

故選：D.

4.已知數(shù)列E｝,｛〃｝都是等差數(shù)列，記%7；分別為｛瑪｝,但｝的前〃項和，且，=卷三則去=()

8778

A.—B.-C.-D.一

5533

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)及和與項的關(guān)系即可求解.

因為數(shù)列｛%｝,但｝都是等差數(shù)列，

所以不妨令5“(=5/-2沙,7；=3后，

所以。7=57—S6=(5x7?-2x7-5x6?+2x6)f=63r,

22

b5=7；-7；=(3X5-3X4)/=27/,

的63/7

所以了=萬7=

b527t3

故選：C

5.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S〃，且S〃+4=l,設么=—,若數(shù)列｛2｝是遞增數(shù)列，則力的取值范圍

an

是()

A.(-co,2)B.(2,+8)C.(田,3)D.(3,+co)

【答案】C

【分析】利用的關(guān)系式可得數(shù)列｛凡｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，再由｛2｝是遞增數(shù)列可得

(幾+1—4)?2"+i>(〃—4)?2"恒成立,即可得X<3.

【詳解】當〃=1時，H+q=2%=l,解得q=；；

當“22時，由Sa+a“=l,得S,T+4T=1,

兩式相減得2。“-a?_i=0,

所以子=；,即數(shù)列｛4｝是以《為首項，5為公比的等比數(shù)列，

可得%=工，所以為二土"乂"，)，？"；

a

2n

因為數(shù)列｛"｝是遞增數(shù)列，所以6用＞6”對于任意的〃eN*恒成立，

即(〃+1-彳)?2向＞(〃-4?2”,即幾＜〃+2恒成立，

因為〃=1時，”+2取得最小值3,故彳＜3,

即2的取值范圍是(f,3).

故選：C.

6."角谷猜想"首先流傳于美國，不久便傳到歐洲I,后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而

人們就順勢把它叫作"角谷猜想"."角谷猜想"是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除

以2,這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)旬,按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an(〃6N),

若%=1，且q(i=L2,3,4)均不為1,則4=()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

［分析］根據(jù)“角谷猜想"的規(guī)則，由。5=1侄甘隹?o的值.

3an+1,。”為奇數(shù)

【詳解】由題知％，上,為偶數(shù)因為。5=1，則有:

若為為奇數(shù)，則生=3%+1=1，得。4=。，不合題意，所以如為偶數(shù)，則。4=2%=2；

若。3為奇數(shù)，則4=3。3+1=2,得4=g，不合題意，所以為偶數(shù)，%=2%=4；

若出為奇數(shù)，則％=3。2+1=4,得電=1,不合題意，所以。2為偶數(shù)，且的=2%=8；

7

若見為奇數(shù)，則。2=3q+l=8,得4=］,不合題意，所以為為偶數(shù)，且4=2%=16；

若g為奇數(shù)，則q=34+1=16,可得％=5；若旬為偶數(shù)，則。o=2%=32.

綜上所述：4=5或32.

故選：B

7.已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列出｝,%=4=-4,4=2,%=地，根eN*,則滿足。“也”＞1的數(shù)值機

)

A.有且僅有1個值B.有且僅有2個值C.有且僅有3個值D.有無數(shù)多個

值

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求公差和公比，令j=a,“?粼=16（利-3）I,分情況討論，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷.

【詳解】設等差數(shù)列｛0｝的公差為d,等比數(shù)列也,｝的公比為4,

因為q=4=-4,%=2,%=砌，

-4+36?=2d=2

則一4+41=8x（一4）尸解得‘1，

q=F

m—\

令％=仆4=[-4+2（山-1）]-4-=16（m-3）

可得C]=16勺=-4,C3=0,此時滿足C”>1只有m=1成立;

若機>4,貝1]加一3>0,

（1）若加為奇數(shù)，則%,=16（機-3）1<0,不滿足>1；

m+2

（2）若加為偶數(shù)，則%,,%+2>0,且~=2m-111+二<b

C,nJ4（m-3）4m-34

即C"+2<C,“，可得1=。4>。6>。8>…，即％,>1不成立;

綜上所述：滿足q?鬣>1的數(shù)值機有且僅有1個值，該值為1.

故選：A.

8.給定函數(shù)〃尤），若數(shù)列｛斗｝滿足斗+i則稱數(shù)列｛七｝為函數(shù)f（x）的牛頓數(shù)列.已知｛尤"｝為

/（力=/一%-2的牛頓數(shù)列，a=In,且q=1,尤“>2（”eN+）,數(shù)列｛4｝的前”項和為3.則423=

n斗+1

）

A.22023-1B.22024-1

20222023

C.1-1D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)定義求得數(shù)列｛玉｝的遞推公式，然后代入。油可得｛見｝的遞推公式，根據(jù)遞推公式可知｛q｝為

等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列求和公式可得.

X；-/-2_4+2

【詳解】由/（力二/一彳一？可得尸（x）=2x—1,七包=%

2元“一12%-1

片+2

------------N/\2

x〃+i_2=2玉-1=|%-2]x1—2

,則兩邊取對數(shù)可得In口勺

當+1+1%+2門（%+Ux,+i+l

2%一1

即45=2““，所以數(shù)列｛q｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.

lx（1-22023

所以$2陽=22。23一1.

1-2

故選：A.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

2an，〃為奇數(shù)

9.數(shù)列｛q,｝（〃eN*）的前幾項和為S“，若q=l,a?+1=L”為偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a3=2B.I。=12

C.｛$,｝為遞增數(shù)列D.｛%-｝為周期數(shù)列

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，分別求得的,出，令…，得到數(shù)列｛%｝構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，逐項判定，即可

求解.

2a“，〃為奇數(shù)

【詳解】解：由題意，數(shù)列｛%｝滿足q=1,a?+1=La為偶數(shù)，

an'

11

==

當”=1時，。2=2%=2,當”=2時，?3->A錯誤；

當〃=3時，a4=2a§=1；

若"為奇數(shù)，貝|"+1,〃+3為偶數(shù)，n+2,〃+4為奇數(shù)，

則an+l=2a,,an+2=---=--,an+3=2alt+2=一,an+4=----=an.

%2ananan+3

若〃為偶數(shù)，貝U〃+l,"+3為奇數(shù)，n+2,”+4為偶數(shù)，

1c21a

aa2aa=~,??=2??+3=.

則?+l=—,n+2=n+l=~,n+3=---+4

aaa

nnn+2乙

所以數(shù)列｛q｝是以4為周期的周期數(shù)列.

=

故S[0=〃]++。3+,,,+%o2（q+。2+/+能）+%+40=2M+2+—+1J+1+2=12,B正確:

又由4>0,故⑸｝遞增，C正確;

由上述討論可知，｛2的項為1,1,1....故是周期數(shù)列，D正確.

故選：BCD.

10.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,an+l=an(neN,),貝lj()

A.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減B.an<2a?+l

C.3a.>4a“+iD.—<100a100<3

【答案】ABD

【分析】對A：通過計算得到%>0,則有%+「%<0,即可得到；對B：作差構(gòu)造不等式計算即可得；對

C:通過計算的、的找出反例即可得；對D：通過遞推公式變形，再構(gòu)造放縮可得.

1c2

【詳解】對A選項：由4=1,an+l=an--a；,則％e(。,1)，

依次類推可得當〃N2時，有可?0,1),

即A正確

對B選項：由q+1=%-

由4=1,當"22時，anG(0,1),

故2…wj+m：+|=(

),

即％<2*故B正確；

114委>2,

對C選項：%=。2-]"2=5y,則3〃2=2,4a§=

27

即3%<4%,故C錯誤；

113

對D選項：由鏟“9，故/-%(3-%)

an3-a〃

1111

即=2>“

%+14,3-%3

111111111/、

故有-------,-------------,L,---------->§,("22)

a

n%3an_xan_23a2at

111,，、112

累加有------gp—>-?+-,故a,<(n>：

an43an33n+2

又小1一1_丁1=<不1力_1J+1/)，叱)

故當〃23時，—

an

累…加—有H1<1/T1/)八+Q"1+§1+…+//(心小3)，

即^--1<-(100-1)<33+-|-x4+-x961=39,

%0033(26J

即。100>!,故1。。600>'!，

故!<100%。。<3,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系合理構(gòu)造及放縮法的巧妙運用.

11.如圖，片是一塊半徑為1的圓形紙板，在片的左下端剪去一個半徑為|■的半圓后得到圖形然后依次

剪去一個更小半圓（其直徑為前一個剪掉半圓的半徑）得圖形A,匕，L,匕，L,記紙板匕的周長為4,

【答案】ABD

【分析】利用列舉前幾項的方法，判斷AB；根據(jù)列舉的規(guī)律，寫出人，再求和，判斷C；利用S”與S用的

關(guān)系，即可判斷D.

【詳解】根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，

rCr兀131r=7171I71.,A十也

4l=兀+2,7^2=7TH--F1=—7l+l,L2Tl~\---1---1=-71H,故A正確；

兀

故B正確;

2

根據(jù)題意可知，圖形4中被剪去的最小的半圓的半徑為（J"”,

所以當4=兀+二+￥+...+”『［'+2乂『［'

〃24UJ

2

故C錯誤;

根據(jù)題意可知，圖形匕+1中被剪去的最小的半圓的半徑為§）",

故D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過列舉的方法，發(fā)現(xiàn)圖形間的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，進行數(shù)學計

算.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為：an=2n-\,其前〃項和為S“，若又,品成等比數(shù)列，則h

【答案】6

【分析】根據(jù)等比中項結(jié)合等差數(shù)列的前〃項和公式求出&=36,再解方程，即可求得答案.

【詳解】因為S“既,跖成等比數(shù)列，所以S,xSgnS；,

由于數(shù)列｛%｝的通項公式為：an=2n-\,

故｛%｝是首項為L公差為2的等差數(shù)列，且前幾項和為S"=

所以0+7）X4X（1+17）X9=S,所以s36（舍去負值），

22

所以----——=36,=6（舍去負值），

2

故答案為：6

13.已知數(shù)列｛4｝中，q=l,,若2:一^,則數(shù)列也｝的前〃項和S〃=.

2an一,

n

【答案】4+6n-l

9

,1

【分析】根據(jù)條件，先構(gòu)造等比數(shù)列求出%，再由么=一得口，從而可求和.

氏一2

51--

【詳解】由。向=3―一，有〃1-21-2」a2,

2aan+\'一乙一NX

2anan

o111a?-2g+「2」一“-2

〃“+i-2=5=-x^—，兩式相除得至IJ141,

a+la,

2%2an"~2,~2

所以『是以:為公比，“1_2__2

一T-為首項的等比數(shù)列,

a「5

凡-23

所以1r一周‘貝"2一",

124〃-1

所以「二一3

"T

二匚/2n14n-l2n4"-1_4"+6〃-1

所以S=----------x--------

〃33319~~9

4"+6〃-1

故答案為:

~9

14.已知函數(shù)=,數(shù)列｛%｝滿足%=%=1，4+3=a”("eN*),f(a2)+f(a3+a4)=0,則

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：/(X)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進而可得。2+4+g=。，結(jié)合數(shù)列

周期性分析求解.

【詳解】由題意可知：/(X)的定義域為R,

口，，、型、3*-13X-13-11-3、門口口,/、_舉,、

且f(x)+f(-x)=-------1----------=---------1--------=0,§Pf(x)——f(-x),

3'+13-'+1y+\1+3%

可知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)；

且f(x)=」3*-1=l一-2—,

3'+13%+1

因為＞=3,在R上單調(diào)遞增，可知f(x)在R上單調(diào)遞增；

綜上所述：AM在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).

因為/(%)+/(/+%)=。，則/1(/+%)=-/(生)=/(一。2)，

可*Q3+〃4=—〃2，即％+%+。4=0，

由。用二見伍已^^^可知：3為數(shù)列｛4｝的周期，則。"+。"+1+。,+2=0，

2024

且2024=3x674+2,所以=2.

?=1

故答案為：2.

【點睛】易錯點睛：本題分析〃x）的奇偶性的同時，必須分析了（無）的單調(diào)性，若沒有單調(diào)性，由

■/■（%）+/（%+。4）=。無法得出。2+“3+。4=。.

四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.數(shù)列｛a“｝滿足2%+1+%=3,且％=]

（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

【答案】⑴見詳解

(2電=嗚1+；2

【分析】（1）利用定義法即可證明等比數(shù)列.

（2）利用等比數(shù)列求和公式化簡即可.

【詳解】（1）由已知，2a?+l+a?=3,所以2（*「l）+（a“—1）=0

故」62\,1—1=一1孑，又因為q=3],所以％=31

an-l2222

所以數(shù)歹式。“-1｝是首項為:，公比為-1的等比數(shù)列

（2）由（1）知，令”,=4-1

所以5“=%+%+…+%

故S=n+—+—

"33

16.已知各項均不為零的數(shù)列｛4｝滿足q=1,其前w項和記為S“，且ST-=2〃2,〃eN*,n>2,數(shù)

列也〃｝滿足2=。〃+凡+r,〃￡N*.

⑴求。2,〃3，S]02；

⑵求數(shù)列｛（1+3"）〃'｝的前〃項和7“.

【答案】⑴4=6,4=4,10507

J28”=1

（2）"-|2?-3,,+1+2n2+4??+4n>2

2

【分析】(1)首先利用數(shù)列與S"的關(guān)系,求得S?+S,T=2n,再賦值求a2,a3,再利用此2時，氏=Sn-S-,

即可求得S@;

,、[28,77=1

（2）由⑴可知，g=（l+3"）b"="i+3“）（4〃+2）〃>2'再利用分組轉(zhuǎn)化，以及錯位相減法求和.

【詳解】⑴因為蹬-S，=2眼=2?（S“-Si）,九22,又數(shù)列｛4｝各項均不為零，所以S“+S“T=2〃2.當

〃=2H寸，§2+S]=%+%+%=8,所以a?~6

當”=3時，S3+§2=2（%+4）+%=18,所以％=4,

2

S?+5?_1=2n,/7>2

.立，兩式相減可得%+1+a”=4"+2,北2,

k+1+5?=2（?+l）-,?>l

回S]（）2=（4+aJ+（%+4）H-----F（%（）]+卬02）=1+6+4（3H—，101）+2x50

=7+4x^1^x50+100=10507；

2

7,〃二1

(2)由(1)可知，bn=

4n+2,H>2

28/=1

（1+3"）（4?+2）,?>2

當”=1時，數(shù)列匕｝的前”項和為28,

當”22,數(shù)列｛5｝的前九項和為，

7；=28+（1+32）（4X2+2）+（1+33）（4X3+2）+...+（1+3,,）（4?+2）

=28+10+14+...+（4?+2）+[32X10+33X14+...+3H-（4?+2）]

設方=3~10+33xl4+...+3"x（4〃+2）

37；；=33xlO+34X14+...+3"x（4n-2）+3"+1x（4/z+2）,

兩式相減得一21=90+403+34+…+3）-3,,+1x（4〃+2）,

27（1-3"-2）

-2[=90+4x—；§-3x（4〃+2）,

解得：看=-18+2〃-3向，

10+14+...+（4“+2）=（1）（1；+4〃+2）=（2“+6）（“_1）=2/+4〃_6,

所以7；=28+2〃2+4〃-6—18+2小3"包=2〃-3"M+2/+47Z+4,n＞2,

、_J28,n=l

所以l'-j2〃?+2/+4〃+4,在2.

17.已知數(shù)列｛%｝中，q=2,〃a“+]+=2（?+〃）（〃eN+）

⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設勿=型立，數(shù)列也“｝的前〃項和為（，若北＜々5€、）恒成立，試求實數(shù)4的取值范圍.

4A+in+1

【答案】⑴證明見解析，。“=2〃2

3

⑵人W

【分析】⑴對因向-5+1）。“=29+1）兩邊同時除以〃（〃+1）,即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差

數(shù)列的通項公式求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）由（1）求出口，再由裂項相消法求和求出1,則北＜々，即彳＞＜[1+—，求解即可.

〃+1141”+14mx

【詳解】（1）?.,%+1-（〃+1）%=2〃（〃+1）,兩邊同時除以“（〃+1）,

n+1n

.??數(shù)列詈]是首項：=2,公差為2的等差數(shù)列,

—=2+(n-l)2=2n,

n

a“=2,r.

2w+lB_2〃+l_2〃+l_111

(2)'口待”-2?22(/1+1)2-4n2(n+l)2~4(n+1)2

++_L__UJl―_J_1n2+2n

222222—x---------

4k2J(23Jn(n+1)J4[(?+l)4(n+1)2

2

TAn1n+2nn.1n+2卜一―一

T<-即nn:乂7——<--A,即nn:x一恒成乂.

nn+145+1)n+14n+1

13

2>=114

89

Zn+1max42

-■-2>r

(eN*),正項數(shù)歹u他,｝滿足：配包=b-2+2(V〃eN*),且2/=4=2,

18.已知數(shù)列｛%｝滿足：2an+l=an+an+2n

a4=b2fb5=4b3.

⑴求⑷,也｝的通項公式;

?”也I，”為奇數(shù)

2n+l

⑵已知g=\（3%-2也-2，〃為偶數(shù)’求：Sq；

〔(2+1)聞2+1)

11111

⑶求證:——<---------1----------F,??H<-

16-(3%+1)2(3%+1)2------(34+1)23,

n

【答案】⑴。bn=2

2〃+1(12w-l)4),+12”+283

(2)S.---------------:----1---

+1

k=l94"+l45

⑶證明見詳解

【分析】（1）由題意可得數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列，再分別求解公差與公比即可求;

（2〃-1""一,"為奇數(shù)

（2）代入化簡可得q,=nn+2，〃為偶數(shù)’再分組根據(jù)錯位相減與裂項相消求和即可;

2〃+12n+2+l

11111

（3）放縮可得（3〃+I）2<（3”_2）（3"+l）=—x,再裂項相消求和即可.

33n-23n+l

【詳解】（1）因為2a0+i=a“+a”+2（V〃eN*）,所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設公差為d,

bb（VneN*）,所以數(shù)列也｝為等比數(shù)歹U,

因為Kl=n-n+2設公比為4,且4>0,

I大I2al=b[=2,=b、,=4b3,

ct[+3d=t\q1+3d=2q

所以74A12，即

八4『，

bxq=4biq

q=2

解得

d=1

所以=l+(〃—l)xl=〃，=2X2〃T=2〃.

(2f2"T,偽奇數(shù)(2〃-l)2"T,w為奇數(shù)

（2）由（1）可知，由g=<(3"-2)2"-2

，"為偶數(shù)=nn+2"為偶數(shù)'

(2"+l)(2,,+2+l),2,,+l-2,,+2+l，

記4+1=G+G+,5+…+C2n-1+C2n+1

=1X20+5X22+9X24+---+(4；7-3)X22,,-2+(477+1)X22"

=1x4°+5x4'+9x42+---+(4/7-3)x4,i-1+(4M+l)x4n

2H+1

4An+l=1X41+5X4+……+(4n-3)x4+(4/7+l)x4"

23+lre+1

作差,得：-3A+1=1+4+4+???-4"-(4n+1)x4

,16-4"+2〃八13(1-12?)4"+1

=1+--------(4〃+l)x4'=——+-------——

1-433

所以，心=引曲”

令紇=C2+C4+C6+---+C2?

-P___M+MM+M/2n2〃+2)

U2+l24+lJl^24+l26+lJU6+l28+lJU2，'+l22"+2+lJ

_22n+2

一歹4叫1

沿“c13(12M-1)4,,+122n+2(⑵-1)4用2n+283

回學=%+紇=§+—9—+丁E=-9—一E+后

⑶令服二小子,

11111

因為-。，且4飛，所以而產(chǎn)而可+…+即產(chǎn)而成立；

、1