2025屆河北省昌黎第一中學高三第三次調研考試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合&={-2,-1,0,1,2},8=則4口8=()

A.{—2,—1,0}B.{-1,0}C.{—1,0,1}D.{-2,—1,。/}

2.已知復數2=①(i為虛數單位)，則2=()

1-1

A33.n33.廠33.「33.

A.——+-iB.——--1C.—+—1D.--------1

22222222

3.已知等比數列{〃〃}中，％”亍生="公比9=貝!)〃4?。5/6=()

A.32B.16C.-16D.—32

4.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，

大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打

洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果

墻足夠厚，第〃天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則〃的值為()

A.5B.4C.3D.2

2

+

5.己知數列｛%｝滿足％=1,an+1=anni+n則/=（）

25「14「31「17

A.——B.——C.—D.—

95116

6.將函數〃x)=cos(s+"0>O,闡苫J的圖象向右平移聿個單位長度，再將所得圖象

上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到g(x)=sinr的圖象，則。的值為()

兀c萬

A.—B.—c

34-i4

7.已知數列｛%｝滿足％=1,2=4,且答=4=+9”(〃22,77eN),則當冬取得最大

n-1n+1n-1n

值時，〃=()

A.1B.2C.3D.4

8.已知數列{%}中，其前〃項和為%且滿足S“=2-數列{*的前〃項和為7；,若

際-“TYZ〉。對“eN*恒成立，則實數力的取值范圍是()

A.(3,+oo)B.(―1,3)C.D.[W)

9.已知復數Z1=l-i,復數Z2=x+yi,x,yeR,z]，z?所對應的向量分別為西，西,

其中。為坐標原點，則以下命題錯誤的是()

A.若西//%,貝|x+y=0

B.若西//比'，則也eR

C.若鬲，區，貝上以2=0

D.若西，運，則[Z]+Z2|=|Z「Z2|

二、多選題

10.在等比數列｛q｝中，4>1,。2023a2必>。，紜匚1<0,若S,為｛4｝的前〃項和，7,為

“2023T

｛%｝的前〃項積，則()

A.｛%｝為單調遞增數列B.52023<S2024

C.乙23為｛瑞的最大項D.｛瑁無最大項

11.已知數列｛%｝中，q=T，對于任意的〃z,〃eN*,都有金+,=44,則下列說法正確的

是()

A.｛"%｝是單調遞減數列

B.｛4｝的前九項和S“<1

C.若正整數/滿足見+]+%2+…+七+10U,貝1J%=5

D.存在正整數m,〃,p("z<〃<p),使，，%，%成等差數列

三、填空題

12.已知復數z==^,則三的虛部為______.

2+1

13.已知平面向量4=(1,m)，3=(—2,1),^=(n,2),若M_L5，61口,則m+幾=.

試卷第2頁，共4頁

14.提丟斯一波得定則是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規則，它是1766年由

德國的一位中學老師戴維?提丟斯發現的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，

即數列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽

的平均距離(以A.U.為天文單位).現將數列｛%｝的各項乘以10后再減4得數歹!]也,｝,

可以發現｛2｝從第3項起，每一項是前一項的2倍，則%023=.

四、解答題

15.已知數列｛4｝是等差數列，其前〃項和為S,，且2%+%=13,$7=49.

⑴求｛&n｝的通項公式；

⑵設bn=an+》,求數列也｝的前〃項和T?.

16.記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2+c2-a2=2^sinC.

⑴求角A；

(2)若AB=30,AC=3,點尸在線段BC上，且CP=gc3,。是線段AC中點，相與8。交于

點M,求cos^AMB.

17.已知S“為數列｛%｝的前〃項和，且弓=1,Sn=an+l-2.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)若包=1082*4,求數列1」一的前w項和

3[b?bn+lJ

18.已知函數〃x)=—---(aeR).

⑴若。=0,求函數“X)的單調區間；

⑵若對VxeR,/(x)>0,且在x=0處取得極小值，求。的取值范圍.

19.如果數列｛%｝,｛%｝,其中y.wZ,對任意正整數〃都有氏-%|<，則稱數列｛約｝為

數列｛斗｝的“接近數列已知數列出｝為數列｛%｝的“接近數列

⑴若a“=27z+g(neN*),求仿也也的值;

⑵若數列｛4｝是等差數列，且公差為d(deZ),求證：數列也,｝是等差數列；

731Q57

n

(3)若數列｛%｝滿足％=辭，且/=系見+會記數歹皿｝、間的前項和分別為S“工,

_L\J\Ji\J乙U

試判斷是否存在正整數〃，使得5“〈/？若存在，請求出正整數〃的最小值；若不存在，請

,14…

說明理由.(參考數據：1工2￡。16.7)

10XI

試卷第4頁，共4頁

《2025屆河北省昌黎第一中學高三第三次調研考試數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BAACBDBDCBC

題號11

答案BC

1.B

【分析】求解分式不等式，再由交集運算即可求解;

【詳解】由一二<0易得：-2<x<0

x+2

即3=卜卜2<%叫，

所以4門3={-1,0},

故選：B

2.A

【分析】應用復數的乘法及除法計算即可.

【詳解】已知復數Z唱，則3i3i(l+i)-3+3i33.

z--------------F—1

1-i(l-i)(l+i)1-i222

故選：A.

3.A

【解析】由等比數列的通項公式可計算得出代入數據可計算得出

結果.

【詳解】由％=4.%V=q.4.%.*=4x(0)=32.

故選：A.

4.C

【解析】設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列{%},則q=l，4=g,小老鼠每天打洞的長

度構成等比數列也“},則4=1應=[,再分別求和構造等式求出〃的值.

【詳解】設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列{%},

貝1」4=1應=2,所以S“=U=2'-L

"1-2

設小老鼠每天打洞的長度構成等比數列{2},

答案第1頁，共13頁

則4=1應=；1,所以<=-0f-=2[i-（-1ri.

21——2

2

所以S.=4（，即2"-1=81-,化簡得4"-9x2"+8=0

解得：幾=3或〃=1(舍)

故選：C

5.B

【解析】由%=%+總轉化為%利用疊加法,求得右3彳，即

可求解.

22

【詳解】由…+―可得％+1—4

n（n+1）

所以4=（凡一%T）+（4一1一。〃一2）+（4—2一q一）3+…+（。2-4）+，

214

所以…記二

故選：B.

【點睛】數列的通項公式的常見求法:

1、對于遞推關系式可轉化為4+1-。,=75)的數列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其

通項公式；

2、對于遞推關系式可轉化為如=75)的數列，并且容易求數列｛/(")｝前〃項積時，通常

an

采用累乘法求其通項公式；

3、對于遞推關系式形如。向=P%+g的數列，可采用構造法求解數列的通項公式.

6.D

【分析】先根據條件變換得到g(x),再根據g(x)=sinx列式計算求出9的值.

COCOTl

【詳解】由已知得g(x)=cos—X———+^>=sinx,

a）=2

所以CDTI兀_71r，

----------（D--------F2左兀，KGZ

62

答案第2頁，共13頁

解得9=一4+2配上eZ,又|d<g,

62

所以夕=-3

6

故選：D.

7.B

【解析】先證明數列｛叫J是等差數列，結合％=1,%=4求出｛也.｝的通項公式，可得

%工2,利用配方法可得答案.

nnn

【詳解】因為曾=a+N("22,〃VN)

n-1n+1n-1

所以2%=(H_1)an_x+(〃+1)an+i｛nN2,nsN)

所以數列｛〃(｝是等差數列，

又％=1,a2=4

所以數列,凡｝是以1為首項，2x?2-lxfll=7為公差的等差數列,

所以=7〃-6

76/17丫49

所以%------=—OH--------

nnnn2-------------12J24

m、r*<12-ea176Ta、76__.

因為,l<—<2,且丁=1-正=1,3=］一初=2,2>1,

所以當H=2時，冬取最大值2.

故選：B.

【點睛】方法點睛：判定一個數列為等差數列的常見方法是：(1)定義法：an+l-a?=d(d

是常數)，則數列｛4｝是等差數列⑵等差中項法：2a,用=4+%+2(〃wN*),則數列｛%｝是

等差數列；(3)通項公式：a.=pw+q(p，q為常數),則數列｛4｝是等差數列；(4)前〃項和

公式：S“=Al+為常數)，則數列｛%｝是等差數列.

8.D

［分析］由題意得出數列｛4｝，｛"｝均為等比數列，從而求得S”與4,代入S；-4(-1)%,>0,

對〃分奇偶分類討論，將問題轉化為恒成立問題，結合數列的單調性，即可求得九的取值范

答案第3頁，共13頁

圍.

【詳解】因為5"=2-凡，所以當〃=1時，S[=2-G，得4=1,

當“22時，Sn=2-an,S“T=2-4T，兩式相減得‘工=；（常數），

an-\」

所以數列｛g｝是以1為首項，《為公比的等比數歹IJ.因為&=;,則華=;（常數），

a

-n-\乙14

又a；=l,所以｛"｝是以1為首項，（為公比的等比數列,

2

4

由七-"-1）"/>0,>0,

所以3i-Qji-Qj>o,

所以3l-1|j-A（-l）"1-

又〃eN*,所以1一]]>0,所以31-g1-2（-1）-1+Qj>0,

即3（2"-l）-2（-D"（2"+1）＞0對〃eN*恒成立,

當〃為偶數時，3（2n-l）-2（2M+l）＞0,則彳J'“；）,即彳＜

in

所以心…1（2"+1）一6壬一。

2〃+12〃+12〃+1

令"二3一品，貝1^"+「2=3_（3一用）二島一高，

因為2向+1＞2"+1，所以七一手看＞°，則所以數列也｝是遞增數列，則也｝

的最小值為％,則見＜a=3--69所以丸＜a=3—號6=（9;

乙IJ.J乙IXJ

3（2"-1）

當"為奇數時，3（2"-1）+幾（2"+1）＞0,所以-2＜

2"+1

答案第4頁，共13頁

則彳<3(2'T)_3(2"+1)-66,

2〃+12〃+12〃+1

因為數列也｝是遞增數列，所以｛2｝2的最小值為4,所以T<4=3-券=3-2=1,

所以；1>-1,

綜上，實數％的取值范圍是

故選：D.

9.C

【分析】根據向量平行的坐標運算公式從而判斷A；根據x+y=O代入三運算進而判斷B；

根據向量垂直的坐標運算公式，結合復數乘法和復數模的運算從而判斷C和D.

【詳解】A選項：易知鬲區=(%4),又藥//區，則一x=y,即x+y=O,

故選項A正確；

,.,___?___?,x+yix-xi-，、一入

B選項：當OZJ/OZ2,貝*=兒一=7一=不一=xeR,故選項B正確；

12Zj1—11—1

C選項：由于西^上函>,則％_,=0,Z]Z2=(l_i)(x+M)=(l_i)(x+xi)=2x,X不恒為0,

故選項C錯誤；

D選項：由于鬲，電，貝Ijx—y=。，

2

|zj+z2|=|1-i+X+yi『=(1+%)2+(y_l)2=(]+%)2+(1_])2=2(l+f),

222222

|zj-22|=|l-i-x-yi|=(l-%)+(l+y)=(l-x)+(1+%)=2(1+￡),

故|zi+Z2|=|zi—Z2],選項D正確.

故選：C

10.BC

【分析】由4>1,%必％必>0,可得4>。，。“>。，結合0y<°分析可得。<4<1,

“20231

%儂>1,0<?2024<1,則｛%｝為單調遞減數列，故選項A錯誤.選項B正確.白=%，根據

'〃一1

｛可｝單調遞減和的023>1，。<的024<1可知寫23為｛北｝的最大項，則選項C正確，選項D錯

誤.

【詳解】由a2023a24Haxa；因此

2020232023xq=a02sxq>0,g>0.

答案第5頁，共13頁

又因為外>1則為>。.

a—1

當q21時，貝1]%023>1，%。24>1，則3七〉。，與題意矛盾.

“2023—1

因此。<4<1.則｛%｝為單調遞減數列,故選項A錯誤.

而S?024-$2023="2024>°，故^2023<§2024，選項B正確.

又因為｛風｝為單調遞減數列，則“2023>“2024，

a—1

由20_,<0可知,4023>1，。<%°24<1，

“2023—1

所以當“W2023時，,=4>1,則（>7；…

當〃,2023時,廣=。〃<1,則北<.

4-1

因此｛（,｝的最大項為盤23,則選項C正確，選項D錯誤.

故答案為：BC.

11.BC

【分析】根據給定條件，判斷數列｛4｝為等比數列，求出通項％,再逐項判斷作答.

【詳解】數列｛%｝中，q=g，對于任意的他,〃eN*,都有。“+.=%"“，

則取利=1,得％包=4%=!”,，因此數列｛《｝是首項為:，公比為J的等比數列，4=1，

對于A,nan=白,顯然｛"〃“｝的前3項分別為：:，■!,則｛〃q｝不是單調遞減數列，A錯誤；

222X

1（1」）1

對于B,S,=2-/二=1_<1,B正確；

1——義

2

對千「a+a++a—^+^++1—2t+121°）_（]y（]y+io

對于C,分+]+，+2+…+4+io-+2^+2+…+/+1。-J一（，）（/），

1-2

于是（：）"一（；）"|°=（55-（；尸，解得左=5,C正確；

對于D,若存在正整數（機<〃<P）,使3“，4成等差數列，即2]=導5，

整理得2x2。-"=2人'"+1，顯然。-"，。-加均為正整數，則2x2%",2。”均為偶數，

2。力+1為奇數，矛盾，因此不存在正整數十",pO<〃<p）,使%,%,成等差數列，D錯

答案第6頁，共13頁

誤.

故選：BC

12.-1

【分析】由復數的除法運算結合共輾復數的概念即可求解;

【詳解】”割=冒蠱卜也

所以z=-1—i，

所以z的虛部為-1，

故答案為：—1

13.-2

【分析】根據向量平行和垂直的坐標表示得出參數計算即可.

【詳解】因為@=(1，機)出=(-2,1),萬_1_5,所以1X(-2)+1X7%=0,加=2,

因為^=(",2),5=(-2,1)忑//5,所以lx〃=2x(_2),〃=-4,

所以〃?+〃=2-4=-2.

故答案為：-2.

一3x22°"+4

14.

10

【分析】由題意得到數列也,｝從第二項起是等比數列，由題意寫出打，即可寫出當“22時,

數列的｛〃｝的通項公式，然后得到數列｛4｝的通項公式，從而知道。2023.

【詳解】由題意可知數列｛2｝從第2項起，是以4為首項，2為公比的等比數列.

bx=10^—4=0,b2=10a2—4=3,

?，.當〃N2時，bn=10%-4=3x2〃-2,

.3X2/2+4

―L，

.一3x22021+4

,?〃2023=歷，

3x22021+4

故答案為：-.

10

15.(l)an=2n-l

答案第7頁，共13頁

Q2/1+1r\

⑵北=1人

【分析】（1）利用等差數列的通項公式和前九項和公式求解；

（2）分組求和方法求解.

【詳解】（1）設等差數列｛4｝的公差為d,又2%+%=13,$7=49,

2（q+d）+q+3d=13

所以|7x6dc，解得％=1，d=2,

lax+---=49

所以｛%｝的通項公式q=q+（〃一l）d=l+2（"-l）=2"-l.

(2)由(1)知a=。“+2"”=2〃一l+22"T,

所以＜=4+4+&+…+或=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2〃-l+22"T)

2n+1

/\/35In\\〃(1+2〃—1)2x(1—4〃)2-22

=(l+3+5+---+2n-l)+(2+23+25+---+22n-1)=-^--——+—；4-=——+〃.

冗

16.（1）A=-；

⑵-冬

2

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得tanA=l,即得；

（2）利用余弦定理可得，=3,進而可得C=],然后利用和角公式可得

cos/AAffi=cos（NQ5C+ZAP5）,即得.

【詳解1(1),**b2+c2—a2=2absinC,

?，b2+c2-a22absinC..

??cosA===sinAA,BR|nJtanA=1,

2bc2bc

又Ae(O㈤,

⑵由題可知c=3?6=3,A：5,

***a2=/+c2-2Z?ccosA=9+18—18=9,

:?a=3,又c=3A/2,b=3,

C=-

2

答案第8頁，共13頁

13

?：CP=-CB=1CQ=-AC=3

329f

o

.??AP=M,BQ=3后,

cosZAPB=-cosZAPC=-叵,sinNAPB=,

AP1010

sinZQBC=絲=好,cosNQBC=*,

BC55

cos^AMB=cos(/QBC+ZAPB)=cosNQBCcosZAPB+sinNQBCsinAAPB

275(VHH753麗A/2

=-------x-------------------X---------=--------

5110J5102,

|l,n=

()a"-[3x2"-2,n>2

n

2n+l

【分析】（1）由己知得當〃22時，a,=S,「S,_a“,即有嗅=2（”22）,從而有數

an

列｛4｝從第二項起成等比數列，由等比數列的通項公式可求得答案;

（2）由（1）得b“=2n-1,運用裂項相消法可求得答案.

【詳解】（1）解：因為S“=%+「2,所以當”=1時，%=H=%—2,所以%=3,

當心2時，an=Sn=（a?+1-2）-（a?-2）=an+1-an,

所以%M=2q（*2）,所以凡包=2（在2）.

an

因為￡=3,所以｛%｝從第二項起成等比數列，

所以當刀之2時,%=3x2"".

所以""一［f3l,xn2="』l""

答案第9頁，共13頁

（2）解：由（1）得，b=log2----------=2n—1,

3

所以」_=_____1_=ip---

HHH

bnbn+l（2-1）（2+1）2（2〃-12+1J

6斤以1--------------F???H-----------------1---------------1-,,?+-------------------------------r

I1-bb

加“〃姑223么A+11x33x5（2n-l）（2n+l）

1

2n+l

1-14-1

—F...+

23352〃-12n+lJ

n

所以q=

2n+l

18.（1）/（X）的單調遞減區間為（-1,0）；單調遞增區間為（o,+e）.

⑵（1,2）

【分析】（1）求出導函數廣（x）,由廣（尤）＞0得增區間，由尸（幻＜。得減區間;

（2）首先由4x）＞0恒成立得出。＞1,然后求出了'（尤），求出/'。）=0的根，根據根的大小

分類討論得出單調性及極值，從而得參數范圍.

【詳解】（1）當。=0時，/（x）=Az，定義域為（F,T）U（T,”）.

,、ev（4x+4）-4e%4xex

/⑺=（?+4）2=逋牙,

令尸（x）=0,可得x=0,

當尤變化時，/⑺和/'⑺的變化情況如下:

X㈠，。）0（0,+oo）

/‘（X）--0+

單調遞單調遞單調遞

/W

減減增

故函數〃x）的單調遞減區間為（-1,0）；單調遞增區間為（0,+8）.

x

（2）因為=e-----＞0對VxeR恒成立，所以依2+4犬+4＞0對X/xeR恒成立,

'7ax2+4x+4

答案第10頁，共13頁

八一、A\a>0A,

顯然〃=0=>4x+4〉0不怛成山不合題思，貝時24/八，解得々>1.

[A=4-4x^x4<0

-(eA(ox2+4x+4)-eA(2?x+4)_eRax+4—2〃)

(ox?+4x+4)[ax1+4x+4)

令尸(x)=0,可得％=0或2-，

4

當〃=2時，2—=0,

a

2exx2

因為廣(司=(2/+?+4)"°'(當且僅當*=°時，/'(x)=°)

所以函數f（x）在R上單調遞增，無極值，不滿足題意;

4

當lvav2時，2—<0,

a

/（X）和廣（X）的變化情況如下:

ST

X2--0(0,+8)

a

/'（X）+0-04-

“X)單調遞增單調遞減單調遞增

函數/（X）在x=O處取得極小值，滿足題意；

當a>2時，2-1>0,〃龍）和/'⑺的變化情況如下:

X(-℃,0)02--

a1-2J

廣⑺+0-0+

單調遞增單調遞減單調遞增

函數/（尤）在x=。處取得極大值，不滿足題意.

綜上，實數”的取值范圍為（L2）.

19.(1)4=3,4=5,4=7