8.3完全平方公式與平方差公式主講：滬科版（2024）七年級數學下冊

第8章整式乘法與因式分解第1課時完全平方公式目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06分層練習0807課本習題課堂小結學習目標1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點;（重點）2.會運用公式進行運算；(難點)情景導入多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

(a

+b)(m

+n)=+bmam

+an+bn新知探究(a

+b)2=_______________(a

－

b)2=_______________

a2

+2ab+b2

a2

－2ab+b2完全平方公式

兩個數的和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和加（或減）這兩個數乘積的2倍.完全平方公式，除了直接由多項式的乘法得到，還可以通過圖形面積割補的方法得到.觀察下面的兩幅圖，寫出所蘊含的等式.abab(a

+b)2

a2

ab

ab

=++(a

+b)2=a2+2ab+（）

b2觀察abab(a

－

b)2

a2

=－+(a

－

b)2=a2

－（）+b2

b2

2ab例題講解例1利用乘法公式計算：（1）(2x

+y)2；（2）(3a

－2b)2.解

（1）(2x+y)2

=(2x)2+2·(2x)y+y2(a+b)2=a2+2ab+b2

=4x2+4xy+y2運用公式計算，要先識別

a，b

在具體式子中分別表示什么.利用乘法公式計算：（1）(2x

+y)2；（2）(3a

－2b)2.（2）(3a

－2b)2=(3a)2

－2·(3a)(2b)+(2b)2(a－

b)2=a2

－2ab+

b2

=9a2

－12ab+4b2例2利用乘法公式計算：(－m－2n)2.解(－m－2n)2

=

[－(m

+

2n)]2

=

(m

+

2n)2

=

m2

+4mn+

4n2

解(－m－2n)2

=

(－m)2－2·(－m)·2n+(2n)2

=

m2+4mn+4n2

看作一個整體，運用完全平方公式(a－b)2例題講解課堂練習1.利用乘法公式計算：（1）(3x+1)2

；（2）(a－3b)2.解（1）(3x+1)2

（2）(a－3b)2

=

(3x)2+2·(3x)·1+12

=

9x2+6x+1=

a2

－2a·(3b)+(3b)2

=

a2

－6ab+9b2

（3）

；（4）(－2x

+3y)2.（3）（4）(－2x

+3y)2

=

(－2x)2+2·(－2x)·(3y)+(3y)2

=

4x2－12xy+9y2

2.如圖，一張正方形的紙片，如果把它沿著各邊都剪去3cm寬的一條，那么所得小正方形的面積比原正方形的面積減少84cm2，求原正方形的邊長.設原正方形的邊長為a

cm.33（單位：cm）小正方形的邊長為(a－6)

cm.a2－(a－6)2

=842.如圖，一張正方形的紙片，如果把它沿著各邊都剪去3cm寬的一條，那么所得小正方形的面積比原正方形的面積減少84cm2，求原正方形的邊長.a2－(a－6)2=84a2－(a2－12a

+36)=8412a=120a=1033（單位：cm）答：原正方形的邊長為10

cm.分層練習基礎題1.[2024·上海月考]

下列算式能用完全平方公式計算的是(

)B

2.下列計算正確的是(

)D

A

C

C

6.

下列算式能用完全平方公式計算的是(

)B

8.計算：

9.［知識初練］

如圖是利用割補法求圖形面積的示意圖，則與之相對應的公式是_________________________.

11.運用完全平方公式計算：

利用完全平方公式進行數值運算時，可以將底數拆成兩個數的和或差，拆分時主要有兩種形式：一是將與整十、整百或整千接近的數拆分成整十、整百或整千與相差的數的和或差；二是將帶分數拆分成整數與真分數的和或差.

13.利用完全平方公式進行簡便計算:

綜合應用題

DA.正數

B.負數

C.非負數

D.4的倍數

DA.1個

B.2個

C.3個

D.5個

（1）請你檢驗這個等式的正確性.

18.

【發現】兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數，且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.

3(3)根據(1)題中的等量關系，解決