第07講整式乘法

Ie_________

01

課程標準學習目標

1.知道乘法"乘法交換律""乘法結合律""同底數幕的運算性質"是進行單

單項式乘單項式

1項式乘法的依據.

2單項式乘多項式

2.能熟練進行單項式乘單項式計算.

3多項式乘多項式

3.經歷探索單項式乘單項式法則的過程，體驗運用法則的價值；培養學生觀察、

4整式的除法

比較、歸納及運算的能力.發展有條理的思考和語言表達能力.

5整式的混合運算

學習重點：運用法則進行計算

6整式的混合運算一化簡求值

學習難點：運用法則進行計算

思維導圖

01單項式乘單項式

/03多項式乘多項式

知識點

/

；05整式的混合運算

106臺的混合運算一七簡求值

整式乘法01整式乘法混合運算

02計聊項式乘單項式

03單項式乘多項式的應用

04計算多項式乘多項式

105已知多項式乘積不含臬項求字母的值

卜06多項式乘多項式——化簡求值

07多項式除以單項式

08位四則混合運算

知識清單

知識點01單項式乘單項式

運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母,

則連同它的指數作為積的一個因式.

注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；②注意按順序運算；③不要丟

掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質對于多個單項式相乘仍然成立.

【即學即練11

1.（2024春?裕安區校級期末）下列計算結果正確的是（）

A.（a3）2=06B.ai+a—a6C.a64-a2=a3D.2a乂3b=5ab

【分析】根據事的乘方法則、合并同類項、同底數幕的除法法則、單項式乘單項式的運算法則計算，判

斷即可.

【解答】解：4、（a3）2=a6,計算結果正確，符合題意；

8、/與。不是同類項，不能合并，故本選項計算結果錯誤，不符合題意；

C、a6^a2=a4,故本選項計算結果錯誤，不符合題意；

D、2ax3b=6ab,故本選項計算結果錯誤，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查的是幕的乘方與積的乘方、單項式乘單項式、合并同類項、同底數累的除法，掌握它

們的運算法則是解題的關鍵.

【即學即練2】

2.（2024春?埔橋區校級期中）計算：

⑴（3-兀）°-（-3廠2+（《）2-（-1）2023；

⑵（-ab）2,（）-（a3b4+2ab）-

【分析】（1）根據負整數指數塞，零指數累以及整數指數累的法則分別進行計算，即可得出答案；

（2）按照積的乘方法則先算乘方，再根據單項式乘除單項式法則進行計算，即可得出答案.

【解答】解：（1）原式=1-工+工-（-1）=2；

99

（2）原式（-工6）_（工浮63+1）

22

=--a2b3-—a2b3-1

22

-_].

【點評】本題考查了負整數指數塞，零指數暴，嘉的乘方與積的乘方，單項式乘以單項式和有理數的加

減混合運算，掌握負整數指數幕，零指數累，塞的乘方與積的乘方，單項式乘以單項式和有理數的加減

混合運算法則是關鍵.

知識點02單項式乘多項式

(1)單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所

得的積相加.

(2)單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：

①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏

乘；③注意確定積的符號.

【即學即練1】

3.(2024春?舒城縣期末)當x>0,y>0,且xWy時，x2(x-+/(y-x)的值()

A.總是為正

B.總是為負

C.可能為正，也可能為負

D.不能確定正負

【分析】將/(%-y')+y2(y-x)轉化為x2(x-y)-y2(x-y)再因式分解為(x-y)2(x+y),根據

條件即可判斷.

【解答】解：x2{x-y')+y2Cy-x)=x2Cx-y')-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)2

(x+y),

\"x>0,y>0,且龍為，

(x-y')2(x+y)>0,

故選：A.

【點評】本題考查了整式的相關運算，熟練掌握分解因式是關鍵.

【即學即練2】

4.(2023春?霍山縣校級期中)有一塊三角形的鐵板，其中一邊的長為2(a+6),這邊上的高為a,那么

此三角形板的面積是a2+ab.

【分析】根據三角形的面積公式工底X高，列出算式，再根據單項式乘多項式的運算法則進行計算即可.

2

【解答】解：根據三角形的面積公式得：

—X2(a+b)'a=a2+ab；

2

故答案為：a2+ab.

【點評】此題考查了單項式乘多項式，掌握三角形的面積公式上底義高和單項式乘多項式的運算法則是

解題的關鍵.

【即學即練3】

5.(2024春?埔橋區期中)計算：

(1)(a4)3+a8,a4；

(2)(-2a2)(3a薩-5aZ>3).

【分析】(1)先計算幕的乘方和單項式乘單項式，再合并同類項即可；

(2)根據單項式乘多項式的法則計算即可.

【解答】解：(1)(a4)3+a8-a4

=』+/2

=2/；

(2)(-2a2)(3a-2-5ai>3)=-6a3b2+10a3b3.

【點評】本題考查了累的乘方，單項式乘單項式，單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是關鍵.

知識點03多項式乘多項式

(D多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

(2)運用法則時應注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項

之前，積的項數應等于原多項式的項數之積.

【即學即練1】

6.(2024春?瑤海區校級期末)若x+y=3且孫=2,則代數式(3-x)(3-y)的值等于()

A.2B.1C.-2D.0

【分析】先根據多項式乘多項式的運算法則計算，然后將已知條件代入計算即可.

【解答】解：..h+y=3且a=2,

(3-x)(3-y)

=9-3y-3x+xy

=9-3(x+y)+xy

=9-3X3+2

=9-9+2

=2,

故選：A.

【點評】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

【即學即練2】

7.(2024春?瑤海區校級期中)已知(x+a)(2x2-4x+l)的展開式中不含x項，則常數a的值為一.

【分析】先根據多項式乘多項式法則進行展開，再根據展開式中不含x項即可求出。的值.

【解答】解：（x+〃）（2x2-4x+l）

=2x3-4X2+X+26ZX2-4ax+a

=2x^+（2a-4）x2+（1-4。）x+a,

???展開式中不含x項，

/.1-4a=0,

解得a=—f

4

故答案為：1.

4

【點評】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則及多項式結果中不含某一項的意義是解題的關

鍵.

【即學即練3】

8.（2024春?大觀區校級期末）已知甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖（加為正整數），甲、乙的面積

分別為Si，S2.

（1）。與區的大小關系為：S>S>；（用“>”、“<"、"="填空）

（2）若滿足條件a-S2|<〃W2024的整數〃有且只有3個，則m的值為.

m+4

m+7

m+1甲m+2

【分析】（1）先分別計算出面積，作差與0比較大小即可，

（2）先計算出|S「S2|,根據整數〃有且只有3個，列出不等式，根據“為正整數即可求值.

2

【解答】解：（1）:邑二（加+7）（加+1）=加之+8加+7,s2=（m+4）（m+2）=m+6m+8,

邑一與=（加2+8加+7）—（m2+6掰+8）=2加一1,

???加為正整數，

：.2m-1>0,

ASi-S2>0,

：.Si>S2,

故答案為：>;

（2）由（1）知-必|=|2加-1|=2加-1,

,??滿足條件5-S2IW2024的整數n有且只有3個，

：.2m-1V〃W2024的整數n有且只有3個，

???這三個整數解為2024,2023,2022,

???2021W2冽-K2022,

解得：1011^m<1011.5,

??,加為正整數，

/.w=101L

故答案為：1011;

【點評】本題考查了多項式乘多項式法則、絕對值的性質和不等式的性質，能夠作差比較大小是解題的

關鍵；

知識點04整式的除法

整式的除法：

（1）單項式除以單項式，把系數，同底數塞分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母,

則連同他的指數一起作為商的一個因式.

關注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數相除；②同底數哥相除；③對被除式

里含有的字母直接作為商的一個因式.

（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

說明：多項式除以單項式實質就是轉化為單項式除以單項式.多項式除以單項式的結果仍是一個多項式.

【即學即練1】

9.（2024春?灘溪縣期末）下列運算中正確的是（）

A.（-x3y）2—x6y2B.x6-r-x2—x3

C.（4層+20）+2a=2a-1D.=

a

【分析】A.根據積的乘方和哥的乘方法則進行計算，然后判斷即可；

8.根據同底數塞相除法則進行計算，然后判斷即可；

C.根據多項式除以單項式法則和單項式除以單項式法則進行計算，然后判斷即可；

D.根據負整數指數幕的性質進行計算，然后判斷即可.

【解答】解:A.V（-x3y）2=玲凡.?.此選項的計算正確，故此選項符合題意；

瓦?.“6+/=/，.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

C.V（4tz2+2a）+2a=2a+l,.,.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

2

D.V（-a）-=——7==，.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

（-4a2

故選：A.

【點評】本題主要考查了整式的有關運算，解題關鍵是熟練掌握積的乘方法則、累的乘方法則、同底數

暴相除法則、多項式除以單項式法則和負整數指數暴的性質.

【即學即練2】

10.（2023春?譙城區校級期末）計算：（6加2-3/）+3加=.

【分析】根據相關法則計算即可e.

【解答】解：（6〃?2-3%）4-3m=6m2-r3m-3mJr3m=2m-1,

故答案為：2加-1.

【點評】本題考查了整式的除法，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用.

【即學即練3】

11.(2024春?肅縣月考)化簡：5xy),

【分析】根據單項式除以單項式法則計算求解即可.

【解答】解：5x2y^(--xy)=-l0x.

【點評】本題考查了單項式除以單項式.熟練掌握單項式除以單項式是解題的關鍵.

知識點05整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序

相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題,

此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來.

【即學即練1】

12.(2024春?利辛縣期末)下列運算正確的是()

A.x+x4—x5B.x,x3—x4C.(-x2)3—x6D.x6^x2—x3

【分析】根據整式的混合運算法則計算即可.

【解答】解：4x+x4^x5,尤故選項4不符合題意；

B、x*x3=x4,故選項3符合題意；

C、(-x2)3=-x6,故選項C不符合題意；

D、故選項。不符合題意；

故選:B.

【點評】本題考查的是整式的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

【即學即練2】

13.(2024春?埔橋區校級月考)計算：

(1)(-3)2+(5-TT)°-I-1|+(A)-2.

3

(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2.

【分析】(1)先按照零指數累，負整數指數幕，絕對值的計算方法逐項，再按四則混合運算計算即可；

(2)按去括號，合并同類項的步驟計算即可得解.

【解答】解：(1)原式=9+1-1+9

=9+9

=18；

(2)原式=4/-9-4X2+4X+X2-4x+4

=x2-5.

【點評】本題主要考查整式的混合運算，零指數幕和負整指數幕的運算，按順序計算即可.

知識點06整式的混合運算一化簡求值

先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.

【即學即練1】

14.(2024春?埔橋區校級期中)已知X2-X=3,則代數式(3x+2)(3x-2)+x(x-10)的值為()

A.34B.14C.26D.7

【分析】先去括號，再合并同類項，然后把/-x=3代入化簡后的式子進行計算即可解答.

【解答】解：(3x+2)(3x-2)+x(x-10)

2

=9x2-4+x-lOx

=10/-lOx-4,

當/-x=3時，原式=10(x2-x)-4

=10X3-4

=30-4

=26,

故選：C.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

【即學即練21

15.(2024春?大觀區校級期末)已知實數.滿足(a-2023)(a-2024)=3,則(a-2023)2+(a-

2024)2的值是.

【分析】根據已知條件設元求解是關鍵.設a-2023=x,a-2024=y,得"=3,x-y=l,利用完全平

方公式變形得了+廿=(x-y)2+2孫，代入計算即可得答案.

【解答】解：設a-2023=x,a-2024=y,

.,.x-y—a-2023-(a-2024)=1,

(a-2023)(a-2024)=3,

*,

?*.x2+y2=(x-y)2+2xy,

.*.X2+/=12+2X3=7,

A(a-2023)2+(a-2024)2=7.

故答案為：7.

【點評】本題考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的前提，

【即學即練3】

16.（2024春?花山區校級期中）先化簡，再求值：（2x-，y）（2x+/y）-（2x-，y）2,其中x一1

1.

【分析】直接利用多項式乘法去括號，進而合并同類項，再將已知數據代入求出答案

【解答】解：原式=4/--y2-4^+2xy--y2

4-4'

=2xy-阻2,

當x=—,y=-1時，

4'

原式=2X^X（-1）-Ax（-1）2

42

=_工一工

~2~2

=-1.

【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握整式乘法運算法則是解題關鍵.

題型精講

題型01整式乘法混合運算

1.（23-24七年級下?安徽宿州?期中）小聰在學校的社團《數學新天地》讀物里閱讀至『'整式串"的題目.有

依次排列的2個整式：a,。+3,對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在

這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：。，3,。+3,這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按

上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推.通過下列實際操作，

①第二次操作后整式串為：a,3-a,3,a,a+3；

②第二次操作后，當0<,|<3,所有整式的積為正數；

③第四次操作后整式串中共有18個整式；

④第2024次操作后，所有的整式的和為2a+6075.下列結論正確的是（）

A.①②B.①③C.②④D.①④

【答案】D

【知識點】數字類規律探索、整式乘法混合運算、整式的加減運算

【分析】本題考查整式的加減，整式的乘法，掌握合并同類項（系數相加，字母及其指數不變）和去括號

的運算法則（括號前面是"+"號，去掉"+”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是"一"號，去掉"-"號

和括號，括號里的各項都變號）和平方差公式（。+6）（。-6）=/-〃是解題關鍵.根據整式的加減運算法則

和整式的乘法運算法則進行計算，從而作出判斷.

【詳解】解：???第一次操作后的整式串為：a,3,。+3,

二.第二次操作后的整式串為q,3-〃，3,a,Q+3,

即a,3-a,3,a,a+3,故①的結論正確，符合題意；

第二次操作后整式的積為3a(3-°”(°+3)=31(9-/),

0<|^|<3,

a2<9,即9-。2>0,

36Z2(9-6Z2)>0,

即第二次操作后，當0<時<3時，所有整式的積為非負數，故②的說法錯誤，不符合題意；

第三次操作后整式串為七3-2見3-凡/3,a-3,%3,Q+3

第四次操作后整式串為七3-3%3-2見見3-見2。-3,見3-凡3,。一6,。一3,3,見3-見3,見。+3共17個，故③的

說法錯誤，不符合題意；

第一次操作后所有整式的和為Q+3+〃+3=2Q+6,

第二次操作后所有整式的和為Q+3-Q+3+Q+〃+3=2Q+9,

第二次操作后所有整式的和為Q+3-2a+3-Q+〃+3+〃-3+Q+3+Q+3=2a+12,

第n次操作后所有整式的積為2a+3(〃+l),

???第2024次操作后，所有的整式的和為2a+3(2024+1)=2a+6075,

故④的說法正確，符合題意；

正確的說法有①④，

故選：D.

2.(20-21七年級下?安徽合肥?期中)觀察下列各式：

?lx2-0x3=2；②2x3-lx4=2；③3x4-2x5=2；④4x5-3x6=2；......

(1)請按上述規律寫出第⑤個式子：;

(2)請按上述規律寫出第"個等式(用含字母的式子表示)；

(3)你認為(2)中所寫的等式一定成立嗎？請說明理由.

【答案】(1)5x6-4x7=2；(2)n(?+1)-(?-1)(”+2)=2；(3)成立，理由見解析

【知識點】數字類規律探索、整式乘法混合運算

【分析】(1)觀察各式，發現規律即可得到第⑤個式子；

(2)從特殊到一般，用〃表示出各式規律即可；

(3)根據整數的運算求證(2)中的等式即可.

【詳解】解：(1)5x64x7=2；

(2)n(〃+1)-(H-1)(〃+2)=2；

（3）一定成立；理由如下：

n（及+1）-（w-1）（〃+2）=n2+n-n2-2n+n^2=2

【點睛】本題考查規律探究及整式乘法的混合運算，觀察已知等式找到變化規律是關鍵.

題型02計算單項式乘單項式

3.（2022?安徽安慶?一模）計算’;的結果是（）

,1213,

A.a3B.—aC.—aD.ci1

22

【答案】C

【知識點】計算單項式乘單項式

【分析】根據單項式與單項式相乘，把它們的系數分別相乘，相同字母的幕分別相加，其余字母連同它的

指數不變，作為積的因式，計算即可.

【詳解】解：（-^af-2a=^a2x2a=^a3

故選：C

【點睛】本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

4.（22-23七年級下?安徽六安?期中）計算2/兒成的結果等于.

【答案】2a3b2

【知識點】計算單項式乘單項式

【分析】直接利用單項式乘以單項式運算法則計算得出答案.

【詳解】解：la2b-ab=2a3b2,

故答案為：1a3b2.

【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，

對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式，熟練掌握單項式乘以單項式的運

算法則是解題的關鍵.

5.（22-23七年級下?安徽合肥?期中）計算：（3m2?）?^2?2_（-10m）-m3n3

【答案】12一/

【知識點】合并同類項、計算單項式乘單項式

【分析】根據單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解.

【詳解】解：（3叫｛82＞一10?3

=2m2+2nU2+10mMn3

=2m4n3+10m4n3

=12加方

【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，熟練掌握嘉的運算是解題的關鍵.

題型03單項式乘多項式的應用

6.(七年級下?安徽亳州?期末)圖為"L”型鋼材的截面，要計算其截面面積，下列給出的算式中，錯誤的是

()

A.ab-c2B.ac+(b-c)cC.bc+(a-c)cD.ac+bc-c2

【答案】A

【知識點】列代數式、單項式乘多項式的應用

【分析】根據圖形中的字母，可以表示出"L"型鋼材的截面的面積，本題得以解決.

【詳解】解：由圖可得，

"L"型鋼材的截面的面積為：ac+(6-c)c=ac+bc-cz,故選項B、D正確,

或"L"型鋼材的截面的面積為：bc+(a-c)c=bc+ac-c2-,故選項C正確，選項A錯誤，

故選：A.

【點睛】本題考查整式運算的應用，解答本題的關鍵是理解題意，掌握基本運算法則，利用數形結合的思

想解答.

7.(22-23七年級下?安徽六安?期中)有一塊三角形的鐵板，其中一邊的長為2(。+與，這邊上的高為°,那

么此三角形板的面積是.

【答案】a2+ab

【知識點】單項式乘多項式的應用

【分析】根據三角形的面積公式g底x高，列出算式，再根據單項式乘多項式的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：根據三角形的面積公式得：

12

—x2(a+b)-a=a+ab；

故答案為：a2+處.

【點睛】此題考查了單項式乘多項式，掌握三角形的面積公式:底X高和單項式乘多項式的運算法則是解題

的關鍵.

8.(23-24七年級下?安徽合肥?期中)如圖，用總長21米的籬笆圍成三個面積相等的長方形區域①②③,

為方便進出，三個區域均留有一扇寬為1米的門，若〃C=x米.

DH

⑴用含x的代數式表示CD=_米，8。=_米；

⑵用含x的代數式表示長方形45cZ）的面積（要求化為最簡形式）.

【答案】（l）3x；［一

⑵（24%-8百平方米

【知識點】列代數式、單項式乘多項式的應用

【分析】本題主要考查了列式表示數量關系，長方形的面積公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識

進行求解.

（1）根據長方形的性質即可得到3c=2QE,DH=AG=2CH=2x,根據線段的和差關系可用含x的代數

式表示8C的長度；

（2）根據長方形的面積公式求出答案即可.

【詳解】（1）解：???①②③三個長方形區域的面積相等，

CHBC^DEDH=AE-AG

DH=AG,

BC=AE+DE

BC=IDE,DH=AG=2CH=2x,

:.CD=DH+CH=3x米,

（2）解：長方形/BCD的面積為：

8c?CD=（8-gx13x=（24x-8x2）平方米.

題型04計算多項式乘多項式

9.（23-24七年級下?安徽合肥?期末）已知機+〃=3,加7=1,貝川-2加）（1-2”）的值為（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【知識點】計算多項式乘多項式

【分析】本題考查了多項式乘以多項式.由多項式乘以多項式進行化簡，然后代入計算，即可得到答案.

【詳解】解：:加+〃=3,mn=\,

(1-2加)(1一2〃)二1一2〃一2m+4mn

=1-2(加+〃)+4mn,

=1—2x3+4xl

=-1;

故選：A.

10.(23-24七年級下?安徽合肥?期末)若(x-2)(x+加)=/+3x-",則機一”=.

【答案】-5

【知識點】計算多項式乘多項式

【分析】本題考查多項式乘多項式，根據多項式乘以多項式的法則，將等式左邊展開，根據恒等式，求出機,〃

的值，代入代數式進行計算即可.

【詳解】解：(x-2)(x+m)=x2+mx-2x-2m=x2+(m-2)x-2w=x2+3x-?,

???/一2=3,n=2m,

1,m=5,H=10,

.\m-n=-5；

故答案為：-5

11.(22-23七年級下,安徽滁州?期中)試說明多項式x(/+x-3)-/(x-1)-2(x-l)(2x+1)+x(2x+1)的值與

x的取值無關.

【答案】見解析

【知識點】計算多項式乘多項式

【分析】根據單項式與多項式的乘法、多項式乘以多項式的法則將原式化簡，即可作出判斷.

【詳解］解：-^(^2+x-3)-x2(x-1)-2(x-l)(2x+1)+x(2x+1)

=—3x——2(2x2—x—1)+212+x

—%3+x2-3x-%3+%2-4x2+2x+2+2x2+x

=2；

所以原多項式的值與x的取值無關.

【點睛】本題考查了整式的運算，涉及單項式與多項式的乘法、多項式乘以多項式，熟練掌握多項式的乘

法法則是解題的關鍵.

題型05已知多項式乘積不含某項求字母的值

12.(23-24七年級下?安徽滁州?期末)若卜?-px+q)(x-2)展開后不含x的一次項.則p與q的關系是

()

A.p=2qB.p+2q=0C.夕+22=0D.q=2p

【答案】C

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題考查的是多項式的乘法中不含某項的含義，熟練的進行多項式的乘法運算是解本題的關鍵.

先計算多項式乘以多項式可得結果為X3+（-2-p）/+（2p+g）x-2g,再根據結果不含X的一次項，從而可得答

案.

【詳解】解：，-px+q）（x-2）

=x3+（—2一2）12+（2p+q^x-2q,

「儼-0x+q）（x-2）展開后不含x的一次項，

:.2p+q=0,

故選：c.

13.（2025七年級下?全國,專題練習）已知（5-3》+g2-6/）（1-2工）的計算結果中不含尤3項，則加的值

為.

【答案】-3

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題考查多項式中不含某一項的系數特點，解題的關鍵是能夠掌握做題方法，不含某一項，則多

項式合并后，該項的系數為0.先計算（5-3x+機的結果，不含工?的項，則合并后含爐的項

的系數為0.

【詳解】解：（5-3x+加x2-6x3）（l-2x）

=5-1Ox-3x+6x2+mx2-2mx3-6x3+12x4

=12x4+（-2m-6）x3+（6+m）x2-13x+5

?:已矢口（5-3》+/^2—6/）（1-2工）的計算結果中不含％3的項，

/.—2m—6=0

m=—3

故答案為：-3.

14.（22-23七年級下,安徽馬鞍山,期中）若多項式2尤2+辦+3與多項式，-2x+b的乘積中不含/項和/項,

求ab的值.

【答案】10

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】多項式與多項式相乘積中含f項和/項的系數為0,求出心6的值，再計算成的值.

【詳解】解：（2X2+OX+3）（X2-2X+Z））

=2x4-4x3+2bx2+ax3-lax1+2abx+3x?-6x+36,

,?,乘積中不含x2項和x3項，

—4+。=0,2b—2a+3=0,

???Q=4,b=—

2

：.ab=—=10.

2

ab的值為10.

【點睛】本題考查了多項式乘多項式，解題的關鍵是掌握多項式的乘法法則.

題型06多項式乘多項式一一化簡求值

ab12

15.(23-24七年級下?安徽合肥?期中)我們規定，=4-兒，例如，，=1x4-2x3=-2,已知

m+2n

=5,則代數式2/一6〃-1的值是()

m-2n+3m-n

【答案】D

【知識點】多項式乘多項式一一化簡求值

【分析】本題主要查了整式的混合運算.根據新定義可得(加+2〃)的-")-〃(加-2"+3)=5,從而得到

m2-3n=5,再代入,即可求解.

【詳解】解：根據題意得：(加+2")(加-〃)-〃(加-2〃+3)=5,

?'-m2+2mn-mn-2n2-mn+2n2-3〃=5，

2

m-3n=5J

:.2(m2—3n\=2m2-6n=10,

???2m2—6H—1=10—1=9.

故選：D

16.(23-24七年級下?安徽六安?階段練習)對》,歹定義一種新運算產，規定：尸(%/)=(妙+町0(3x7)(其

中加，〃均為非零常數).例如：尸(1,1)=2加+2%F(-1,0)=3m.

(1)當7(-8,尸(1,2)=13,則尸(1,0)=；

(2)當一。/時，尸(歹㈤對任意有理數》,歹都成立，貝IJ加，〃滿足的關系式是.

【答案】93加+〃=0

【知識點】多項式乘多項式一一化簡求值

【分析】(1)根據新運算廠的定義，得加-〃=一2,m+2n=13,故加=3,n=5.那么，7?(1,0)=9.

22222

(2)由尸(％,y),得332+(3力一加)孫—ny=3my+(3n—ni)xy—nx,故(3m+n)x=(3m+n)y.由當x?w>2

時，尸(羽田=尸”產)對任意有理數》，y都成立,故當爐”2時,(3機+")/=(3加+〃)/對任意有理數X,了都

成立.那么，3加+〃=0.

【詳解】解：(1)vF(l,-l)=-8,/(1,2)=13,

(zn-n)x[3-(-1)]=-8,(加+2〃)(3xl-2)=13.

:.m-n=-2,加+2〃=13.

:.m=3fn=5.

所以尸(l,0)=3x3=9.

(2)vF(x,y)=(mx+ny)(3x-y),F(y,x)=(my+nx)(3y-x),

F(x,y)=3mx2-mxy+3nxy-ny2=3mx2+(3n-m)xy-ny2.

x)=3my2-mxy+3nxy-nx2=3my2+(3n-m)xy-nx2.

若當/w/時，尸(元刃=尸3/)對任意有理數》,歹都成立，

.??當時，3mx?+(3〃-加)孫-號之=3w之+(3〃-刈孫-加對任意有理數x,歹都成立.

當一。歹2時，(3加+〃)%2=(3加+〃)/對任意有理數X,y都成立.

3m+H=0.

故答案為：9,3m+?=0.

17.(22-23七年級下?安徽六安?期中)先化簡，再求值：(x+l)(x-2)-x(x+2),其中x=l.

【答案】-3》-2,—5.

【知識點】多項式乘多項式一一化簡求值

【分析】先利用多項式乘多項式、單項式乘多項式展開，再合并同類項，然后把x=l代入計算即可解答.

【詳解】解：(x+l)(x-2)-x(x+2),

=x~_x_2_x?_2,x,

=—3x—2,

當工=1時，原式_3%—2=—3x1—2=—5.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，包括多項式乘多項式、單項式乘多項式等知識點，掌握運算法則是

解題的關鍵.

題型07多項式除以單項式

18.(22-23七年級下?安徽宣城?期中)長方形的面積是12/一6湖+3/,一邊長是3a,則它的鄰邊長是

()

A.4。~—26+。~B.26—4。+C.礦+4。—2bD.4。~—2b+a

【答案】A

【知識點】多項式除以單項式

【分析】根據長方形的面積計算，則另一邊為(12/-6a6+3/)+3a,進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得(12。3-6。6+3/)+3。=4/-26+。2,

;它的另一邊是4a②-26+/,

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的除法運算，正確計算是解決問題的關鍵.

19.（23-24七年級下?安徽安慶,期中）計算：（12/一6°卜3°=.

【答案】4a2-2

【知識點】多項式除以單項式

【分析】本題考查多項式除以單項式的運算，多項式除以單項式先用多項式的每一項除以單項式，再把所得

的商相加減.

根據多項式除以單項式的法則計算即可.

【1：（12。3-6a）+30=12/+3<7-6a+3a=4a~-2,

故答案為：4a2-2.（24/〉一12x/+8孫）+（-6盯）

20.（2024七年級下?安徽?專題練習）計算：

4

【答案】-4-2,--

【知識點】多項式除以單項式

【分析】此題主要考查了多項式除以單項式，關鍵是掌握計算法則，注意符號的確定.利用多項式除以單

項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加進行計算即可.

【詳解】解：原式=24工2^+（一6肛）—12孫2.（—6盯）+8肛+（—6k），

4C4

=-4x+2y--.

題型08整式四則混合運算

21.（22-23七年級下?安徽合肥?期中）在矩形月8。內，將兩張邊長分別為。和>6）的正方形紙片按圖

1,圖2兩種方式處置（圖1,圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋

的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為H，圖2中陰影部分的面積為$2,當=4時，S2-S,

的值是（）

【答案】B

【知識點】整式四則混合運算

【分析】根據圖形和題目中的數據，可以表示出H和$2,然后作差化簡即可.

【詳解】解：由圖可得，

S|=ADAB-a2-b(AD-a),

2

S2=AD-AB-a-b(AB-a),

=[ADAB-cr-b(AB-ay]-[AD-AB-a2-b(AD-a)]

=AD-AB-a2-b(AB-a)-AD-AB+a2+b{AD-d)

=—b-AB+ab+b-AD—ab

=b(AD—AB),

AD-AB=4,

b(AD-AB)=4b,

即S/=4b,

故選：B.

【點睛】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的計算方法.

22.(23-24七年級下?安徽宿州?階段練習)已知5*=160,32，=160,則(-2024廣叱2.

【答案】1

【知識點】零指數幕、幕的乘方運算、整式四則混合運算、積的乘方運算

【分析】本題考查嘉的運算，涉及幕的乘方、積的乘方、同底數塞的乘法、零指數塞、整式的混合運算,

利用幕的乘方、積的乘方、同底數幕的乘法法則推導出町=》+了，代入求解即可.

【詳解】解：，苫二儂，

.-.(5')v=160\

.?.5*(5義32廠=5"321

:5*=160,32〉=160,

芾=5、160=5〃5*=5"

,-.xy=x+y,

.?.(一2024廣如6

=(一2024)所t+i

-2024)所收)

=(-2024)°

二1,

故答案為：1.

23.(22-23七年級下?安徽安慶?期中)計算：(X-1)(X+2)+(X2-2X)^X-(X-2)2

【答案】6x-8

【知識點】整式四則混合運算

【分析】根據多項式乘以多項式，多項式除以單項式，完全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】解：原式-x+2x-2+x-2-任一4%+4）

=x2+x—2+x—2—J+4%—4

=6%-8.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握整式的運算法則以及乘法公式是解題的關鍵.

____________________

05

一、單選題

1.計算（-5優+町-（-2°）的結果為（）.

A.-10a2n+lbB.10a"+2bC.]0a"+lbD.10"+2b

【答案】B

【分析】根據單項式乘以單項式運算法則，即可得到答案.

【詳解】解：（-5/町?（一2a）=10產”,

故選擇：B.

【點睛】本題考查了單項式與單項式相乘的運算法則，解題的關鍵是熟練掌握運算法則.

2.計算12a3網Q5）3的結果是（）

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】C

【分析】首先利用積的乘方與累的乘方的性質化簡原式可得：-32a15+（-8a15）,然后由整式的除法的性質

求解即可求得答案.

【詳解】（03網-2a5戶=-32---8a15=4.

故選C.

【點睛】本題考查整式的除法，解題的關鍵是熟練掌握整式的除法的性質.

2

3.已知8/犬+28優/=—。尸，m,"的值為（）

7

A.加=4,n=2B.根=4,n=lC.m=l,n=2D.m—2,n=4

【答案】A

【分析】根據單項式除以單項式的法則進行計算，再建立方程求解即可.

【詳解】解：+28。72=_/5-2=一仍2,

77

3—77=1,加一2二2,

???〃=2,m=4,

故選A.

【點睛】本題考查的是單項式除以單項式，熟練的掌握單項式的除法法則及同底數暴的除法法則是關鍵.

4.按下列程序計算，最后輸出的答案是()

a->立方->-a4-0->+1f答案

A.a3B.a2+1C.a2D.a

【答案】C

【分析】根據題意得出算式求出即可.

【詳解】解：根據題意得：

=a2—1+1

=a2

故選C.

【點睛】本題考查了整式的混合運算的應用，解此題的關鍵是能根據題意列出算式，注意：運算順序，有

乘方先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的.

5.把多項式N+ox+b分解因式，得(x+l)(x-3),則。、6的值分別是()

A.a=2,6=3B.a--2,b=-3

C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3

【答案】B

【分析】根據整式的乘法，先還原多項式，然后對應求出。、b即可.

【詳解】解:(x+1)x(x-3)

-x2-3x+x-3

=V-2x-3

所以a=-2,b--3,

故選B.

【點睛】此題主要考查了整式的乘法和因式分解的關系，利用它們之間的互逆運算的關系是解題關鍵.

6.長方形的面積為2/_4浦+2。，長為2a,則它的寬為().

A.2a1—4abB.a_2bC.a—26+1D.2“—2b+l

【答案】C

【分析】利用長方形的面積公式進行計算即可.

【詳解】解：由題意得：

(2/—4。6+2。)+(2a)=a—2b+l,

二長方形的面積為2a2—4a6+2a,長為2a,則它的寬為:a—26+1,

故選：C.

【點睛】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項式除以單項式的運算法則是解題的關鍵.

7.觀察下列等式:

(X-1)(x+l)—X2-1,

(X-1)(x2+x+l)—X3-1,

(x-1)(x'+N+x+l)—x4-1,

利用你發現的規律回答：若(X-1)(無6+好+/+/3+/+工+1)=-2,則無2022的值是()

A.-1B.0C.1D.22022

【答案】C

【分析】根據已知算式得出規律，然后求出答案即可.

【詳解】解：根據題意，

(X-1)(x+l)=X2-1,

(X-1)(x2+x+l)—x3-1,

(x-1)(x'+N+x+l)—x4-1,

???(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)-x1-

■■-X1-l=-2,

???x=-l,

.?,x2022=(-l)2022=l；

故選：c.

【點睛】本題考查了數字的變化類、多項式乘以多項式等知識點，能靈活運用規律進行計算是解此題的關

鍵.

8.觀察下列等式：9x0+l=l,9x1+2=11,9x2+3=21,9x3+4=31,...根據以上規律得出9x2019+2020

的結果是()

A.20181B.20191C.20201D.20211

【答案】B

【分析】根據題目提供的算式找到規律：第"個數為：9x1)+〃=10x(?-1)+1,進而即可求解.

【詳解】解：由上述等式可得，當其為第"個數時，

即9x("-1)+〃=10x(n-1)+1,

.-.9x2019+2020=10x2019+1=20191.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了規律性問題的一般知識，能夠從中找出其內在之間的聯系，進而熟練求解.

9.化簡求值(2工-3日(3工+4月-(6/了-2中2+3力“，其中x=-9,了=-1時，結果正確的是().

A.-9B.-6C.-36D.-42

【答案】B

【分析】根據多項式乘以多項式、多項式除以單項式、去括號法則、合并同類項運算對代數式先化簡，再

將x=-9,丁=-1代入化簡結果求值即可得到答案.

【詳解】解：(2了-3了)(3》+4了)-(6/尸2個2+3力7

=6x2+8xy-9j<y-12y2~^6x2-2xy+3j2)

=6x2-xy-12y2-6x2+2xy—3y2

=(6--6x2+{2xy-xy)+(-12y2-3y2)

=xy-\5y2,

當尤=-9,y=.l時，

原式二—9x(—1)—15x(—

=9—15

=-6,

故選：B.

【點睛】本題考查代數式化簡求值，涉及多項式乘以多項式、多項式除以單項式、去括號法則、合并同類

項運算、有理數混合運算等知識，掌握相關運算法則是解決問題的關鍵.

10.2x3-ax2-5x+2=(2x2+ax-l)(x-b),則。+加

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【詳解】解：當元=0時，b=2；

當x=-l時，5-a=(l-a)(-l-/))；

解得：a=2,b=2.

:.a+b=4,

故選D.

二、填空題

11.計算：(x?-2x+l)(-3x)=