2024年中考數學真題專題分類精選匯

專題35綜合與實踐探究類問題

1.(2024黑龍江綏化)綜合與實踐

問題情境

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象.

紙片AABC和QEF滿足ZACB=ZEDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創新小組的探究過程.

操作發現

(1)如圖1,取48的中點。，將兩張紙片放置在同一平面內，使點。與點尸重合.當旋轉AD￡F

紙片交4c邊于點H、交5C邊于點G時，設/〃=x(l<x<2),BG=y,請你探究出了與x的

函數關系式，并寫出解答過程.

問題解決

(2)如圖2,在(1)的條件下連接GH,發現ACGW的周長是一個定值.請你寫出這個定值，并

說明理由.

拓展延伸

(3)如圖3,當點尸在邊上運動(不包括端點A、B),且始終保持//也=60°.請你直接

寫出AZ)￡尸紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值(結果保留根號).

圖1圖2圖3

2

【答案】(1)y=-(l<x<2),見解析；(2)2,見解析；(3)2+也或2-C

JC

【解析】【分析】(1)根據題意證明,得出關系式=?斯，進而

求得45=20,/尸=5。=血，代入比例式，即可求解；

(2)方法一：勾股定理求得GH,將將(1)中孫=2代入得G8=x+y-2,進而根據三角形的

周長公式，即可求解；

方法二：證明△/。笈，AHAOsAHOG，過。作(W_!.///交/笈于點作

OP上HG交HG于點、P,作0NJ_G5交GB于點N.證明名△。尸打，

△OPG名ZXONG，得出HG=MH+GN,得出CW=。乂=48。=1,進而根據三角形的周長

2

公式可得△CHG的周長=CW+CN=2CM=2x1=2.

方法三：過。作〃交4FZ于點/，作ON_LGS交GB于點N,在N3上截取一點。，使

N。=,連接0C.得出叢OMH沿叢ONQ,△08G也△OQG，則7/G=G0=GN+,

同方法二求得CW=CN=LBC=1,進而即可求解；

2

（3）分兩種情況討論，￡/于NC,8C的夾角；①過點R作方NLZC于點N,作的垂直平分

線交FN于點、M,連接〃“，在Rt^MNH中，設:NH=k,由勾股定理得，

FN=MN+MF=（2+塔k,進而根據正確的定義，即可求解；②過點/作EV_L于點N,

作/G的垂直平分線交BG于點M,連接9,在Rt△月VW中，設FN=k,同①即可求解..

【詳解】操作發現

解：（1）ZACB=ZEDF=90°,且4C=BC=DF=DE=2cm.

/.ZA=NB=ZDFE=45°,

ZAFH+ZBFG=ZBFG+ZFGB=135°,

AAFH=ZFGB,

AAFHsABGF,

.AFAH

??一,

BGBF

AHBG=AFBF.

在Rtz\/C8中，AC=BC=2,

AB=^AC2+BC2=V22+22=2V2，

...。是48的中點，點。與點R重合，

AF=BF=4i,

xy=V2xV2，

問題解決

（2）方法一：

解：ACG8的周長定值為2.

理由如下：VAC=BC=2,AH=x,BG=y,

：.CH=2-x,CG=2-y,

在RtAT/CG中，；.GH=yJCH2+CG2=^(2-x)2+(2-y)2

=y/x2+y2-4(x+-y)+8=+y)2-2xy-4(x+-y)+8?

將(1)中中=2代入得：

GH=+-4(x+y)+4=J(x+y—2『=|x+j-2|?

(x+j)2=x2+y2+2xy=x2+y2+4>4,X1<x<2,

x+y>2,

GH=x+y—2.

?/△SG的周長=CH+CG+GA,

△C7/G的周長=2-x+2—y+x+y—2=2.

方法二：

解：ACGH的周長定值為2.

理由如下：：AABC和ADEF是等腰直角三角形，

ZA=ZB=ZE=ZEOD=45°,

ZAOH+ZBOG+ZEOD=180°,

ZAOH+ZBOG=135°,

在/中，NZ=45°,

ZAOH+ZAHO=135°,

：.ZAHO=ZBOG,

/.AAOHsABGO，

----=-----=-----,AAOH=/OGB,/LAHO=/BOG,

BGOGOB

；O為AB的中點，

AO—BO,

.OHAH

??一,

OGAO

又?：N4=/EOD=45。,

，4HA0sAHOG，

ZAHO=ZOHG,ZOGB=ZOGH,

...過。作交/笈于點M,作。PLHG交7/G于點尸，作ONLGB交GB于點、N.

：.OM=OP=ON.

又,：OH=0H,OG=OG,

：.80MH9NJPH,△OPGQXONG，

/.HM=PH,PG=NG,

：.HG=MH+GN.

CHG的周長=+CG+GW=CH+CG+A/H+GN=Ol+CN.

又,：AO=OB,OMON,ZA=ZB=45°,

：.AAOM^ABON,

:.AM=BN,

VZC=90°,ZAMO=90°,

OM//BC,

...。是48的中點，

??.點M是/C的中點，同理點N是5C的中點.

：.CM=CN=-BC=1,

2

4CHG的周長=CM+CN=2CM=2x1=2.

方法三：

解：ACG//的周長定值為2.

理由如下：過。作交4F7于點作ONLGfi交GB于點N,在N3上截取一點

使NQ=MH,連接OC.

?；A45c是等腰直角三角形，。為25的中點，

0c平分//C5,

OM=ON,

AOMH^AONQ,

OH=0Q,ZMOH=ZNOQ.

?.,D7/G>G=45°,ZACB=90°,

AMON=90°,ZMOH+AGON=45°,

/GO0=45。，

ZHOG=ZGOQ,

OG=OG,

△OHG"AOQG,

HG=GQ—GN+MH,

CHG的周長=S+CG+GW=CH+CG+Aff/+GN=Ol+CN.

又,：AO=OB,OM=0N,44=48=45。，

AAOMQABON,

:.AM=BN.

VZC=90°,AAMO=90°,

OM//BC.

是48的中點，，點〃■是/C的中點，同理點"是5。的中點.

：.CM=CN=-BC=1,

2

/.△CHG的周長=CM+CN=20/=2x1=2.

拓展延伸

（3）2+百或2-劣

①解：,1?ZAFE=60°,44=45。，

ZAHF=75°,

過點E作ENLZC于點N,作的垂直平分線交月V于點連接Mf,

FM=MH,

,//FNH=90°,

：.ZNFH=15°,

FM=MH,

：.ZNFH=ZMHF=15°,

NNMH=30°,

在RtAJlfW中，設NH=k,

：.MH=MF=2k,由勾股定理得，

MN=也NH=6k，

:.FN=MN+MF=(2+0k,

.?.在RtAFW中,tanNFHN-tan75°=—==2+6?

NHC+k""

②解：ZAFE=60°,44=45。，

ZFGB=15°,

過點E作月V，5c于點N,作/G的垂直平分線交5G于點M,連接引0.

GM=MF,

：.ZFGB=ZGFM=15°,

ZFMB=30°,

在Rt△月VM中，設FN=k,

GM=MF=2k,由勾股定理得，MN=&N=&，

：.GN=GM+MN=(2+也)k,

FNkr~

.,.在RtZkFVG中，tanZFGN=tan15°=--=------^=2-y/3.

GN(2+J73)左

???tanZFfflV=2+G或tanZFGN=2-5

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性

質，函數解析式，熟練掌握相似三角形的性質與判定，解直角三角形是解題的關鍵.

2.（2024福建省）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙/BCD,要求大家利用它制

作一個底面為正方形的禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中4￡=用），恰好得到紙盒的展開

圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示.

D

C

圖1圖2

圖3

AF）

（1）直接寫出一的值；

AB

（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應

選擇的紙盒展開圖圖樣是（）

圖4

(3)

卡紙型號型號I型號n型號m

規格（單位：cm）30x4020x8080x80

單價（單位：元）3520

現以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整/E,E尸的比例，制作棱長為10cm的

正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型

號卡紙的張數），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上

的分布情況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙,

不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將

綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上

的卡紙僅供作草稿用）

型號III

【答案】（1）2；（2）C；（3）見解析.

【解析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創新意識等知識，掌握

相關知識是解題的關鍵.

（1）由折疊和題意可知，GH=AE+FB,=,四邊形是正方形，得到=

即/G=E尸，即可求解；

（2）根據幾何體的展開圖即可求解；

（3）由題意可得，每張型號印卡紙可制作10個正方體，每張型號H卡紙可制作2個正方體，每張

型號I卡紙可制作1個正方體，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖：

上述圖形折疊后變成:

由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

:四邊形E7WM是正方形，

，EM=EF,即AG=EF,

：.GH+AG=AE+FB+EF,即=

,/AH=DH,

ADAH+DHc

——=----------=2,

ABAB

---的值為：2.

AB

【小問2詳解】

解：根據幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應面上，而對應面

上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，

???C選項符合題意，

故選：C.

【小問3詳解】

解：

卡紙型號型號I型號n型號山

需卡紙的數量（單位：張）132

所用卡紙總費用（單位：元）58

根據（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm,則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開圖形為:

型號III卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖:

型號n卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖:

型號I卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖:

可選擇型號in卡紙2張，型號n卡紙3張，型號I卡紙1張，則

10x2+2x3+1x1=27（個），

所用卡紙總費用為:

20x2+5x3+3x1=58（元）.

3.（2024甘肅威武）【模型建立】

AEVBD.用等式寫

出線段NE,DE,S的數量關系,并說明理由.

【模型應用】

（2）如圖2,在正方形48CD中，點E,尸分別在對角線和邊CD上，AE1EF,ZE=EE.用

等式寫出線段BE,AD,。尸的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）如圖3,在正方形48CD中，點￡在對角線RD上，點尸在邊CD的延長線上，AE1EF,

AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,DR的數量關系，并說明理由.

【答案】（1）DE+CD=AE,理由見詳解，（2）AD=42BE+DF>理由見詳解，（3）

AD=GBE-DF，理由見詳解

【解析】

【分析】（1）直接證明,即可證明；

（2）過￡點作區攸_1_40于點A1,過￡點作￡乂_1_。。于點乂先證明RtA.4EM也RtAFEN,可

得AM=NF,結合等腰直角三角形的性質可得：MD=DN=—DE，

2

NF=ND-DF=MD-DF,即有NF=AM=AD-MD=AD--DE，

2

NF=-DE-DF）進而可得4D—也DE=^DE-DF，即可證；

222

（3）過/點作于點X,過尸點作EG_LB￡>,交AD的延長線于點G,先證明

△HAEQAGEF,再結合等腰直角三角形的性質，即可證明.

【詳解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

CDVBD,AELBD,AB1BC,

：.ZABC=ZD=NAEB=90°,

NABE+ZCBD=ZC+ZCBD=90P,

ZABE=ZC,

?1,AB=BC,

：.AABEdBCD,

/.BE=CD,AE=BD,

：.DE=BD—BE=AE—CD,

：.DE+CD=AE-,

（2）AD=42BE+DF,理由如下：

過E點作ENL4D于點”，過E點作￡N_LCD于點N,如圖,

C

?.?四邊形48CD是正方形，AD是正方形的對角線，

ZADB=ZCDB=45°,BD平分N4DC,ZADC=90°,

42AD=41CD=BD，

即DE=BD-BE=6AD-BE，

:ENLCD,EMLAD,

EM=EN,

???AE=EF,

出A/EM義Rt^FEN,

AM=NF,

,:EM=EN,ENLCD,EMLAD,ZADC=90°,

，四邊形EMDN是正方形，

二ED是正方形EA力N對角線，MD=ND,

V2

MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

,V2V2

：.NF=AM=AD-MD=AD--DENF=—DE-DF-

22

zyJ7

AD--DE=—DE-DF-即AD=CDE—DF，

22

DE=CAD-BE，

:.AD=^(^AD-BE)-DF,

即有AD=6BE+DF；

(3)AD=4IBE-DF)理由如下,

過/點作/〃■J_8￡）于點”，過尸點作尸G,80,交8。的延長線于點G,如圖,

AHLBD,FG±BD,AELEF,

NAHE=NG=ZAEF=90°,

二ZAEH+ZHAE=ZAEH+ZFEG=90°,

???ZHAE=ZFEG,

又?：AE=EF,

AHAEAGEF,

HE=FG,

?.?在正方形ABCD中，ABDC=45°,

ZFDG=ZBDC=45°,

NDFG=45°,

二四G是等腰直角三角形,

：-FG=—DF，

2

/y

HE=FG=—DF，

2

VZADB=45°,AH1HD,

A/DX是等腰直角三角形，

HD=—AD，

2

.后V2

■■DE=HD-HE=—AD--DF，

22

V2V2

BD—BE=DE="AD—JDF，

22

BD=41AD，

sl2AD-BE=—AD--DF，

22

AD=42BE-DF-

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分

線的性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊

之間的數量關系，是解答本題的關鍵.

4.（2024廣西）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達到洗衣目標.

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都殘留0.5kg水.

濃度關系式：d尸=”畫.其中喝、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單

0.5+w

次漂洗所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【答案】（1）只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）兩次漂洗的方法值得推廣學習

【解析】

【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數式的值，理解題意是關鍵；

（1）把d后=0.01%,d前=0.2%代入d=O,、d前,再解方程即可；

口0.5+TV

（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案;

（3）根據（1）（2）的結果得出結論即可.

【小問1詳解】

解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入"=%上

0.5+w

0.5x02%

得0.01%=

0.5+w

解得w=9.5.經檢驗符合題意;

...只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

【小問2詳解】

解：第一次漂洗：

把w=2kg,d前=0.2%代入"尸

0.5+w

0.5x02%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把w=2kg,喝=0.04%代入d=&^L,

口0.5+w

0.5x0.04%

=0.008%

0.5+2

而0.008%<0.01%,

...進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

【小問3詳解】

解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，

從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習.

5.（2024貴州省）綜合與探究：如圖，NZ08=90°,點尸在的平分線上，上于點

A.

（1）【操作判斷】

如圖①，過點尸作尸于點C,根據題意在圖①中畫出PC,圖中/4PC的度數為度;

(2)【問題探究】

如圖②，點M在線段4。上，連接過點P作尸N,W交射線08于點N,求證：

OM+ON=2PA；

(3)【拓展延伸】

點M在射線上，連接過點P作PNLPM交射線。8于點N,射線7W與射線P。相交

0P

于點尸，若0N=30M,求一的值.

0F

,8

【答案】(1)畫圖見解析，90(2)見解析(3)不或一

33

【解析】【分析】(I)依題意畫出圖形即可，證明四邊形O4PC是矩形，即可求解；

(2)過尸作PC，。于C,證明矩形。4PC是正方形，得出O4=4P=PC=0C,利用ASA證明

AAPM^ACPN，得出AM=CN,然后利用線段的和差關系以及等量代換即可得證；

(3)分“在線段/。，線段/。的延長線討論，利用相似三角形的判定與性質求解即可；

【小問1詳解】

解：如圖，PC即為所求，

_______P

□：

0|-------------B

VZAOB=90°,PAVOA,PCLOB,

四邊形O4PC是矩形，

NAPC=90°,

故答案為：90；

【小問2詳解】

證明：過P作于C,

由(1)知：四邊形。4尸。是矩形，

?.?點尸在N/05的平分線上，PA1OA,PCLOB,

：.PA=PC,

?,?矩形。4PC是正方形,

OA=AP=PC=OC,ZAPC=90°,

???PNIPM,

：.NAPM=ZCPN=90°-ZMPC,

又ZA=NPCN=90。,AP=CP,

???△4PA修△CPN，

??.AM=CN,

：.OM+ON=OM+CN+OC

=OM+AM+AP

=OA+AP

=2AP；

【小問3詳解】

解：①當河在線段4。上時，如圖，延長NM、尸4相交于點G,

由（2）知OM+ON=2PA,

設OM=x,則ON=3x,AO=PA=2x,

：.AM=AO-OM=x=OM,

VZAOB=ZMAG=90°,AAMG=4）MN,

??.△M/G%OAW（ASA）,

???AG=ON=3x,

VZAOB=90°,PALOA,

：.AP//OB,

：.△ONFSAPGF,

.OFON3x3

…PF~TG~3x+2x~5，

.PF_5

??布一§，

.OP_5+3_8

②當河在40的延長線上時，如圖，過尸作尸于C,并延長交于G

由（2）知：四邊形。4尸。是正方形，

；.OA=AP=PC=OC,ZAPC=90°,PC//AO,

,/PNIPM,

：.ZAPM=ZCPN=90°-ZMPC,

又ZA=/PCN=9。。,AP=CP,

???△APMdCPN,

??.AM=CN,

：.ON-OM

=OC+CN-OM

=AO+AM-OM

=AO+AO

=2AO,

ON=3OM=3x

AO=x，CN-AM=2x,

■：PC//AO,

：.ACGNSAOMN,

.CGCNHnCG2x

OMONx3x

CG=-x,

3

???PC//AO,

：."MFSAPGF,

OF_OM__x_3

A7F-PG-2-5，

x+—x

3

.PF_5

??而一

,OP5-32

??赤一^--"

QPno

綜上，一的值為;或2.

OF33

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，正方形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判斷

與性質，相似三角形的判斷與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形、相似三角

形，合理分類討論是解題的關鍵.

6.（2024河北省）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角三角形后得到的.

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

圖1

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線￡/，裁剪，將該紙片剪成①，②,③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根

（2）直接寫出圖3中所有與線段班?相等的線段，并計算班的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的5C邊上找一點尸（可以借助刻度尺或圓規），

畫出裁剪線（線段尸0）的位置，并直接寫出AP的長.

【答案】(1)EF=1；(2)BE=GE=AH=GH,BE=2-gBP的長為母或2-也.

【解析】【分析】本題考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二

次根式的混合運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度.

(1)如圖，過G'作G'KLEH'于K,結合題意可得：四邊形POG'K為矩形，可得R9=KG',

由拼接可得：HF=FO=KG',可得△N/fG,AHGD,△ZFE為等腰直角三角形，AGKW為

等腰直角三角形，沒HK，=KG=x,則HG=HD=?x，再進一步解答即可；

(2)由△NEE為等腰直角三角形，EF=AF=1-,求解BE=2-日再分別求解；

可得答案，如圖，以B為圓心，8。為半徑畫弧交于尸、交48于。'，則直線P'。'為分割線，

或以。圓心，CO為半徑畫弧，交.BC于P,交3于。，則直線P。為分割線，再進一步求解AP的

長即可.

【詳解】解：如圖，過G'作G'K,切'于K,

結合題意可得：四邊形EOG'K為矩形，

由拼接可得：HF=FO=KG',

由正方形的性質可得：NZ=45。，

:.AAHG,AH'G'D,為等腰直角三角形,

AG'KH'為等腰直角三角形，

設H'K=KG'=x,

H'G'=H'D=41X

:.AH=HG=?x，HF=FO=x,

?.?正方形的邊長為2,

...對角線的長萬萬=2逝，

??OA=y[2，

x+x+V2x=V2，

解得：%=^2-1>

AEF=^F=(V2+l)x=(V2+l)(V2-l)=l；

(2)???△ZFE為等腰直角三角形，EF=4F=1；

AE=splEF=V2，

:?BE=2-E，

GE=H'G'=ex=6(^-、=2-亞,

AH=GH=yplx=2—V2，

，BE=GE=AH=GH；

如圖，以3為圓心，5。為半徑畫弧交5C于P,交Z5于。'，則直線P'。'為分割線,

此時AP'=后，P'Q'=V2+2=2,符合要求，

或以。圓心，CO為半徑畫弧，交BC于P,交CD于Q,則直線尸。為分割線,

止匕時CP=CQ=0，PQ=42+2=2,

?,BP=2—V2，

綜上：AP的長為行或2-血.

7.（2024河南省）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”

進行研究

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.

(1)操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的

有(填序號).

(2)性質探究

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質.下面研究與對角線相關的性質.

如圖2,四邊形/BCD是鄰等對補四邊形，AB=AD,ZC是它的一條對角線.

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BC=m,DC=n,ZBCD=26?,求ZC的長(用含他，〃，。的式子表示).

(3)拓展應用

如圖3,在RtZ\48C中，D5=90°,AB=3,BC=4,分別在邊5C,/C上取點N,使四

邊形/即四是鄰等對補四邊形.當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出BN的長.

【答案】(1)②④(2)①ZACD=/ACB.理由見解析；②------

2cose

G1272..I2V2

(3)----或v------

57

【解析】【分析】(1)根據鄰等對補四邊形的定義判斷即可；

(2)①延長至點使BE=DC,連接NE,根據鄰等對補四邊形定義、補角的性質可得出

ZABE=ZD,證明△45￡@A4DC(SAS),得出/￡=AE=AC,根據等邊對等角得

出NE=NZC8,即可得出結論;

m+w

②過/作4FJ_￡。于凡根據三線合一性質可求出CR=--------，由①可得N/CD=//CS=e,

2

在RtzXAFC中，根據余弦的定義求解即可；

⑴分AB=BM，AN=AB,MN=AN,BAf=〃N四種情況討論即可.

【小問1詳解】

解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補，圖2和圖4中存在對角互補且鄰邊相等，

故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補四邊形，

故答案為：②④；

【小問2詳解】

解：①ZACD=ZACB,理由：

延長至點E,使BE=DC,連接

:四邊形48CD是鄰等對補四邊形,

ZABC+ZD=180°,

?：N4BC+N4BE=180°,

ZABE=ZD,

,/AB=AD,

：.AABE^AADC(SAS),

/.ZE=ZACD,AE=AC,

：.ZE=ZACB,

ZACD=ZACB；

②過工作4FJ_￡C于凡

BF

AE=AC,

/.CF=1C￡=|(J8C+5JE)=|(J8C+DC)=^1-^

?/ZBCD=20,

：.ZACD=ZACB=3,

CF

在中，cos8=-----,

AC

CFm+n

AC=-^—

cos。2cos。

【小問3詳解】

解：VD5=90°,AB=3,BC=4,

AC=yjAB2+BC2=5>

..?四邊形/圓四是鄰等對補四邊形，

：.ZANM+ZB=1SO°,

：.ANM=90°,

當=時，如圖，連接過N作NHLBC于H,

???AM2=AB2+BM-=IS>

在Rt^47W中MN?=AM?_AN?=18-W2.

在WACMN中MN?=CM?-GN?=(4-3)2-(5-^)\

.?.18-AN2=(4-3『-(5-AN》,

解得ZN=4.2,

4

：.CN=-

5

ZNHC=ZABC=90°,ZC=ZC,

ANHCSAABC,

4

NCNHCH-XT

——=——=——,即Bn5NHCH,

ACABCB~5=~3~=~4~

：.NH=—,CH=—

2525

??B?￡H)11-8—4-

25

.i0

BN=<BH-+NH2=—V2；

5

當=時，如圖，連接ZM，

^ABM^^ANM,

BM=NM,故不符合題意，舍去；

當=時，連接過N作NHJLBC于H,

?：ZMNC=ZABC=90°,ZC=ZC,

/.ACMNSMAB,

CNMNCN5-CN

：.——=,即an——=------,

BCAB43

解得CN="

7

?：ZNHC=ZABC=90°,ZC=ZC,

...ANHCSAABC,

20

NCNHCH—in

——=——=——,即Hn7NHCH,

ACABCB-=^~=

：.NH=—,CH=—

77

.RH_12

??￡)11—------

7

.i0

BN=yJBH2+NH2=—V2；

7

當時，如圖，連接NM,

?/AM=AM,

：.^ABM^^AANM,

：.AN=AB,故不符合題意，舍去；

綜上，5N的長為應2或應1.

57

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解直

角三角形，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構造全等三角形、相似三角

形是解題的關鍵.

8.(2024黑龍江齊齊哈爾)綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀

算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模

型”.如圖2,在AABC中，=90。，將線段BC繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，作。E，AB

交AB的延長線于點E.

(2)【問題解決】如圖3,連接CD并延長交42的延長線于點若45=2,AC=6,求ABDF

的面積；

BN

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點、N,則——=______；

BC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線48上找點尸，tanZBCP=-,請直接寫出線段ZP的

長度.

95418

【答案】(1)AB=DE(2)10(3)—(4)一或一

13711

【解析】【分析】(1)根據旋轉的性質可得NCSQ=90,=，進而證明△4BCQAEOB(AAS),

即可求解；

(2)根據⑴的方法證明A/BC絲△磯歸(AAS),進而證明/SAC4尸，求得防=4,則

BF=10,然后根據三角形的面積公式，即可求解.

(3)過點N作廠于點"，證明△48Cs△跖V3得出上w=J_8加，證明△￡〃乂6^￡[4,

3

54

設=貝i]Affi=3￡-8M=6-x,代入比例式，得出x=—,進而即可求解；

13

(4)當尸在3點的左側時，過點尸作尸。，8。于點。，當尸在8點的右側時，過點尸作

交C5的延長線于點T,分別解直角三角形，即可求解.

【小問1詳解】

解：???將線段繞點B順時針旋轉90°得到線段3。，作交的延長線于點E.

圖2

ZCBD=90°,

:.ZABC+/DBE=90°,

ZA=90°,

:.ZABC+ZACB=90,

ZDBE=ZACB,

又N4=/DEB=90°且CB=BD

:.AABCAEDB(AAS),

DE=AB

【小問2詳解】

解：?.?NCAD=90°,

:4BC+ZDBE=90°,

NN=90°,

:.ZABC+ZACB^90,

：.ZDBE=ZACB,

又：NZ=/DEB=90°且CB=BD,

:.AABC^AEDB(AAS),

DE=AB,BE=AC

'：AB=2,AC=6

DE=2,BE=6

AE=AB+BE=2+6=8,

?:NDEB+4=180°

DE//AC,

:ADEFSACAF,

.DEEF

"7C~FA

?2_EF

,6-EF+8

EF=4,

:.BF=BE+EF=6+4=10,

'''S^BDF=I。*2=10；

【小問3詳解】

解：如圖所示，過點N作7W_L4F于點M,

C

'：AA=ZBMN=90°,ZACB=90°-ZABC=ANBM

AABCSAMNB

.BNBMMN

??茄一旅一下’

BNBMMN1…

即nn——=——=——，即上W=—

BC623

又,：MN〃AC

：.AEMNS^ECA

.MEMN

??—,

AEAC

設瓦0=x,貝ljAffi=3￡-8M=6-x,

1

6-x_JX

54

解得：x=—

13

54

/.BN__BM_jJ__9_'

BC―4C-6~13

【小問4詳解】

解：如圖所示，當P在B點的左側時，過點P作尸。，8。于點。

2dm

，設尸。=2。，則CQ=3a,

又???ZC=6,N8=2,ZBAC=90°

4c6_____

tanZABC=-=-=3,5C=A/22+62=2A/10

AD2

：.tan/P8Q=絲=3

BQ

BQ=—PQ=—tz

211

BC—CQ+BQ——tz+3Q-a

??—a—2J10,

3

解得：〃二名40

11

2

在中，PQ=2a,BQ=^a

???*同迎二"

、331111

：.AP=PB-AB=—-2=—

1111

如圖所示，當尸在B點的右側時，過點尸作交的延長線于點T,

ZABC=NPBT/A=NT=90°

ZBPT=ZACB

,AB1

?；tanN4CB------=—

AC3

BT]

tanZ-BPT-=tan/ACB=—

PT3

設BT=b,則PT=3b，BP=y/10b，

PT2

tanZBCP=——=-,

CT3

.3b2

"b+2而一3

解得：b=生何

7

/.BP=5b=—

7

4054

AP=AB+BP=2H二—

77

綜上所述，或竺.

711

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性

質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

9.(2024黑龍江綏化)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=--+桁+。與直線相交于A,B兩點，其中點4(3,4),

5(0,1).

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)過點3作BC〃x軸交拋物線于點C,連接/C,在拋物線上是否存在點尸使

tanZBCP=-tanZACB.若存在，請求出滿足條件的所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由.(提

6

示：依題意補全圖形，并解答)

(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到％wO),平移后的拋物線與原拋物

線相交于點。，點E為原拋物線對稱軸上的一點，斤是平面直角坐標系內的一點，當以點8、。、E、

斤為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點尸的坐標.

【答案】(1)>=——+4x+l

(2)存在，點尸坐標為'(一2'一^］，補圖見解析

(3)月(一1,3)、8(3,4-&)、巴(3,4+n)、2^(1,-2)

【解析】

【分析】(1)待定系數法求解析式即可求解；

(2)根據平行線的性質可得叭=1=—1+4%+1,求得進而分別求得4(3,4),2(3,1),

11

根據tan/5CP=—tan/ZCB可得tan/5CP=—,設直線CP交V軸于點則Mi(0,3),

62

M(0,—l).進而可得。％C%的解析式為ya,=-gx+3,yCM2=1x-l,連接O%交拋物

線于片，連接CW公交拋物線于6,進而聯立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解.

(3)①以5。為對角線，如圖作3。的垂直平分線”耳交5。于點M交直線x=2于4，設

4(2/),根據兩點距離公式可得了=2,根據中點坐標公式可得耳(-1,3),②以BD為邊,如圖以

8為圓心，3。為半徑畫圓交直線x=2于點與，瑪；連接BE2，根據勾股定理求得^。*當，

進而得出后2（2,1—W￡3（2,1+V6）,根據平移的性質得出耳（3,4—指），￡（3,4+指），③

以BD為邊,如圖以點。為圓心，3。長為半徑畫圓交直線尤=2于點心和生，連接。心，DE§,

則DE&=DE5=BD=屈,過點。作。打工區生于點》，則。打=1，在RtAD/ffiq和

Rt△。肛中，由勾股定理得紜=3,則￡4（2』）、^5（2,7）,根據

tanNDBE4=tanZE5DH=3,可得ZDBE4=ZE5DH,過點B煒BFJ/DE,,過心作

E4F4//BD,3胤和￡出相交于點《，BE4的中點G（l,l）.根據中點坐標公式可得月（1,-2）；

【小問1詳解】

解：...把點4（3,4）,5（0,1）代入y=-J+bx+c得

-9+3Z?+c=4

<<,

c=l

b=4

解得《…

c=l

??y=-d+4x+1?

【小問2詳解】

存在.

理由：???5C〃x軸且5（0,1）,

=2

yc=1-%