第36頁（共36頁）2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列一．選擇題（共8小題）1．（2025?溫州二模）已知數(shù)列{an}滿足an=an+1-1，n為奇數(shù)2A．[2，4] B．[1，3] C．[3，5] D．[5，9]2．（2024秋?淮南校級(jí)期末）已知等比數(shù)列{an}的公比不為1，且a6，a4，a5成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為（）A．﹣2 B．﹣1 C．12 D．3．（2025?長安區(qū)一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，命題p：{an}是等比數(shù)列；命題q：Sm，S2m，S3m成等比數(shù)列，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025?江蘇模擬）已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4＝4a3﹣4a2，則S4A．5 B．9 C．﹣9 D．﹣55．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足SnA．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列 C．S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6不為等差數(shù)列 D．a(chǎn)n+6．（2025?常德校級(jí)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足：a3+a8＝20，且a5是a2與a14的等比中項(xiàng)．設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1(n∈A．12(1-12nC．12(1-127．（2025?碑林區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)函數(shù)y＝f（x），若數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-f(xn)f'(xn)，則稱{xn}為牛頓數(shù)列．若函數(shù)f（x）＝x2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，且A．20 B．﹣35 C．30 D．﹣558．（2024秋?廣東校級(jí)期末）元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計(jì)算，這根竹子的裝米量為（）A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?咸陽模擬）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝kn2﹣2n（k∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．{an}為等差數(shù)列 B．{an}可能為常數(shù)列 C．若{an}為遞增數(shù)列，則k＞0 D．若{Sn}為遞增數(shù)列，則k＞1（多選）10．（2025?赤峰模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2an+1＝an+an+2，若a5﹣a3＝4，S2＝4，則（）A．a(chǎn)1＝1 B．{an?aC．S9＝81 D．S（多選）11．（2025?濰坊模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=3x+22x+3，數(shù)列{xn}滿足x1A．x2B．f(xC．?dāng)?shù)列|xnD．x（多選）12．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）若{an}是公比為q（q≠0）的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）A．若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列 B．若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列 C．若q＞0，則S4+S6＞2S5 D．若bn=1an，則{b三．填空題（共4小題）13．（2025?長安區(qū)一模）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n+1，則a1+a3+a5+?+a2n+1＝．14．（2024秋?許昌期末）在數(shù)列{an}中，如果?n∈N*，都有anan+1an+2＝K（K為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，K叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知{an}是等積數(shù)列，a3＝1，a5＝2，公積為4，則a1+a2+?+a2025＝．15．（2024秋?山西期末）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=-34，an+1=an+n?3n16．（2025?長沙校級(jí)一模）在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7＝28，a1+a4＝5，若4an+am＝a17（m，n∈N*），則n2+m2的最小值為．四．解答題（共4小題）17．（2025?南寧模擬）已知數(shù)列{an}中，a1（1）證明：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)bn＝anan+1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：118．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）在數(shù)列{an}中，an+12+2an+1＝anan+2+an+an+2，且a1＝2，a（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．19．（2025?鷹潭一模）設(shè)a為正數(shù)，若以a為首項(xiàng)的等比數(shù)列{an}滿足：a1+1，a2+2，a3+3也構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為a所對(duì)應(yīng)的一個(gè)G型數(shù)列．（1）若G型數(shù)列{an}存在并且唯一，求a的值；（2）若an＝a2n﹣1，n∈N*，其中12＜a＜1，{an}是一個(gè)（i）求a的值；（ii）令bn＝an-1an，n∈N*，探究bn，bn+1，bn+2（n∈N*）之間的關(guān)系，并求bn+1220．（2025?赤峰模擬）已知數(shù)列{an}中，an（1）若a1，a2，a3依次成等差數(shù)列，求a1；（2）若a1=4（3）若a1=43，求{an}的前n

2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BADADABB二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ABCACDACDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025?溫州二模）已知數(shù)列{an}滿足an=an+1-1，n為奇數(shù)2A．[2，4] B．[1，3] C．[3，5] D．[5，9]【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)a4＝m，將將a3，a2，a1分別用m表示出來，結(jié)合不等式的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)a4＝m，則m∈[2，3]，因?yàn)閍n所以a3＝m﹣1，a2＝2（m﹣1）＝2m﹣2，所以a1＝2m﹣3∈[1，3]．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?淮南校級(jí)期末）已知等比數(shù)列{an}的公比不為1，且a6，a4，a5成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為（）A．﹣2 B．﹣1 C．12 D．【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得2a4＝a5+a6，再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解．【解答】解：等比數(shù)列{an}的公比不為1，且a6，a4，a5成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，2a4＝a5+a6，即2a1q3=a1q4+可得2＝q+q2，解得q＝1或q＝﹣2，又因?yàn)閝≠1，所以q＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2025?長安區(qū)一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，命題p：{an}是等比數(shù)列；命題q：Sm，S2m，S3m成等比數(shù)列，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；充分條件必要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即得．【解答】解：令a1=1，n=1an=0，n≥2，則Sm＝S2m＝S3m＝1，Sm，S2m，S3令an=(-1)n，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，S2m＝0，Sm，S2m，S3m不成等比數(shù)列，則所以p是q的既不充分也不必要條件．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分必要條件的判斷以及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?江蘇模擬）已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4＝4a3﹣4a2，則S4A．5 B．9 C．﹣9 D．﹣5【考點(diǎn)】求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)所給條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出q，再由求和公式計(jì)算可得．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，顯然an≠0，因?yàn)閍4＝4a3﹣4a2，所以a2即q2＝4q﹣4，解得q＝2，所以S4故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足SnA．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列 C．S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6不為等差數(shù)列 D．a(chǎn)n+【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2可得an=5，n=12n，n≥2，由此可判斷ABC，當(dāng)n【解答】解：∵Sn∴Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）+3＝n2﹣n+3（n≥2），兩式相減得，an＝2n（n≥2），對(duì)于Sn=n2+n+3，令n＝∴an=5對(duì)于A，由an=5，n=12n，n≥2可知從第對(duì)于B，∵a1＝5，a2＝4，∴數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵S4﹣S2＝a3+a4＝6+8＝14，S6﹣S4＝a5+a6＝10+12＝22，S8﹣S6＝a7+a8＝14+16＝30，∴S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6為等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)n＝1時(shí)，a1+S11=當(dāng)n≥2時(shí)，an+Snn=2n+n2+n由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y＝x+1x在（1，∴當(dāng)n＝2時(shí)，n+1n取得最小值∴當(dāng)n＝2時(shí)，an+Snn=3（n綜上所述，an+Snn故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了等差數(shù)列的定義，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．6．（2025?常德校級(jí)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足：a3+a8＝20，且a5是a2與a14的等比中項(xiàng)．設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1(n∈A．12(1-12nC．12(1-12【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的方程組，解出a1與d的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步推導(dǎo)出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可推導(dǎo)出Sn的表達(dá)式．【解答】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則a3化簡(jiǎn)整理，得2a解得a1∴an＝1+2?（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，∴bn==1=1∴Sn＝b1+b2+…+bn=12?（1-13）+12?（=12?（1=1=n故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比中項(xiàng)的性質(zhì)運(yùn)用，裂項(xiàng)相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．7．（2025?碑林區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)函數(shù)y＝f（x），若數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-f(xn)f'(xn)，則稱{xn}為牛頓數(shù)列．若函數(shù)f（x）＝x2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，且A．20 B．﹣35 C．30 D．﹣55【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；新定義；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；新定義類．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得xn+1=12xn，得到{xn}是等比數(shù)列，求得xn【解答】解：根據(jù)題意：若數(shù)列{xn}滿足xn則稱{xn}為牛頓數(shù)列．因?yàn)閒（x）＝x2，所以f′（x）＝2x，則xn又因?yàn)閤1＝2，且xn＞0，所以{xn}是首項(xiàng)為x1＝2，公比q=xn=x則S10故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及數(shù)列的遞推與計(jì)算，屬于中等題．8．（2024秋?廣東校級(jí)期末）元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計(jì)算，這根竹子的裝米量為（）A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得．【解答】解：根據(jù)題意，竹子裝米量逐節(jié)等量減少，即竹子自下而上的各節(jié)裝米量構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，又由a1+a2＝4，a6+a7＝2，a1+a7＝a2+a6＝3，所以這根竹子的裝米量為S7故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?咸陽模擬）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝kn2﹣2n（k∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．{an}為等差數(shù)列 B．{an}可能為常數(shù)列 C．若{an}為遞增數(shù)列，則k＞0 D．若{Sn}為遞增數(shù)列，則k＞1【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】分類討論；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維．【答案】ABC【分析】由Sn可以求出{an}的通項(xiàng)公式，可以判斷A，B；若{an}為遞增數(shù)列，則an+1﹣an＝2k＞0，可判斷C；若{Sn}為遞增數(shù)列，則an＝Sn﹣Sn﹣1＝2kn﹣k﹣2＞0對(duì)任意n∈N+恒成立，可判斷D．【解答】解：由Sn＝kn2﹣2n（k∈R），n＝1時(shí)，a1＝S1＝k﹣2，n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2kn﹣k﹣2，n＝1時(shí)，符合上式，故an＝2kn﹣k﹣2，n∈N+，{an}為等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；當(dāng)k＝0時(shí)，an＝﹣2，{an}為常數(shù)列，B選項(xiàng)正確；若{an}為遞增數(shù)列，則an+1﹣an＝2k＞0，得k＞0，故C正確；若{Sn}為遞增數(shù)列，則an＝Sn﹣Sn﹣1＝2kn﹣k﹣2＞0對(duì)任意n≥2恒成立，則3k﹣2＞0，k＞23，故故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列以及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025?赤峰模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2an+1＝an+an+2，若a5﹣a3＝4，S2＝4，則（）A．a(chǎn)1＝1 B．{an?aC．S9＝81 D．S【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】由等差中項(xiàng)的知識(shí)點(diǎn)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，再根據(jù)已知條件求出首項(xiàng)公差即可判斷A選項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列{an?an【解答】解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2an+1＝an+an+2，若a5﹣a3＝4，S2＝4可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，可得a5﹣a3＝2d＝4，則d＝2，又S2＝a1+a2＝2a1+d＝4，則a1＝1．故A選項(xiàng)正確；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得an＝2n﹣1，an+1＝2n+1，則an可得{an?an+1+1由等差數(shù)列的求和公式，可得S9＝9a5＝9×9＝81，故C選項(xiàng)正確；Sn=(1+2n-故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2025?濰坊模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=3x+22x+3，數(shù)列{xn}滿足x1=A．x2B．f(xC．?dāng)?shù)列|xnD．x【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；等比數(shù)列的概念與判定．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式以及首項(xiàng)，可得第二項(xiàng)，可得A的正誤；根據(jù)題意整理f(xn)+f(1xn)，可得【解答】解：由xn+1=f(xn由f(根據(jù)題目函數(shù)f(x)=3x+22x+3，數(shù)列{xn}滿足x1則顯然f(xn由|xn+1+1x則數(shù)列{|xn+1xn-1則|xn+1由1+15n-1故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及數(shù)列遞推公式，屬于中等題．（多選）12．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）若{an}是公比為q（q≠0）的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）A．若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列 B．若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列 C．若q＞0，則S4+S6＞2S5 D．若bn=1an，則{b【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】在等比數(shù)列中，由于an+1﹣an＝an（q﹣1），當(dāng)a1＞0，0＜q＜1時(shí)，可得an（q﹣1）＜0，即可判斷A；當(dāng)a1＜0，0＜q＜1時(shí)，可得an（q﹣1）＞0，即可判斷B；利用特例法即可判斷C；利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可判斷D．【解答】解：在等比數(shù)列中，an+1﹣an＝an（q﹣1），當(dāng)a1＞0，0＜q＜1時(shí)，顯然有an（q﹣1）＜0，故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A正確；當(dāng)a1＜0，0＜q＜1，顯然有an（q﹣1）＞0，故{an}為遞增數(shù)列，故B正確；若等比數(shù)列{an}：q＝1，則，s4+s6＝10a1，2S5＝10a1，∴則S4+S6＝2S5，故C不正確；設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），若bn=1an，則{bn}故D正確；故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?長安區(qū)一模）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n+1，則a1+a3+a5+?+a2n+1＝2n2+5n+3．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】2n2+5n+3．【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即可．【解答】解：數(shù)列{an}中，an＝2n+1，可得an+1﹣an＝2，故數(shù)列{an}是公差為2，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：數(shù)列{a2n﹣1}亦是等差數(shù)列，且公差為4，首項(xiàng)為3，所以a1+a3+a5+?+a2n+1＝（n+1）a1+(n+1)n2d＝3（n+1）+2n（n+1）＝2n故答案為：2n2+5n+3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?許昌期末）在數(shù)列{an}中，如果?n∈N*，都有anan+1an+2＝K（K為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，K叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知{an}是等積數(shù)列，a3＝1，a5＝2，公積為4，則a1+a2+?+a2025＝3375．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】3375．【分析】由題意利用列舉法，列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，進(jìn)而可得答案．【解答】解：因?yàn)閧an}是等積數(shù)列，a3＝1，a5＝2，公積為4，所以a3a4a5＝4，所以a4＝2，同理可得a1＝2，a2＝2，由題意可得：n123456789?an221221221?所以數(shù)列{an}的最小正周期T＝3，因?yàn)?025÷3＝675，所以a1+a2+?+a2025＝675×（a1+a2+a3）＝675×5＝3375．故答案為：3375．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列新定義的應(yīng)用，數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?山西期末）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=-34，an+1=an+n?3n【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】40474【分析】運(yùn)用累加，結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可．【解答】解：∵an+1=an當(dāng)n≥2時(shí)，有an由an﹣a1＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1×31+2×32+...+（n﹣1）?3n﹣1，3（an﹣a1）＝1×32+2×33+...+（n﹣1）?3n，相減可得﹣2（an﹣a1）＝31+32+...+3n﹣1﹣（n﹣1）?3n=3(1-3n-1)1-3-（即有an=(12n則an=(1故答案為：40474【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2025?長沙校級(jí)一模）在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7＝28，a1+a4＝5，若4an+am＝a17（m，n∈N*），則n2+m2的最小值為17．【考點(diǎn)】由等差數(shù)列中若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式或其中的項(xiàng)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】17．【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由4an+am＝a17求出m，n的各組值，計(jì)算比較得解．【解答】解：S7＝28，則7a4＝28，解得a4＝4，而a1+a4＝5，則a1＝1，數(shù)列{an}的公差d=a4-a1因?yàn)?an+am＝a17，所以4n+m＝17，而m，n∈N*，則n=3m=5或n=4m所以當(dāng)n=4m=1時(shí)，n2+m2的最小值為42+12故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025?南寧模擬）已知數(shù)列{an}中，a1（1）證明：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)bn＝anan+1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的概念與判定．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）an（3）證明見解析．【分析】（1）通過等式左右兩側(cè)取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明結(jié)論；（2）根據(jù)（1）可得數(shù)列{1（3）利用裂項(xiàng)相消法可求得Sn，分析性質(zhì)可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：由an+1=an∴數(shù)列{1an}是以（2）解：由（1）得，1a∴an（3）證明：由an得bn∴Sn而函數(shù)Sn=1∴當(dāng)n＝1時(shí)，(S即13【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求和，是中檔題．18．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）在數(shù)列{an}中，an+12+2an+1＝anan+2+an+an+2，且a1＝2，a（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解答；（2）3?2n﹣n﹣3．【分析】（1）將an+12（2）根據(jù)（1）可求出{an}的通項(xiàng)，再利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)閍n所以an所以(a即an因?yàn)閍1＝2，a2＝5，所以a1+1＝3，a2+1＝6，所以a2所以數(shù)列{an+1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，an所以an所以Sn【點(diǎn)評(píng)】本題考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2025?鷹潭一模）設(shè)a為正數(shù)，若以a為首項(xiàng)的等比數(shù)列{an}滿足：a1+1，a2+2，a3+3也構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為a所對(duì)應(yīng)的一個(gè)G型數(shù)列．（1）若G型數(shù)列{an}存在并且唯一，求a的值；（2）若an＝a2n﹣1，n∈N*，其中12＜a＜1，{an}是一個(gè)（i）求a的值；（ii）令bn＝an-1an，n∈N*，探究bn，bn+1，bn+2（n∈N*）之間的關(guān)系，并求bn+12【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）a=（2）（i）a=（ii）bn【分析】（1）由等比數(shù)列的中項(xiàng)公式列出方程，再由數(shù)列{an}存在并且唯一知，方程（*）必有一個(gè)實(shí)根為0，代入方程，即可求出a的值；（2）（i）由an=a2n-1（ii）由（i）a2+a﹣1＝0，得b1=a-1a=-1，進(jìn)而求得b2即可得到bn，bn+1，bn+2之間的關(guān)系，合cn=bn+12-bnbn+2，則c2=b22-b1b3=5，可得【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1+1，a2+2，a3+3構(gòu)成等比數(shù)列，則（aq+2）2＝（a+1）（aq2+3）化簡(jiǎn)得：aq2﹣4aq+3a﹣1＝0（*），又a＞0，Δ＝（4a）2﹣4a（3a﹣1）＝4a2+4a＞0，故方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根，再由數(shù)列{an}存在并且唯一知，方程（*）必有一個(gè)實(shí)根為0，將q＝0代入方程（*）得a=檢驗(yàn)當(dāng)a=13時(shí)，方程（x）可化為q2﹣4q＝0，解得q＝4或q（2）（i）因?yàn)閍n=a2n-1，則a，a3，a5，a，...為G型數(shù)列，則a+1，a3則有（a3+2）2＝（a+1）（a5+3），即a5﹣4a3+3a﹣1＝0，因式分解得：（a2+a﹣1）（a3﹣a2﹣2a+1）＝0，方程a2+a﹣1＝0的兩根為a=-1±52，其正根為a=-1+52，滿足12＜a＜1由f（﹣2）＝﹣7＜0，f（0）＝1＞0，f(12)=-18＜0，f（1）＝﹣1＜0，函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣2x+1的三個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（﹣2，0），(0，12)，（1，2）內(nèi)，所以方程（a2+a﹣1）（a3﹣a2﹣2a滿足12＜a＜1的（ii）由（i）知a2+a﹣1＝0，即b1=a知b2＝﹣4由(a-1a)即bn+2＝3bn+1﹣bn，由b1＝﹣1，b2＝﹣4知，b3＝﹣11，bn∈Z，會(huì)cn則c2=b22-b1b3=5，b所以cn+1＝cn＝...＝c1＝5，即bn【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及等比數(shù)列的中項(xiàng)公式，屬于中等題．20．（2025?赤峰模擬）已知數(shù)列{an}中，an（1）若a1，a2，a3依次成等差數(shù)列，求a1；（2）若a1=4（3）若a1=43，求{an}的前n【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的概念與判定．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）a1（2）證明見解析；（3）Sn【分析】（1）利用遞推關(guān)系得到a2=2a1-59，（2）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（3）結(jié)合（2）求出an=2【解答】（1）解：由an+1=2a3∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴2a2＝a1+a3，即2(2a1-（2）證明：a1=4∵an∴an即an+1-13n+1（3）解：由（2）可得an-1∴S=1×(1-=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1；前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-qn3、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對(duì)于等差數(shù)列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn)．當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題．（2）對(duì)于等比數(shù)列：an＝a1qn﹣1．可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解．當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列．當(dāng)q＜0時(shí)，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：數(shù)列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn}也為等差數(shù)列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=n∴SnS1=1，S2∵數(shù)列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故選：D．3．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝a等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．4．等差數(shù)列的概念與判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝a【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：等差數(shù)列滿足an+1﹣an＝d．﹣判定：根據(jù)相鄰兩項(xiàng)的差是否為定值判定數(shù)列是否為等差數(shù)列．【命題方向】常見題型包括利用定義和相鄰兩項(xiàng)的差判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）A．6，6，6，?，6，?B．﹣2，﹣1，0，?，n﹣3，?C．5，8，11，?，3n+2，?D.0，1，3，?，n2解：數(shù)列6，6，6，?，6，?是公差為0的等差數(shù)列；數(shù)列﹣2，﹣1，0，?，n﹣3，?是公差為1的等差數(shù)列；∵3n+2﹣[3（n﹣1）+2]＝3為常數(shù)，故數(shù)列5，8，11，?，3n+2，?是等差數(shù)列；∵1﹣0≠3﹣1，故數(shù)列0，1，3，?，n2故選：D．5．由等差數(shù)列中若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式或其中的項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，那么第n項(xiàng)為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項(xiàng)為am，則第n項(xiàng)為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d進(jìn)行推導(dǎo)．﹣設(shè)未知數(shù)：假設(shè)通項(xiàng)公式，利用已知項(xiàng)求解參數(shù)．﹣遞推關(guān)系：利用等差數(shù)列的遞推關(guān)系推導(dǎo)出通項(xiàng)公式．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的若干項(xiàng)推導(dǎo)出通項(xiàng)公式或求解其中的項(xiàng)，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通項(xiàng)公式．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a5＝10，a12＝31，∴10=a1+4故an＝﹣2+3（n﹣1）＝3n﹣5．6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．7．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問題中的n值代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣推導(dǎo)公式：根據(jù)實(shí)際問題推導(dǎo)出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體項(xiàng)，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問題．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+n(n-1)2?2＝故答案為：n2﹣2n．8．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?a等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．9．等比數(shù)列的概念與判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：對(duì)于等比數(shù)列an，如果存在常數(shù)r使得an+1a﹣判定：可以通過計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值是否相同來判定是否為等比數(shù)列．﹣公式：通項(xiàng)公式為an=a1?r【命題方向】常見題型包括給出數(shù)列的若干項(xiàng)，判斷是否為等比數(shù)列，以及求解公比和通項(xiàng)公式．下面四個(gè)數(shù)列中是等比數(shù)列的為_____．（填序號(hào)）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在數(shù)列{an}中，已知a2a1③常數(shù)列a，a，?，a，?；④在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中解：對(duì)于①，∵11≠21，∴由等比數(shù)列的定義，知1，1，2，4，8，16，32，對(duì)于②，在數(shù)列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，常數(shù)列a，a，?，a，?中，當(dāng)a＝0時(shí)，該數(shù)列是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中由等比數(shù)列的定義，得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故④正確．故答案為：④．10．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問題中的n值和公比r代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣公式推導(dǎo)：根據(jù)實(shí)際問題推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體和，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問題．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則S6＝_____．解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則a1+a故S611．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實(shí)際問題的結(jié)合．12．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．13．裂項(xiàng)相消法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個(gè)或多個(gè)部分進(jìn)行相消來簡(jiǎn)化計(jì)算．【命題方向】常見題型包括利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：12解：因?yàn)閗(所以原式=(1故答案為：1-114．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（