第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津四十七中高二（下）3月月考數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列求導運算正確的是(

)A.(e1?x)′=e1?x B.(cos3x)′=?sin3x

2.“m=?1”是“直線mx+(2m?1)y+2=0與直線3x+my+3=0垂直”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知a=ln1.01，b=1.01，c=e0.01，則(

)A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b4.在等比數列{an}中，a4=?1，aA.23 B.?23 C.5.已知函數f(x)=lnx+(x?b)2(b∈R)在[1,2]上存在單調遞減區間，則實數b的取值范圍是A.[32,+∞) B.[94,+∞)6.已知拋物線y=116x2的焦點是雙曲線yA.41717 B.415157.定義：若函數y=f(x)存在n?1(n∈N?)個極值點，則稱y=f(x)為n折函數.例如，函數f(x)=x3?3x為3折函數.已知函數f(x)=cos2x+xlnx?x，則f(x)為(

)

A.3折函數 B.4折函數 C.5折函數 D.6折函數8.天津市第四十七中學為了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七張知識展板放置在七個并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰.且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數為(

)A.265 B.320 C.480 D.9609.若曲線y=ax+3cosx上存在兩條切線相互垂直.則實數a的取值范圍是(

)A.[?22,22] B.[?二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.已知函數f(x)在x=x0處可導，且Δx→0limf(x11.圓x2+y2+2mx+4my+6=0關于直線mx?y+3=012.函數f(x)=13x3?13.天津有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色.現有一名游客每天分別從包子、麻花、炸糕、素卷圈、鍋巴菜、大餅卷一切這6種美食中隨機選擇品嘗，每天至少品嘗一種且每天不重樣，若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數為______．14.已知函數f(x)的定義域為R，且f(x)+1<f′(x)，f(0)=2，則不等式f(lnx)+1>3ex的解集為______．15.已知函數f(x)=xx?1，g(x)=2alnx，當x>0時，函數f(x)的圖象始終在函數g(x)圖象的上方，則實數a的取值范圍為______．三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

已知函數f(x)=(2?a)lnx+1x+2ax(a∈R)．

(Ⅰ)當a=0時，求f(x)的極值；

(Ⅱ)當a<0時，求f(x)單調區間；

(Ⅲ)若對任意a∈(?3,?2)及x1，x2∈[1,3]17.(本小題15分)

如圖，已知多面體ABC?A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

(1)求證：18.(本小題15分)

設P為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一點，F1，F2為橢圓的左、右兩焦點，短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，

(1)求橢圓的離心率；

(2)直線l：y=kx+b2與橢圓交于P、Q19.(本小題15分)

已知{an}為等差數列，{bn}為等比數列，b1=2a1=2，a5=a2+a3，b6=3(2b5?3b4).

(Ⅰ)分別求數列{an}和{bn}的通項公式；

20.(本小題16分)

已知函數f(x)=(x?1)ex?lnx，g(x)=x+(lnx)2．

(1)當x≥1時，證明：xlnx≤x?1≤xlnx；

(2)若?(x)=f(x)+λg(x)在(0,+∞)單調遞增，求λ的取值范圍；

(3)若f(參考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A

10.?8

11.3

12.4313.540

14.(1,+∞)

15.(?e16.解：(Ⅰ)依題意知f(x)的定義域為(0,+∞)，

當a=0時，f(x)=2lnx+1x，f′(x)=2x?1x2=2x?1x2，

令f′(x)=0，解得x=12，

當0<x<12時，f′(x)<0；

當x≥12時，f′(x)>0

又∵f(12)=2?ln2

∴f(x)的極小值為2?2ln2，無極大值．

(Ⅱ)f′(x)=2?ax?1x2+2a=2ax2+(2?a)x?1x2

當a<?2時，?1a<12，

令f′(x)<0得0<x<?1a或x>12，

令f′(x)>0得?1a<x<12；

當?2<a<0時，得?1a>12，

令f′(x)<0得0<x<12或x>?1a，

令f′(x)>0得12<x<?1a；

當a=?2時，f′(x)=?(2x?1)2x2≤0，

綜上所述，當a<?2時f(x)，的遞減區間為(0,?1a)和(12,+∞)，遞增區間為(?1a17.解：(1)證明：以AC的中點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則A(0,?3,0),B(1,0,0),A1(0,?3,4),B1(1,0,2)，C1(0,3,1),C(0,3,0)，

∴AB1=(1,3,2)，A1B1=(1,3,?2)，A1C1=(0,23,?3)，

∵AB1?A1B1=0,AB1?A1C1=0，

則AB1⊥A1B1，AB1⊥A1C1，

又A1B1∩A1C1=A1，A1B1，18.解：(1)由題意可知a=2b，

所以e=1?b2a2=1?14=32．

(2)設點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

則由y=kx+b2x24+y2=b2，消y，得(1+4k2)x2+4kbx?3b2=0，

因為直線與橢圓交于不同的兩點，

19.解：(Ⅰ)設等差數列{an}為的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，

由b1=2a1=2，a5=a2+a3，b6=3(2b5?3b4)，

可得1+4d=2+3d，2q5=3(4q4?6q3)，

解得d=1，q=3，

所以an=1+n?1=n；bn=2×3n?1；

(Ⅱ)(ⅰ)證明：cn=bn+1?b20.解：(1)證明：根據題目：已知函數f(x)=(x?1)ex?lnx，g(x)=x+(lnx)2．

令F(x)=xlnx?x+1，F′(x)=lnx，

當x∈(0,1)時，F′(x)<0，F(x)單調遞減；

當x∈(1,+∞)時，F′(x)>0，F(x)單調遞增，所以F(x)>F(1)>0，即xlnx≥x?1，

令G(x)=xlnx?x+1，G′(x)=lnx+2?2x2x，

令H(x)=lnx+2?2x，H′(x)=1x?1x=1?xx，

當x∈(1,+∞)時，H′(x)<0，H(x)單調遞減，H(1)=0，

故：G′(x)≤0，G(x)單調遞減，G(x)≤G(1)=0，故：xlnx≤x?1，

所以：xlnx≤x?1≤xlnx(x≥1)，

(2)?(x)=(x?1)ex?lnx+λ(x+ln2x)，?′(x)=xex?1x+λ(1+2lnxx)=x2ex?1+λln(x2ex)x，

當x∈(0,+∞)時，令x2