北師大版（2024）數學七下第一章整式的乘除單元測試A卷

一'選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.一種細胞的直徑約為0.0000032米，將0.0000032用科學記數法表示為（）

A.3.2X10-6B.3.2X106C.32X10-5D.0.32XIO"

2.下列計算正確的是（）

A.（a3『=B.a?-a—2a4C.（ab）3=a3bD.a8-?a2=a4

3.下列各式計算結果為的是（）

A.a2--a3B.a3+a3c.a12-a2D.（可.小

4.已知整式a/+力％+。分解因式得一（2%一3）（%-1）,則a、b、c的值分別（）

A.-2,5,—3B.-2,-53C.2,—5,3D.2,5,—3

5.若a—b=6,ab=16,則小+/的值為（）

A.68B.52C.20D.4

6.已知多項式4=%2+4%+n2,多項式B=2%2+6%+3n2+3.

①若多項式%2+4%+彥是完全平方式，則九=2或—2；

@B-A>2；

③若4+B=2V10,A-B=-6,則力-B=±8；

2

④代數式5/2+9B-12A-B-6A+2031的最小值為2022.以上結論正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

7.如果a,b,c,d都是非零實數，且滿足小+/=1,/+&2=1,敬+/^=0,下列結論中，（1）

a2+c2=1（2）ab+cd=0（3）ad+be=0,則一定成立的命題個數是（）

A.0B.1C.2D.3

8.“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮記》中，現將數字1?9填入如圖所示的“幻方”中，使得每

個圓圈上的四個數字的和都等于21,若每個圓圈上的四個數字的平方和分別記A、B、C,且4+

B+C=411.如果將交點處的三個圓圈填入的數字分別記作為x、y、x+y,貝ky的值為（）

A.6B.10C.14D.18

二、填空題(本題有5小題，每小題3分，共15分)

9.三個連續偶數，中間一個數為n,則這三個數的和為.

10.若。帆=2,an=3,貝！la?優f的值是.

11.若％+y=3,xy=I，則(久一丫尸的值為.

12.計算：(2+1)(22+1)(24+1)...(232+1)+1=.

222

13.若a=2005,b=2006,c=2007,^a+b+c-ab-be-ac=.

三'解答題(本題共7小題，第14題6分，第15題6分，第16題6分，第17題10分，第

18題12分，第19題10分，第20題11分，共61分)

14.計算:

(1)a3-a4-a+(a2)4+(—2a4)2;

(2)(x—y)(x2+xy+y2).

15.先化簡，再求值：—2ab—r)+b—(a+b)(a—b),其中a=0,5,b——1.

16.通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積可以得到一個恒等式。如圖，將一個邊長為

a+b的正方形圖形分割成四部分(兩個正方形和兩個長方形)，請觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據圖中條件，用兩種方法表示該圖形的總面積，可得如下公

式：;

(2)如果圖中的a,b(a〉b>0)滿足a2+b2=70,ab=15,求(a—b>的值.

17.某學習小組學習了嘉的有關知識后發現：根據a"=b,知道機的值，可以求6的值.如果知

道。、萬的值，可以求加的值嗎？他們為此進行了研究，規定：若。機=乩那么7(a,b)=m.例

如，那么7(3,81)=4.

(1)填空：7(2,32)=；嗚,8)=;

i

(2)計算：T(1,27)+T(-2,16);

18.先計算，然后根據計算結果回答問題：

(1)計算:

①（1x102）x（2x104）=

②（2X104）X（3X107）=

③（3X107）X（4X104）=

④（4x105）x（5x1O10）=

（2）已知式子（axion）x（bxiom）=cxiop成立，其中a,b,c均為大于或等于1且小于10

的數，m,n,p均為正整數，請你說出m,n,p之間存在的等量關系

19.先閱讀下列材料，再解答后面的問題.

一般地，n個相同的因數a相乘的積記作a”,

即一如23=8,此時，3叫作以2為底8的對數，記為log28（即log28=3）.一般

axaxxa=a71

地，若an=b（a>0且/1,b>0）,則n叫作以a為底b的對數，記為logab（即logab=n）,如34=

81,則4叫作以3為底81的對數，記為log381（BPlog381=4）.

問題：

（1）計算以下各對數的值：

log24=,log216=,log264=；

（2）通過觀察（1）,思考：log2%log216,log264之間滿足怎樣的關系式？

20.乘法公式的探究及應用.

數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片邊長為a的正方形，B種紙片是邊

長為b的正方形，C種紙片長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片

兩張拼成如圖2的大正方形.

圖1圖2

（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1：;方法2：.

（2）觀察圖2,請你寫出下列三個代數式：（a+b）2,a2+b2,ab之間的等量關系.—；

（3）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2

（4）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+b=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(%—2020)2+(久—2022)2=34,求(％-2021)2的值.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：將0.0000032用科學記數法表示3.2x10-6,

故答案為：A

【分析】科學記數法的表示形式為ax10。的形式，其中lW|a|<10,n為整數，表示時關鍵要正確

確定a的值以及n的值.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與

小數點移動的位數相同.

2.【答案】A

【解析】【解答】A..3)3=a%原計算正確，故符合題意，A正確；

B.a3-a=a\原計算錯誤，故不符合題意，B錯誤；

c.(ab)3=(13b3,原計算錯誤，故不符合題意，C錯誤；

D.a^a2=a6,原計算錯誤，故不符合題意，D錯誤；

故選：A.

【分析】本題考查同底數嘉的乘法、塞的乘方、積的乘方及同底數嘉的除法.利用嘉的乘方進行計

算可得：(a3『=a9,據此可判A選項；利用同底數嘉的乘法：底數不變，指數相加可得：a3-a=

a4,據此可判斷B選項；利用積的乘方進行計算可得：(ab)3=a3/，據此可判斷C選項；利用同

底數曷的除法：底數不變，指數相減可得：。8+02=。6,據此可判斷D選項；

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、a2-a3^as,A錯誤；

B、a3+a3=7.0?,B錯誤；

C、cz12a2-a10,C錯誤；

D、(a2)4-?a2=a8-?a2=a6,D正確；

故選：D.

【分析】A同底數幕相乘，底數不變，指數相加；B利用合并同類項求解；C同底數幕相除，底數不

變，指數相減；D同底數幕的乘方，底數不變，指數相乘，再按同底數幕除法計算即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：V-(2%-3)(%-1)=-2x2+3%+2%-3=-2x2+5x-3,

/.ax2+bx+c=—2x2+5%—3,

??CL=2,b=5,c=3,

故選：A

【分析】本題考查多項式乘以多項式，以及多項式相等時對應各項系數相等，利用整式的乘法去括

號合并同類項可得：—(2%—3)(%—1)=-2x2+3%+2%—3=—2x2+5%-3,對比各項系數相等

進而可求出a,b,c的值.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：???q—b=6,

(a—b)2=36,

?,a?-2ab+b?=36，

把ab=16代入十一2ab+b2=36可得：a2-2x16+b2=36,

解得:a2+b2=68;

故答案為：A.

【分析】利用完全平方公式及a—b=6,ab=16,求出次—2x16+房=36，再求出小+必=

68即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：①若多項式/+4%+小是完全平方式，則層=4,解得：ri=2或—2；

故①正確，符合題意；

②力=/+4%+幾2,8=2/+6%+3n2+3,

-A=2x2+6%+3n2+3—(%2+4%+n2)

=x2+2x+2n2+3

=(%+I)2+2n2+2,

V(%+l)2>0,2幾2>0,

/.(x+l)2+2n2+2>2,即B一力之2,

故②正確，符合題意；

③:力+B=2V1U,A-B=-6,

???Q4-8)2=(4+8)2-4AB=40+24=64,

由②可得：B-A>2,

：.A-B<2,

A-B=-8,

故③錯誤，不符合題意；

④542+9B2-12A-B-6A+2031

=4X2+9B2-12A-B+A2-6A+9+2022

=(2A-38)2+(人-3)2+2022,

'/(2A-3B)2>0,(A—3尸>0,

(2A-3B)2+(A-3尸+2022>2022,

即代數式5^2+9B2-12A-B-6A+20代的最小值為2022,

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①②④，共3個，

故選：C.

【分析】根據完全平方的兩個公式可求出n的值，即可判斷①；再代入計算B-4并將其結果進

行配方，根據平方的非負性，即可判斷②；③根據完全平方公式的得出(4-B)2=Q4+B)2-

4AB=40+24=64,結合②中的結論，即可判斷③；將代數式轉化為=(24—3B)2+(A—3A+

2022,利用平方的非負性，即可判斷④；綜上所述可得到正確結論的個數.

7.【答案】C

【解析1【解答1解：(1)va2+b2-1,c2+d2=1,ac+bd-0,

...b2=1—a2,d2=1—c2,ac=—bd,

■■■b2d2—1—a2—c2+a2c2,

(bd)2—1—a2—c2+(ac)2,

；.(bd)2=1—a2—c2+(—bd)2,

???(bd)2=1—a2—c2+(bd)2,

???a2+c2=1,

(2)a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,

/.ac=-bd,

ab+cd

=ab(^c2+d2)+cd(a2+b2)

=abc2+abd2+cda2+cdb2

=ac-bc+ad-bd+ac-ad+be-bd

=-bd-bc+ad-bd+(-bd)-ad+be-bd

=0；

(3)a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,

/.ac=-bd,

2

(ad+be)

=a2d2+2ad?be+b2c2

=a2d2+2ac?bd+b2c2

=Q2d2+ac-bd+ac-bd+b2c2

2

-a2d2+ac.(—ac)+(—bd)?bd+bc

=a2d2-a2c2-b2d2+b2c2

=a2(d2-c2)-b2(d2-c2)

=(d2-c2)(a2一b2)

?.?只有當d=±c或a=±b時,

(d2—c2)(a2—b2)=0,

即只有當d=±c或a=土b時，(ad+be)2=0,

/.ad+bc=0不成立.

綜上所述，有2個命題正確.

故答案為：C.

【分析】解題題目條件，利用整式的乘法計算，逐項判斷即可解題.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：???每個圓圈上的四個數字的和都等于21,

???三個大圓圈上的數字之和為：21x3=63,

丁各小圓圈的數字N和為：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

為什么63W45,這是因為％、y、％+y都加了兩次，

?,?%+y+%+y=63—45,

???2x+2y=18,

.??%+y=9,

-A+B+C=411,

而各圓圈的數字的平方和為仔+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

為什么411中285呢？

這是因為三角形各頂點處三個圓圈內的數字的平方都加了兩次，

(%+y)2+x2+y2=411-285=126,

.1.x2+2久y+y2+x2+y2=126,

2(久2+y2+xy)=126,

???x2+y2+xy—63,

x+y=9,

(%+y)2=92,

x2+2xy+y2=81,

%2+y2=81—2xy,

將/+y2=81—2久y代入/+y2+=63得81—2xy+xy=63,

xy=81—63=18,

???xy=18.

故選：D.

【分析】本題考查有理數的乘方和加法運算，整式的運算，以及乘法公式，根據題意，得到每個圓

圈上的四個數字的和都等于21,則三個大圓圈上的數字之和為63,可得x+y=9,結合A+B+

C=411,得到/+y2=81—2久y,再有X+y=9,進而求得久y=18,即可求解；

9.【答案】3n

【解析】【解答】解：???三個連續偶數，中間一個數為幾

.?.前一個偶數為：n-2,后一個偶數為：n+2

.?.三個數的和為：(n-2)+n+(n+2)=3n

故答案為：3n.

【分析】本題考查平方差公式、單項式乘多項式.設中間一個數為n,根據連續偶數之間的差值為2

可得：前一個偶數為：n-2,后一個偶數為：n+2,據此可得三個數的和為：(九―2)+n+5+

2),再進行計算可求出答案.

10.【答案】1

【解析】【解答】解：：。7"=2,必=3,

：.a2m-n=a2m+那=(出"A+必=4+3=$

故答案為：J

【分析】由題意，逆用幕的乘方法則和同底數幕的除法法則把原式變形，然后整體代換計算即可求

解.

11.【答案】4

【解析］【解答】解：原式=x2—2xy+y2=x2—2xy+y2+2xy—2xy=(x+y)2—4%y,

把％+y=3,xy=東代入得

原式=3?—4xa=4,

故答案為：4.

【分析】根據完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,進行變形后，把題目所給條件整體代入即可求

出答案.

12.【答案】264

【解析】【解答］解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)…陰+i)+i

=(22-1)(22+1)…(232+1)+1

=(24-1)(24+1)-(232+1)+1

=264-1+1

=264；

故答案為：26匕

【分析】在原式前面乘以(2-1)構造能用平方差公式的結構，連續使用平方差公式即可。

13.【答案】3

【解析】【解答】解：a2+b2+c2—ab—be—ac=^(2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2tic)

1

-

22—2ab+b2)+(b2—2bc+c2)+(a2—lac+c2)]

1

-1

2-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=5X[(2005-2006)2+(2006-2007)2+(2005-2007)2]

=3

故答案為：3.

【分析】根據目標代數式的結構，直接代入計算量過于龐大，聯想完全平方公式，為配湊中間項的

系數2,可先將原代數式提取會后逐項完成配平方差并代入計算即可.

14,【答案】⑴解：a3"a+(a2)4+(—2a4『

=a8+a8+4a8

=6a8；

(2)解：(%—y)(x2+xy+y2)

=x3+x2y+xy2—x2y—xy2—y3

=x—y.

【解析】【分析】(1)根據整式的運算法則，先進行幕的運算，再合并同類項，進行加減運算，即可

解答；

(2)根據多項式與多項式的乘法法則，多項式與多項式相乘：先用一個多項式的每一項分別乘以另

一個多項式每一項，再把所得的積相加，其中多項式乘以多項式就是利用乘法分配律進行計算，即可

解答.

(1)解：a3..a+(a2)4+(-2a4)2

=a8+a8+4a8

=6a8；

(2)解：(%-y)(%2+xy+y2)

=x3+x2y+xy2—x2y—xy2—y3

=x3—y3.

15.【答案】解：(a2/?—2ab—/)+b—(a+b)(a—b)

=a2—2a—b2—(a2—b2)

=a2-2a-b2-a2+b2

=—2a,

當a=0.5時，原式=-2x0.5=-1.

【解析】【分析】本題考查整式的化簡求值.先利用多項式除以單項式的計算法則和平方差公式去括號

可得：原式=/一2。—入2—(十一^2),再去括號可得：原式==一2。一爐一02+^2,再合并同

類項可求出原式，再將a=0.5代入原式可求出答案.

16.【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+b2

(2)解：(a-b)2=a2+b2-2ab=70-2x15=40.

【解析】【解答］解：(1)大正方形的面積為：(a+b)2；四個部分的面積和：a2+2ab+b2，

(a+b)2=a2+2ab+b2

故答案為：(a+b)2=a2+2ab+b2.

【分析】(1)分別表示出大正方形的面積，四個部分的面積和，可得答案；

(2)由(1)得(a—b)2=a?+b2—2ab,代數求解即可.

17.【答案】(1)5；-3

(2)解：G)-3=27,(—2)4=16

1

???嗚27)=-3,7(-2,16)=4

???7(右27)+7(-2,16)=-3+4=1

【解析】【解答】解：⑴V2532,

，T(2,32)=5,

??,&)3=8，

-,?T(|,8)=-3.

故答案為：5,—3.

【分析】(1)根據乘方和負整數次幕的運算法則，即可得到答案；

(2)根據乘方和負整數次幕的運算法則，即可得到答案.

18.【答案】(1)2x106；6X1011；1.2X1012；2xl016

(2)觀察(1)的計算結果，可知(axl￡)n)x(bxiom)=axbxiom+n=cxiop,因為a,b,C均為大于

或等于I且小于10的數，

所以當lWaxb〈10時，p=m+n；當axbNlO時，p=m+n+l.

【解析】【解答】(1)(1)(1x102)X(2x104)=1X2X102+4=2X106;

②(2X104)X(3X107)=2X3X104+7=6X1011；

③(3X107)X(4X104)=3x4x104+7=12x1011=1.2x1012；

@(4x105)X(5x1O10)=4X5X105+1°=20x1015=2x1016

(2)由(1)可得(axlO°)x(bx10m)=axbx10m+n=ex10p.

因為a,b,c均為大于或等于1且小于10的數，

所以當lWaxb〈10時，p=m+n；當axbNlO時，p=m+n+l.

故答案為：(1)①2X106,②6x1011,③1,2X1012,④2X1016；⑵當lWaxb<10時，

p=m+n；當axbNlO時，p=m+n+l。

【分析】(1)利用乘法交換律和乘法結合律進行計算可得答案；

(2)利用乘法交換律和乘法結合律可得(axl(r)x=axbxlom+n=cxlOP,因為a,b,c

均為大于或等于1且小于10的數，則當iWaxbvlO時，p=m+n；當axbNlO時，p=m+n+l.

19.【答案】(1)2；4；6

(2)解:由⑴可知：log24=2,log216=4,log264=6.

因為2+4=6,

所以Iog24+log216=logz64

【解析】【解答】解：：22=4,即10