重難點專題01玩轉外接球、內切球、棱切球經典問題

【題型歸納目錄】

題型一：外接球之正方體、長方體模型

題型二：外接球之正四面體模型

題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型

題型四：外接球之直棱柱模型

題型五：外接球之直棱錐模型

題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型

題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型

題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型

題型九：外接球之垂面模型

題型十：外接球之二面角模型

題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型

題型十二：外接球之共斜邊拼接模型

題型十三：外接球之坐標法模型

題型十四：外接球之空間多面體

題型十五：與球有關的最值問題

題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型

題型十七：內切球之正四面體模型

題型十八：內切球之棱錐模型

題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型

題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型

題型二十一：棱切球之正四面體模型

題型二十二：棱切球之正棱錐模型

題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型

題型二十四：多球相切問題

【方法技巧與總結】

知識點一：正方體、長方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3、補成長方體

(1)若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.

(3)正四面體P-/8C可以補形為正方體且正方體的棱長裳，如圖3所示.

(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

知識點二：正四面體外接球

如圖，設正四面體期GD的的棱長為0,將其放入正方體中，則正方體的棱長為".,顯然正四面體和

正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為=即正四面體外接球半徑為逅

224

知識點三：對棱相等的三棱錐外接球

四面體/C。中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可以

通過構造長方體來解決這類問題.

b1+c2=m

如圖，設長方體的長、寬、高分別為。也c,貝I三式相加可得小+睡+,2=十〃+'

而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為火，則/+〃+c2=4R2,所以

nr+〃~+r

知識點四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：確定球心。的位置，。|是A必C的外心，則oq,平面例；

第二步：算出小圓J的半徑NO】=r,。。[=；//]=；〃（=力也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：=04+002=（夕+/=尺=J[+g）2,解出火

知識點五：直棱錐外接球

如圖，平面的，求外接球半徑.

解題步驟:

第一步：將A畋畫在小圓面上，/為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑4。，連接PQ,則。。

必過球心O；

第二步：a為A"C的外心，所以oq,平面疵，算出小圓劣的半徑=/（三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得—=—L='=2r）,OO,=-PA-

sinAsmBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2））2=PT+（2r）2O2R=JP42+Qr）2；

②/=/+。0/=.

知識點六：正棱錐與側棱相等模型

1、正棱錐外接球半徑：R=^-

2、側棱相等模型：

如圖，尸的射影是A四C的外心

O三棱錐尸-4BC的三條側棱相等

O三棱錐尸-Z6C的底面A必。在圓錐的底上，頂點尸點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取A岱C的外心則尸,0,01三點共線；

第二步：先算出小圓a的半徑/Q=/，再算出棱錐的高尸。|=小(也是圓錐的高)；

r2+h2

第三步：勾股定理：0A2=O,A2+O,O2=>R2=(h-R)2+r2,解出尺=------.

2h

知識點七：側棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形.

知識點八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體叔刀中，ABLAD,CBA.CD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼

接而形成的，80為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設點。為公共斜邊AD的中點，根據直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到4,B,C,。四點的

距離相等，故點。就是四面體*CD外接球的球心，公共的斜邊80就是外接球的一條直徑.

如圖1所示為四面體P-N8C,已知平面平面MC,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出△尸48和△4BC的外接圓圓心，分別記為.和5.

(2)分別過。1和O,作平面￡仍和平面例的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過O1作48的垂線，垂足記為。，連接則OW_LNB.

(4)在四棱錐4-DO]OQ中，40垂直于平面。O0U，如圖2所示，底面四邊形。的四個頂點

共圓且為該圓的直徑.

圖1圖2

知識點十：最值模型

這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等

知識點十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-已知二面角尸-C大小為a，其外接球問題的步驟如下：

(1)找出△P4B和△ABC的外接圓圓心，分別記為2和Q.

(2)分別過a和q作平面￡仍和平面例的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過⑦作48的垂線，垂足記為。，連接。/,則

(4)在四棱錐/-DOjOQ中，垂直于平面。。。儀，如圖2所示，底面四邊形。O0Q的四個頂點

共圓且為該圓的直徑.

知識點十二：坐標法

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為。(x,y,z),利用球心到各頂點的

距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長.坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的

定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度.

知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型

1、球內接圓錐

如圖1,設圓錐的高為機底面圓半徑為r,球的半徑為火.通常在△OC3中，由勾股定理建立方程來

計算火.如圖2,當尸時，球心在圓錐內部；如圖3,當尸C<C8時，球心在圓錐外部.和本專題

前面的內接正四棱錐問題情形相同圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

、,2?,

由圖2、圖3可知，OC—h—R或R—fl,-R)2+r2=R2,所以R=--------.

2h

PP

mi圖2fflJ

2、球內接圓柱

高為〃，其外接球的半徑為火，三者之間滿足§)+/=后.

如圖，圓柱的底面圓半徑為r,

Q)1OO

O?

3、球內接圓臺

，尸_〃2丫

心=療+々外,其中小〃分別為圓臺的上底面、下底面、高.

12h）-

知識點十四：錐體內切球

方法：等體積法，即尺=3七積

QV表面積

知識點十五：棱切球

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

【典型例題】

題型一：外接球之正方體'長方體模型

【例1】若長方體從一個頂點出發的三條棱長分別為3,4,5,則該長方體的外接球表面積為（）

A.50TIB.IOOTIC.1507rD.200%

【變式1-1】一個棱長為1的正方體頂點都在同一個球上，則該球體的表面積為（）

A.3兀B.2TtC.拒nD.兀

【變式1-2】若一個正方體的頂點都在球面上，則該正方體表面積與球表面積的比值是（）

題型二：外接球之正四面體模型

【例2】正四面體尸-N8C的棱長為若點。是該正四面體外接球球面上的一動點，則諼?文的最大值

為（）

【變式2-1】已知正四面體S-A8C的外接球表面積為6兀，則正四面體S-4BC的棱長為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【變式2-2】已知正四面體/-BCD外接球的表面積為12萬，則該正四面體的表面積為（）

A.4百B.6gC.873D.126

題型三：外接球之對梭相等的三棱錐模型

【例3】（2024?河南?開封高中校考模擬預測）已知四面體48CD中，AB=CD=275,AC=BD=標,

AD=BC=a，則四面體4BCD外接球的體積為（）

A.45兀B."叵C.里延D.246兀

22

【變式3-1】在三棱錐S-/BC中，SA=BC=5,SB=AC=M，SC=AB=K，則該三棱錐的外接球

表面積是（）

A.50KB.100兀C.150KD.200兀

【變式3-2］（2024?四川涼山?二模）在四面體/-BCD中，AB=CD=V7,AD=BC=>/29,AC=BD=277,

則四面體/-BCD外接球表面積是（）

256

A.64KB.32兀C.256兀D.------兀

3

題型四：外接球之直棱柱模型

【例4】如圖，在直三棱柱力3C-/￡G中，側棱長為2,/C，J8C,NC=BC=2&,點。在上底面44G

（包含邊界）上運動，則三棱錐。-/3C外接球半徑的取值范圍為.

【變式4-1】在正六棱錐尸-/BCD跖中，底面中心為。2，PO?=2拒AB,/尸=而.若平行于底面的平

面與正六棱錐的交點分別為4，4，G，2，片,耳，構造一個上底面為正六邊形43GA用耳，下底面

在平面N3CDE尸里的正六棱柱，則該正六棱柱的外接球體積的最小值為.

【變式4-2］已知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表面積為40兀，則該三棱柱的體積為.

題型五：外接球之直棱錐模型

【例5】己知三棱錐Z-BCD,底面88,NCBD=90。,48=5,BC=3,BD=4,則三棱錐力-3CD

的外接球表面積為.

【變式5-1】在四面體/5CD中，8/_L平面/CD,CA1AD,BA=3,AC=4,AD=5,該四面體/BCD

外接球表面積為（）

A.25nB.50TIC.12.571D.100兀

【變式5-2］如圖，在四面體P-N2C中，PA15FffiABC,AC±CB,PA=AC=2BC=2,則此四面體的外

接球表面積為（）

p

B.9KC.36TID.48兀

題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型

【例6】正四棱臺Z3CD-4耳上下底面分別是邊長為2,3的正方形，若|/4歸R當,則該棱

臺外接球表面積的取值范圍是.

【變式6-1】已知正三棱錐尸-/5C中，側棱長為由，底面邊長為赤，則該三棱錐的外接球表面積為.

題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型

【例7】（2024?陜西商洛?模擬預測）在三棱錐尸-/8。中，PA=PC=AB=BC=AC=26,PB=3拒,

則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.48兀B.12KC.27TtD.28K

【變式7-1]（2024?安徽安慶?校聯考模擬預測）三棱錐尸-4BC中，PA=PB=PC=2出,AB=2AC=6,

NBAC=]TT,則該三棱錐外接球的表面積為.

【變式7-2】在三棱錐S-/BC中，SA=SB=CA=CB=AB=2,二面角S-43-C的大小為60。，則三棱錐

S-ABC的外接球的表面積為.

題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型

【例8】已知某圓錐底面半徑為1,高為2,則該圓錐的外接球表面積為（）

A25-25八25-25

A.一兀B.一TIC.一兀D.-n

8642

【變式8-1】已知兩個圓錐側面展開圖均為半圓，側面積分別記為B.SZ,且3=2,對應圓錐外接球體積分

d2

別為匕，匕，則

4=（）

A.8B.4A/2c.2V2D.2

【變式8-2】《九章算術》是我國古代的數學名著，其中有很多對幾何體體積的研究，已知某囤積糧食的容器的

下面是一個底面積為32兀，高為力的圓柱，上面是一個底面積為32兀，高為h的圓錐，若該容器有外接球，則外接球

的體積為（）

A.36萬B.竺也勿C.288萬D.—

33

【變式8-3】已知圓臺的上底半徑為1,下底半徑為2,母線長為尬，則此圓臺的外接球表面積為（）

A.12KB.16兀C.20KD.24兀

題型九：外接球之垂面模型

【例9】在三棱錐E-43C中，平面平面/8C,AC=CE=24B=12,ZBAC=^,點。

為/C的中點，尸是CE上的一個動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【變式9-1］在A48C中，AB=BC=43,/C=2,將A48C沿NC旋轉，當點8到達點夕的位置時，平

面B,AC1平面BAC,則三棱錐"-ABC外接球表面積為.

【變式9-2］如圖，在四面體ABCD中，△48。與△8CD均是邊長為2道的等邊三角形，二面角/-8D-C

的大小為90。，則四面體N5CZ）的外接球表面積為.

題型十：外接球之二面角模型

【例10］如圖，在直角梯形中，己知ZO//2C,4D=4B=1,NBAD=90。,/BCD=45。，現將

沿5D折起到的位置，使二面角尸-AD-C的大小為45°,則此時三棱錐尸-BCD的外接球表面積是

)

【變式10-1】已知正四棱錐尸-48CD的側棱長為質，且二面角尸-A8-C的正切值為2及，則它的外接

球表面積為（）

40-25

A.12TIB.——71C.8兀D.—?!

3

【變式10-2】已知正四棱錐尸-4BCD的側棱長為2,且二面角尸-AB-C的正切值為卡，則它的外接球

表面積為（）

1628

A.——兀B.6兀C.8兀D.——71

33

題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型

【例11】在三棱錐P/8C中，己知A48C是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA

=4,則點尸到底面4BC的距離為（）

A.0B.遞C.嫗D.迪

333

717T

【變式11-1】已知尸C為球。的直徑，A,3是球面上兩點，且AB=2也,ZAPC=~,ZBPC=-,若球

兀

。的體積為32子，則棱錐P-45C的體積為（）

A.4A/3B.譴C.—D.逋

223

【變式11-2】已知三棱錐ABC的所有頂點都在球。的球面上，紇是球。的直徑.若平面S4CL平面

SBC,SA=AC,SB=BC,球。的體積為36兀，則三棱錐S-/5C的體積為（）

A.9B.18C.27D.36

題型十二：外接球之共斜邊拼接模型

【例12］如圖，在四棱錐P/2C。中，底面是菱形，PB1底面/BCD,。是對角線/C與的交點,

7T

若尸8=1,ZAPB=~,則三棱錐尸-30C的外接球的體積為（）

2?4萬57r

A.B.——cTD.2兀

T3

【變式12?1】已知三棱錐尸-ZBC中，尸4=1,PB=3,PC=#),AB=2也,CA=CB=2則此三棱錐

的外接球的表面積為（）

14%28%

B.~TC.9兀D.12萬

【變式12-2】在三棱錐中，/8=麗,445。=乙85。=工,/。=45,8。=8$若該三棱錐的體積為

4

―,則三棱錐/-SBC外球的體積為（）

3

A.reB.jC.亞兀D.4辰

題型十三：外接球之坐標法模型

【例13］正方體/BCD-44的棱長為2,若點〃在線段BG上運動，當A/MC的周長最小時，三棱錐

的外接球表面積為（）

A.4兀B.8兀C.1671D.32兀

【變式13-1】空間直角坐標系。-孫z中，/（&,0,0）/（0,3,0）,C（0,0,5）,0（在3,5）,則四面體/BCD外接球體積

是（）

108

A.25萬B.36%C.—D.288〃

【變式13-2］在空間直角坐標系中，已知正方體的三個頂點坐標分別為尸（4,7,4）,2（7,11,4）,/?（11,8,9）,

則該正方體的外接球球心坐標為（）

題型十四：外接球之空間多面體

【例14】半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美.如圖

是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1,則下列

關于該多面體的說法中不正確的是（）

A.多面體有12個頂點，14個面

B.多面體的表面積為3

c.多面體的體積為:

0

D.多面體有外接球（即經過多面體所有頂點的球）

【變式14-1］阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將

正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如

圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（）

C.8兀D.12K

【變式14-2】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產

生的多面體.如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為a

的截角四面體，則下列說法錯誤的是（）

A.二面角N-2C-。的余弦值為

B.該截角四面體的體積為史

12

c

c.該截角四面體的外接球表面積為彳入力

2

D.該截角四面體的表面積為66a2

題型十五：與球有關的最值問題

【例15］（2024?河南?模擬預測）在四棱錐/一A8CD中，AB=42BC=—CD=—DA=l,其中AGD

是邊長為2的正三角形，則四棱錐廠-N3CD外接球表面積的最小值為（

【變式15-1】在△NBC中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分別為三邊2C,CA,N8的中點，將

“FG,ABEG,ACE尸分別沿尸G,EG,E-向上折起，使得/,B,C重合，記為P,則三棱錐尸-EFG

的外接球表面積的最小值為（）

.15K17n19n2In

A.—B.—C.—D.—

2222

【變式15-2］（2024?高三?山東青島?期中）如圖，已知直三棱柱N8C-44c的底面是等腰直角三角形，

441=2,/C=BC=1,點。在上底面4AG（包括邊界）上運動，則三棱錐。-/3C外接球表面積的最大

值為（）

243兀

B.6兀D.2血兀

64

題型十六：內切球之正方體、正梭柱模型

【例16】已知棱長為2的正方體內有一內切球。，點P在球。的表面上運動，則莎.亞

的取值范圍為.

3

【變式16-1】已知在直三棱柱NBC-481G中，ABLBC,tanZBAC=~,/C=5,且此三棱柱有內切球,

則此三棱柱的內切球的表面積為.

【變式16-2】一個正方體的表面積為6,若一個球內切于該正方體，則此球的體積是

題型十七：內切球之正四面體模型

【例17］已知某棱長為2亞的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（）

--4兀

A.4兀B.2兀C.—D.兀

3

【變式17-1】已知正四面體的棱長為12,則其內切球的表面積為（）

A.12〃B.16?

C.20?D.24萬

【變式17-2】邊長為1的正四面體內切球的體積為（）

A.則B.叵C.-D,巫

8126216

題型十八：內切球之棱錐模型

【例18】正三棱錐尸-4BC側棱長為不，底面棱長為2?,三棱錐尸-ABC內切球表面積是.

【變式18-1】已知菱形的邊長為1,ZADC=~,將△4DC沿NC翻折，當三棱錐。-/8C表面積

最大時，其內切球表面積為.

D

【變式18-2】正三棱錐尸-/8C的內切球a的半徑為，，外接球。，的半徑為限若AB=2g,則2的最小值

r

為.

題型十九：內切球之圓錐'圓臺模型

【例19】已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑

【變式19-1］若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1,則圓錐的體積為.

【變式19-2】在正三棱臺中，AB=2,AB>Afix,側棱/其與底面/3C所成角的正切值為

V2.若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為.

題型二十：梭切球之正方體、正棱柱模型

【例20］己知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為

",則｝.

【變式20-1］我們把與正方體所有棱都相切的球稱為正方體的棱切球，設正方體N5C。-4用G2的棱長為

1，則其棱切球的表面積是（）

A.兀B.2兀C.8兀D.12K

題型二十一：棱切球之正四面體模型

【例21】正四面體4BCD的棱長為2,其棱切球的體積為（

A.2兀B.V6JI

【變式21-1】已知正四面體的棱長為。，球Q與正四面體六條棱相切，球