備戰2025中考-方程與不等式（綜合壓軸題分類專題）（5）

篇一：綜合部分

【考點1】解一元一次方程.....1

【考點2】一元一次方程的應用.....2

【考點3】解二元一次方程組.....3

【考點4】列二元一次方程組....3

【考點5】解一元二次方程....4

【考點6】降次思想與整體思想求代數式的值....4

【考點7]根的判別式與根與系數關系....4

【考點8】一元二次方程的應用.....5

【考點9]解分式方程....5

【考點101增根+無解+非負（正）數解.......6

【考點11】列分式方程.6

【考點12]解一元一次不等式（組）........7

【考點13]一元一次不等式（組）含參問題.......8

【考點14]一元一次不等式（組）的應用......8

篇二：壓軸部分

【考點15]一元一次方程....9

【考點16】二元一次方程.....9

【考點17】一元二次方程.....10

【考點18】分式方程......10

【考點191不等式與不等式組......11

篇一：綜合部分

【考點1】解一元一次方程

（2024?湖南?模擬預測）

1.在《九章算術》方田章“圓田術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可

割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思

想，比如在1+；+*+（+}+…中，“…”代表按規律不斷求和，設

試卷第1頁，共12頁

l+g+[+：+，+…=x.則有X=l+；x,解得x=2,故l+g+J+J+，+…=2.類

似地，■+：+：+…的結果為（）

A.1B.24

D.-

88qI3

（2021?山東煙臺?中考真題）

2.幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”.把洛書用今天的數學符號翻譯出來,

就是一個三階幻方.將數字1?9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及

兩條對角線上的數字之和都是15,則。的值為.

（2024?江蘇南京?三模）

3.一組數據：x-1,x,x+1,10,9,8.這6個數的平均數為8,則中位數為.

【考點2】一元一次方程的應用

（2023?浙江?中考真題）

4.古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二

兩.今有干絲--H二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古

代中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

（23-24八年級上?北京豐臺?期中）

5.已知：如圖，在長方形（長方形四個內角均為直角，并且兩組對邊分別相等）中,

NB=4,AD=6.延長8。到點E,使CE=2,連接。E,動點尸從點3出發，以每秒2個

單位的速度沿8C-CD向終點A運動，設點P的運動時間為/秒，當/的值為

秒時，A/8尸和全等.

試卷第2頁，共12頁

6.甲、乙兩人在一條直線道路上分別從48兩地同時騎摩托車出發，相向而行.當兩人

相遇后，甲繼續向3地前進（甲到達B地時停止運動），乙也立即調頭返回B地.在整個運

動過程中，甲、乙均保持各自的速度勻速行駛.若甲、乙兩人之間的距離M米）與乙運動的

時間X（秒）之間的關系如圖所示，貝Ija8兩地之間的距離為米.

【考點3】解二元一次方程組

（2024-內蒙古呼倫貝爾?中考真題）

a

7.點尸（x,y）在直線＞=-寧+4上，坐標（龍/）是二元一次方程5尤-6y=33的解，則點尸的

位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2024?江蘇揚州?三模）

8.設為心，％，…，。2必是從-1，0,3這三個數中取值的一列數，若

%+4+〃3+…+。2024=13,Q；+H---------F42024之=59,貝|q4出'+Cl^+^2024（）

A.154B.155C.156D.157

（2024?山東濟寧?二模）

9.9知。產0（z=l,2,2024）,且滿足條件

區+國+國+...+-+喧=1012,任取一個,?值，則直線尸8+i（"1,2....

%。2023“2024

2024）經過一、二、四象限的概率為.

【考點4】列二元一次方程組

（2024?甘肅蘭州?中考真題）

10.數學家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數學著作之一，書中記載著這樣一

個問題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7

個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設買了甜果x個，苦果〉個，則可列方程組為（）

試卷第3頁，共12頁

x+y=1000x-y=1000x-y=1000x+y=999

A.<4+1=999B.<$+》=999C<411

*%=999-x+—y=1000

J9/

（2024?山東威海?中考真題）

11.《九章算術》是我國古老的數學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井.若將繩

三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩

子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等

份，一份繩長比井深多1尺.繩長、井深各是多少尺？若設繩長x尺，井深V尺，則符合題

意的方程組是（）

4I”]3x+4二歹

B.

[4x-y=l4x+l=y

x

——1-4A=y

3

D.：

x1

—+l=y

14/

（2024?湖北武漢?模擬預測）

12.甲、乙二人都以不變的速度在環形跑道上跑步，如果同時同地出發，相向而行，每隔2min

相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次.則（）

A.甲每分跑2圈，乙每分跑:圈

36

B.甲每分跑（圈，乙每分跑）圈或甲每分跑!圈，乙每分跑（圈

3663

C.甲每分跑|■圈，乙每分跑（圈

D.甲每分跑g圈，乙每分跑;圈或甲每分跑5圈，乙每分跑g圈

【考點5]解一元二次方程

（2024?青海?中考真題）

13.（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

（24-25九年級上?黑龍江牡丹江?期中）

14.若菱形兩條對角線的長度是方程V_12X+32=0的兩根，則該菱形的邊長為（）

A.2石B.8C.50D.10

（23-24九年級上?江蘇徐州?期末）

15.一元二次方程x2=2024%的解是.

試卷第4頁，共12頁

【考點6］降次思想與整體思想求代數式的值

（2024?山東煙臺?中考真題）

16.若一元二次方程2/一4x-1=0的兩根為"?，n,則3療一4心+/的值為.

（2024?四川內江?二模）

17.己知X1，%?是方程%2-%-2024=0的兩個實數根,則代數式牙-2024再+后的值為

（2024?浙江杭州?三模）

18.已知0、6為實數，且滿足a6+a+6-8=0,a2b+ab2-15=0,則（。-6）一=.

【考點7］根的判別式與根與系數關系

（2024?吉林長春?中考真題）

19.若拋物線了=--x+c（c是常數）與x軸沒有交點，貝心的取值范圍是.

（2024?上海寶山?一模）

20.一次函數了=-3x-a不經過第三象限，關于x的方程ax2-3x+l=0的解的個數為.

（2024?廣東廣州?模擬預測）

21.一次函數y=-3x+后與反比例函數＞="有且僅有一個交點，則上的值為.

X

【考點81一元二次方程的應用

（2024?山東濟南?模擬預測）

22.如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩

余部分進行綠化.設修建的道路寬為x米，如果綠化面積為丁平方米，那么了與x之間的函

數關系式為（）

國

A.y-8000-100x-10xB.j=（100-x）（80-x）+x2

C.^=（100-x）（80-x）D.y=100x+80x

（2024?山東青島?中考真題）

23.如圖，某小區要在長為16m,寬為121n的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的

寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為m.

試卷第5頁，共12頁

（2023?四川達州?中考真題）

24.如圖，樂器的一根弦43=80cm,兩個端點42固定在樂器面板上，支撐點C是靠近

點B的黃金分割點，即AC2=ABBC,支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點

C,。之間的距離cm.（結果保留根號）

【考點9】解分式方程

（2024?山東濟南?模擬預測）

25.已知點在平面直角坐標系第二、四象限的角平分線上，貝卜"=_____

一加m+2J

（2023?內蒙古赤峰?中考真題）

1x+6

26.方程-----1--7--7=1的解為.

x+2x—4

（2024?浙江?模擬預測）

27.仔細觀察下面的等式，試解答下面的題目:

117

⑴解方程一+=彳,解得x=

（2）解方程：+解得彳=

【考點101增根+無解+非負（正）數解

（2018?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

.若關于的方程占mn7+3

28x+----口無解，則〃，的值為一.

x+4

（2019?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

29.關于x的分式方程生f-1匚=3的解為非負數，則”的取值范圍為____.

x-1l-x

（2024?重慶?模擬預測）

x-4.

-----x<2

30.若關于x的一元一次不等式組3有解且至多5個偶數解，且關于y的分式

3x-2<4m

試卷第6頁，共12頁

方程二+與竺=-3的解是整數，則符合條件的所有整數加的和為_______.

y-33-y

【考點11】列分式方程

(2024?安徽?模擬預測)

31.為改善生態環境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計劃植樹20萬棵，由于工程進度

需要，實際每天植樹棵數比原計劃增加了25%,結果提前4天完成任務.若設實際每天植

樹X萬棵，則根據題意可得方程為()

A.200+25%)一型一B20204

-------=4

XX25%xx

202042020)

--

C(1+25%)XTDx(1+25%)%

(2024?山東日照?中考真題)

32.【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀

環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍.

【素材呈現】

素材一：有48兩種書架可供選擇，/種書架的單價比2種書架單價高20%；

素材二：用18000元購買/種書架的數量比用9000元購買2種書架的數量多6個；

素材三：/種書架數量不少于3種書架數量的

【問題解決】

⑴問題一：求出43兩種書架的單價；

(2)問題二：設購買。個/種書架，購買總費用為卬元，求w與。的函數關系式，并求出費

用最少時的購買方案；

(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，/種書架每個降價機元，3種書架每個漲

價;加元，按問題二的購買方案需花費21120元，求加的值.

(2022?四川成都?二模)

33.為進一步豐富義務教育階段學生假期生活，有效緩解義務教育階段學生假期“看護難”問

題，某校在寒假期間開設了豐富多彩的寒假托管服務，學校決定購買48兩種文具獎勵在

此次托管服務中表現優秀的學生.已知/文具比3文具每件多5元，用600元購買/文具,

900元購買8文具，且購買8文具的數量是/文具的2倍.

⑴求4,3文具的單價；

(2)為了調動學生的積極性，學校再次在該店購買了，，8兩種文具.在購買當日，正逢該店

試卷第7頁，共12頁

促銷活動，所有商品八折銷售.在不超過預算資金1200元的情況下，A,8兩種文具共買了

90件，則最多購買了/文具多少件？

（2024?青海西寧?三模）

34.為落實“數字中國”的建設工作，市政府計劃對全市中小學多媒體教室進行安裝改造，現

安排兩個安裝公司共同完成.已知甲公司安裝工作效率是乙公司安裝工作效率的1.5倍，乙

公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數量的教室多用3天.求甲乙兩公司每天各安裝多少

間教室？設乙公司每天安裝x間教室，請根據題意列出方程.

（2024?內蒙古?中考真題）

35.2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名.某廠家生產大小兩種

型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍

辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為

元.某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小

號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的

售價多30%.若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為元.

【考點12]解一元一次不等式（組）

（2024?江蘇徐州?中考真題）

36.（1）解方程：X2+2X-1=0；

"3x-l<8

（2）解不等式組x+1x.

----<—

[3-----2

（2024?廣東廣州?模擬預測）

37.已知實數6滿足|。+4|+病與=。+4,則a+b的取值范圍可在數軸表示為（）

嚏;應電息正1

（2024?遼寧?模擬預測）

38.若關于x的一元二次方程（〃+2）/+3工+1=0有兩個不相等的實數根，則q的取值

范圍是（）

11

A.a<—B.a<—

44

試卷第8頁，共12頁

C.a<—且QW—2D.a>一且aw—2

44

【考點13]一元一次不等式（組）含參問題

（2024?湖南長沙?模擬預測）

2x—aW—1

39.若關于x的不等式組x+12x，有且只有兩個偶數解，且關于>的分式方程

[23

色4=2-產有解，則所有滿足條件的整數。的和是（）

y-22-y

A.15B.10C.5D.3

（2024?湖北?模擬預測）

[6-3（x+l）<x-5

40.若關于x的一元一次不等式組,的解集是x>2,則機的取值范圍是

[x-m>-1

（）

A.m>3B.加23C.m<3D.加（3

（23-24七年級下?重慶黔江?期中）

5x>3（x+2）

41.若關于％的不等式組工+3a有且只有2個整數解，且關于V的方程5+砂=2y-7

x-----<一

I216

的解是負整數，則符合條件的所有整數。的和是（）

A.33B.28C.27D.22

（2024?湖南懷化?模擬預測）

42.點M的坐標是（a,-2a）,點M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點N,當

點N在第三象限時，。的取值范圍是.

【考點14]一元一次不等式（組）的應用

（2024?江蘇宿遷?中考真題）

43.某商店購進/、2兩種紀念品，已知紀念品/的單價比紀念品2的單價高10元.用600

元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同.

（1）求紀念品4、B的單價分別是多少元？

⑵商店計劃購買紀念品/、B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，

若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？

（2021?黑龍江大慶?中考真題）

44.三個數3,1-1-2a在數軸上從左到右依次排列，且以這三個數為邊長能構成三角形,

試卷第9頁，共12頁

則。的取值范圍為

（2024?浙江臺州?二模）

45.州市域鐵路S1線臺州站至城南站全長52km,理論票價實行里程分段計價制，理論票價

了（單位：元）與行駛里程x（單位：km）之間的函數關系如圖3c為線段），但

在定價時，按該分段計價制所得結果常為小數，實際票價為大于或等于該值的最小整數，如

當行駛里程為37km時，所得理論票價為8.5元，實際票價則為9元，經查從甲站到乙站的

實際票價為10元，則甲乙兩站的里程不可熊為（）

篇二：壓軸部分

【考點15]一元一次方程

（2020?西藏?中考真題）

46.觀察下列兩行數：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發現：第1個相同的數是1,第2個相同的數是7,…，若第n個相同的數是103,則n

等于（）

A.18B.19C.20D.21

（2023?浙江紹興?中考真題）

47.若關于x的方程（1-/）龍2+23-1=0所有的根都是比1小的正數.則實數力的取值范

圍是.

【考點16]二元一次方程

（2022?四川綿陽?二模）

y—j/l=X2

48.若整數x,＞滿足方程組,2,且-24xW4,%。兒則機的最大值為（）

\x-m=y

A.0B.-1C.-2D.-3

試卷第10頁，共12頁

（2022?山東日照?中考真題）

49.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形CM2C的頂點。在坐標原點，點E是對角線

NC上一動點（不包含端點），過點￡作交48于F，點尸在線段放上.若。4=4,

0c=2,乙4OC=45。，EP=3PF,P點的橫坐標為根，則加的取值范圍是（）

A.4<m<3+^2B.3-A/2<m<4C.2-^/2<m<3D.4<m<4+^2

（2021?重慶?中考真題）

50.盲盒為消費市場注入了活力，既能夠營造消費者購物過程中的趣味體驗，也為商家實現

銷售額提升拓展了途徑.某商家將藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱共22個，搭配為力,

B,C三種盲盒各一個，其中4盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；8盒

中藍牙耳機與迷你音箱的數量之和等于多接口優盤的數量，藍牙耳機與迷你音箱的數量之比

為3：2；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱.經核算，/盒的成本為

145元，2盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱

的成本之和），則C盒的成本為元.

【考點17]一元二次方程

（2023?湖南岳陽?模擬預測）

51.在自變量x的取值范圍內，對于自變量x=a時，函數值N=a,則稱。是函數的一個不

動點，若函數y=1+（2左-3）X+1恰有一個不動點，則實數上的值不可能是（）

A.-1B.0C.1D.4

（2023?浙江金華?中考真題）

52.如圖是一塊矩形菜地/BCD,48=a（m）,ND="m）,面積為s（m2）.現將邊增加

Im.

試卷第11頁，共12頁

圖1圖2

（1）如圖1,若。=5,邊/。減少1m,得到的矩形面積不變，則6的值是

（2）如圖2,若邊4D增加2m,有且只有一個。的值，使得到的矩形面積為2s（m?）,貝i]s

的值是.

【考點181分式方程

（2021?重慶?中考真題）

Ziv—33X—1

53.關于x的分式方程空三+1==的解為正數，且使關于y的一元一次不等式組

x—22-x

f3j-2

---------Wv-1

<2""有解，則所有滿足條件的整數。的值之和是（）

y+2>a

A.-5B.-4C.-3D.-2

（24-25八年級上?安徽合肥?期中）

,,\x-a（x>a\

54.已知函數>=|x-a|=<

\a-x\x<a]

（1）若。=1,當04x42時，了的取值范圍是

（2）當1W尤V3時，了有最小值5,則〃的值是

【考點19]不等式與不等式組

（2022?重慶南岸?一模）

2x-15x+1〉]

55.關于x的一元一次不等式組工廠一’有解，且使關于y的分式方程

x+5>a

=2-丁匚的解為整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）

y—33—y

A.8B.5C.3D.2

（23-24八年級下?浙江寧波?期末）

56.若關于x的方程|x-3|="有實數根，貝””的取值范圍是

試卷第12頁，共12頁

1.A

【分析】本題主要考查解一元一次方程和數字的變化規律，解一元一次方程的一般步驟：去

分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.設l+：+(+:+...=x,知

1+(+?+?+…=l+?(l+?+(+(+”J，據此可得x=l+*x,再進一步求解可得.

【詳解】解:設1+i+*[+...=x,

r「111)

,732343632323436)

1I

/.x=1+—x,

9

解得x=5，

O

1I19

+一++-

FF+.8-

32

1111

.——i———i————

"3234368'

故選：A

2.2

【分析】設處第一行第一列、第三列第三行、對角線上的未知量，用三數之和為15就可以

求出a.

【詳解】解：如圖，把部分未知的格子設上相應的量

第一行第一列：6+6+8=15,得到6=1

第三列第三行：8+3步15,得到戶4

.?盧4

???對角線上6+c步15

.-.6+4+c=15,得到c=5

?-?c=5

另外一條對角線上8+c+a=15

.?.8+5+。=15,得到。=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查有理數的加法和一元一次方程的綜合題，找出式子之間的關系是解題的關

答案第1頁，共32頁

鍵.

3.8

【分析】本題考查平均數的定義、中位數的定義、解一元一次方程，熟練掌握平均數的定義

及中位數的定義是解題的關鍵.

先根據平均數的定義列方程求出x的值，再根據中位數的定義求解即可.

【詳解】解：,.,xT,x,x+1,10,9,8.這6個數的平均數為8,

x—1+x+無+1+10+9+8門

---------------------------------=8,

6

解得x=7,

這組數據為：6、7、8、10、9、8,

把這組數據按照從大到小的順序排列，處于中間的兩個數分別為8、8,

O1O

.?.這組數據的中位數為：==8,

2

故答案為：8.

96

4.—

7

【分析】設原有生絲x斤，根據題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設原有生絲x斤，依題意，

30x

30-3—12

16

解得：X=y,

96

故答案為：—■

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程解題的關鍵.

5.1或7##7或1

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、一元一次方程的應用等知識，熟練掌握

全等三角形的判定定理是解題關鍵.分BP=CE=2和/P=CE=2兩種情況，證明和

△DCE全等，進而可得關于，的一元一次方程，求解即可獲得答案.

【詳解】解：根據題意，可知CO=AB=4,AD=BC=6,/ABC=NDCE=/BAD=90°,

分兩種情況討論，

①當5P=CE=2時，如下圖，

答案第2頁，共32頁

?；AB=DC,ZABP=NDCE,BP=CE,

AABP'DCE(SAS),

由題意得AP=2l=2,解得f=l(秒)；

②當/P=C￡=2時，如下圖，

AB=DC,ZBAP=ZDCE,AP=CE,

：.^ABP^CDE（SAS）,

由題意得/P=16-2f=2,解得/=7（秒）.

綜上所述，當/的值為1或7秒時，“AP和△OCE全等.

故答案為：1或7.

6.1400

【分析】本題考查一次函數的應用、一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找

出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

根據題意和函數圖象可以得到甲乙相遇時行駛的時間，然后根據函數圖象中的數據可以列出

相應的方程，即可求得力,3兩地之間的距離.

【詳解】解：由題意和圖象可得，

甲從/地到B地用的時間為175秒，乙從開始到回到B地用的時間為200秒，

，甲乙相遇的時，甲乙都行駛了100秒，

設A,8兩地的路程為S米，

S-1050_S

~25~"100）

答案第3頁，共32頁

解得，5=1400,

故答案為：1400.

7.D

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組

-33

y=—x+4

<4,求出點尸的坐標即可判斷.

5x-6y=33

3

y---x+44

【詳解】解：聯立方程組4,

5x-6y=33

解得

■■-P的坐標為［6,-5

???點尸在第四象限，

故選:D.

8.D

【分析】本題考查的是數字的變化規律和二元一次方程組的應用，熟練掌握上述知識點是解

題的關鍵.

(~x+3y=13

根據題意，設這一列數中有x個-1,V個3,可列，八2.小〃，即可求出x與了的值,

33

再將其代入。;+W+W+--.+?2024=(-l)x+3y中計算即可.

【詳解】解：設這一列數中有X個-1,了個3,

f-x+3j=13

可列](-1)2》+3o=59，

fx=5

解得：,，

[y=6

,,+02++...+“2024

=(-1)%+3。

=-5+27x6

故選：D.

答案第4頁，共32頁

1

9.

4

【分析】由題意知，同=1或同=-1,設圖中有x個1,y個-1,依題意得，

%%%

[x+y=2024fx=1518

，可求,詼，即4中有1518個正數，506個負數，由4<°時，直線>+?

[x—>=1012[歹=506

(i=l,2,…，2024)經過一、二、四象限，根據普，計算概率即可.

2024

【詳解】解：由題意知，同=1或⑷=-1,

%生

設」中有X個],>個—1,

Qj

fx+y=2024

依題意得，,

[x-y=11n012o

|x=1518

解得，

[y=506

.,.q中有1518個正數，506個負數，

當《<0時，直線y=+i(i=l,2,2024)經過一、二、四象限，

506_1

,2024"4,

?,?直線V=qx+i("I,2,2024)經過一、二、四象限的概率為;.

故答案為：；.

【點睛】本題考查了化簡絕對值，一元二次方程組的應用，一次函數的圖象，簡單的概率計

算.熟練掌握化簡絕對值，一元二次方程組的應用，一次函數的圖象，簡單的概率計算是解

題的關鍵.

10.A

【分析】本題考查根據實際問題列二元一次方程組，根據999文錢買了周果和苦果共1000

個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可.

【詳解】解：設買了甜果x個，苦果y個，由題意，得：

答案第5頁，共32頁

x+y=1000

<114?

一、+一尸999'

197,

故選A.

11.C

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，此題中的等量關系有：①將繩三折測之，繩多

四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據此即可得方程組.正確理解題意，找

準等量關系解題的關鍵.

【詳解】解：設繩長X尺，井深?尺，

故選：C.

12.B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用.設甲的速度為x,乙的速度為V,環形路的長

度為單位1,由題意得出二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設甲的速度為x,乙的速度為V,環形路的長度為單位1,當甲比乙跑得快時,

由題意得Ki

.1

x=—

解得:，

T=6

.??甲每分跑:圈，乙每分跑!圈，

36

當乙跑得比甲快時，同理可得：甲每分跑」圈，乙每分跑(圈；

63

故選：B.

13.(1)x=l或x=3

(2)第三邊的長是或2后

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股

答案第6頁，共32頁

定理分別計算即可.

【詳解】解：(1)X2-4x+3=0

(x-l)(x-3)=0

x=l或x=3；

(2)當兩條直角邊分別為3和1時，

根據勾股定理得，第三邊為療寸=而；

當一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據勾股定理得，第三邊為"F=2&.

答：第三邊的長是麗或2行.

14.A

【分析】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質.熟練掌握解一元二次方程，菱形的性質，

是解此題的關鍵.

先求出方程的解，即可得出NC=8,80=4,根據菱形的性質求出/。和。。，根據勾股定

理求出即可.

【詳解】解：設菱形為/8C。，AC.BD交點、為0,AC>BD,

解方程f-12工+32=0,

得x=8或4,

?.?菱形兩條對角線的長度是方程/_I2x+32=0的兩根，

.-.AC=8,BD=4,

.-.ZAOD=90°,AO=OC=4,BO=DO=2,

由勾股定理得：AD=y/OA2+OD2=275.

故選：A.

D.------------.r

15.玉=0,x2=2024

【分析】本題主要考查了解一元二次方程.熟練掌握因式分解法解一元二次方程，是解決問

答案第7頁，共32頁

題的關鍵.

移項，提公因式X,化成兩個一元一次方程解答即可.

【詳解】■-X2=2024X,

二移項得，X2-2024X=0,

分解因式得，x(x-2024)=0,

??.x=0,x-2024=0,

再=0,x2=2024.

故答案為：%=0,%=2024.

16.6

【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若%,馬是一元二次方程

hQ一

◎2+/>x+c=0(aH0)的兩根時，再+/=--,尤1%=—,熟練掌握一元二次方程根與系數的

aa

關系是解題關鍵.

根據根與系數的關系得機+"=2,機"=2m2-4加=1,再把3療一4機+”2變形為

222

2m-4m+m+n,然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：??一元二次方程2/-4x-l=0的兩個根為〃?，”，

C1,

：,m+n=2,mn=——,2m-4m=1

2

3m2-4m+n2

=2m2-4m+m2+n2

=m2+H2+1

=(m+n)2-2mn+]

=22-2X(-1)+1

=6

故答案為：6.

17.4049

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系.熟練掌握方程根的定義和根與系數

的關系，完全平方公式變形，整體代入法求代數式的值，是解決本題的關鍵.一元二次方程

答案第8頁，共32頁

b

辦2+bx+c=o(Qwo)的兩根為孫x,則根與系數的關系為演+々=一一，再入2=一c.

2aa

根據一元二次方程根的定義和根與系數的關系得到斗+%=1，為馬=-2024和才-2024=再，

即得x；—2024」］+x；=4049.

【詳解】f,%是方程V-x-2024=0的兩個實數根，

xi+x2=1,x1x2=-2024,x；-玉一2024=0,

???x；—2024=%,

???x：-2024占+x；

=占—2024)+x；

=X；+X；

=(國+馬『一2百12

=12-2x(-2024)

=4049.

故答案為：4049.

18.13

【分析】此題主要考查了根與系數的關系，注意：解答此題需要分類討論.根據已知條件推

知時、6是方程、2—8X+15=0,即(x-3)(x-5)=0的兩個根，然后通過解方程求得①

ab=3,。+6=5；②Q6=5,a+b=3；最后將所求的代數式轉化為完全平方和的形式，

并將①②分別代入求值.

【詳解】解：??.〃、b為實數，且滿足Qb+a+b-8=0,a2b+ab2-15=0,

ab+(a+b)=S,ab,(a+b)=15,

:.ab、a+b是方程——8%+15=0,即(x-3)(x-5)=0的兩個根，

，x=3或x=5；

①當ab=3,a+b=5時，(。一人了=(a+b)2—4。6=25—12=13,Wfl(a-b)2=13；

②當ab=5,a+b=3時，(。一人了=(a+Z>y—4必=9-20=—ll<0,BP(a-b)2<0,不合題意；

綜上所述，(4-6)2=13；

答案第9頁，共32頁

故答案為：13.

【分析】本題主要考查了拋物線>="2+加+。與x軸的交點問題，掌握拋物線

2

y=of+云+。與x軸沒有交點與x-x+c=0沒有實數根是解題的關鍵.

由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：???拋物線了=x2-x+c與x軸沒有交點，

???尤2一無+°=0沒有實數根，

21

A=？-4x1xc=1-4c<0,c>—.

4

故答案為：c>：.

4

20.1或2

【分析】本題考查了一次函數圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準確判斷圖象不過

第三象限的條件，直線夕=-3%-。不經過第三象限，則_°=0或_°>0,分這兩種情形判斷

方程的根，靈活運用根的判別式是解題的關鍵.

【詳解】解：???直線不經過第三象限，

二-a=0或-a>0,

a=0或。<0,

當。=0時，原方程為-3x+1=0,是一元一次方程，故有一個實數根；

當。<0時，方程ax?-3x+l=0是一元二次方程，

；.A=(-3)2-4fl=9-4fl,

?/a<0,

—4Q>0,

9—4a>0,

A>0,

??.方程有兩個不相等的實數根，

綜上，方程有1個或2個解，

故選：D.

21.12

答案第10頁，共32頁

【分析】該題主要考查了一次函數與反比例函數的性質，一元二次方程根判別式等知識點,

解題的關鍵是理解題意.

聯立一次函數y=-3x+斤與反比例函數〉=人解析式，根據題意得出

X

A=^2-4X(-3)X(-Z：)=0,即可求解；

kk

［詳解］解：將y=一代入y=_3x+后得±=_3x+4,

XX

整理得-3x2+Ax—左=0,

k

??,反比例函數V=—與一次函數＞=-3x+左的圖象有且只有一個交點，

x

二.A=左？—4x(—3)x(-1c)=0,

.?.左=12或0(舍去)，

故答案是：12.

22.C

【分析】本題主要考查了列一元二次方程，熟練掌握題意是解題的關鍵.根據題中圖形，矩

形的面積計算方法進行求解即可.

【詳解】解：依題意可得：j=(100-x)(80-x),

故選：C.

23.2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設小路的寬為由，則長方形花壇的長

為(16-2x)m,寬為(12-2x)m,再根據矩形面積計算公式列出方程求解即可.

【詳解】解：設小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2無)m,寬為(12-2x)m,

由題意得，(16-2x)(12-2x)=-1xl6xl2,

同理得Y-14X+24=0,

解得x=2或x=12(舍去)，

小路的寬為2m,

故答案為：2.

24.(80V5-160)

【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方