2025屆普通高中畢業(yè)生久洵杯一月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)便用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)是位于第四象限，故選：D2.已知向量滿足，則（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：C3.設(shè)集合，則中所有元素之和為（）A.3 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)分式及一元二次不等式求出集合A，再應(yīng)用交集定義運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)椋詣t中所有元素之和為.故選：C.4.已知，設(shè)命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合基本不等式即可證明充分性成立，用特值檢驗(yàn)即可說明必要性不成立.【詳解】取,滿足,但，必要性不成立，由基本不等式得,由題可知,則,解得,充分性成立，則是的充分不必要條件，故選：A5.若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】由題意可得f4?x=fx，代入【詳解】由題意函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故f4?x=fx即，即故需滿足且，即，則，故選：B6.已知圓柱與圓錐的體積與側(cè)面積均相等，若的軸截面為等腰直角三角形，則與的底面半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式及體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑分別為，高分別為，因?yàn)閳A錐軸截面是等腰直角三角形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以，所以圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以，化簡(jiǎn)得，所以圓柱和圓錐的底面半徑之比為,故選:C.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系式以及兩角和與差的正余弦公式和正余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】，故,即,則，解得，故選：D.8.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為.為上一點(diǎn)，的半徑為，過作軸的垂線，交于兩點(diǎn)，在的左側(cè).記的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式得出，再分類討論得出離心率大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，故，故帶入有，同理得，由有，故，，故，故答案為：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則（）A.B.與的距離為C.二面角的正弦值為D.正四面體的體積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正四面體的幾何特征求體積結(jié)合二面角，線線垂直等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A.把棱長(zhǎng)為的正四面體放在棱長(zhǎng)為的正方體中，因?yàn)椋裕珹選項(xiàng)正確；取中點(diǎn)，，所以與的距離為，B選項(xiàng)正確；C.設(shè)中點(diǎn)為T，連接，因?yàn)閯t，則為所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值，所以C錯(cuò).D.，所以D對(duì).故選：ABD.10.設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且位于第一象限，直線交軸于點(diǎn)，記的面積為，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷AB；利用對(duì)稱性，結(jié)合幾何圖形求解判斷CD.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則，直線的斜率為的斜率為，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率為，則，即，B正確；對(duì)于C，由對(duì)稱性，得，由，得，而，則，，C正確；對(duì)于D，由，得，則，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋渲袨榻o定的常數(shù)，且不為常函數(shù)，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)C.或1是存在的充要條件D.當(dāng)時(shí)，沒有最值【答案】BCD【解析】【分析】特值檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)A；對(duì)互換得，兩式相加得根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)B；用特值檢驗(yàn)推出必要性矛盾即可判斷選項(xiàng)C；特值檢驗(yàn)加反證法即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，則或，當(dāng)時(shí)，取函數(shù)，則，矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，對(duì)互換有即，又因?yàn)椴缓銥?，則用替換有，故為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，存在函數(shù)符合題意，充分性顯然成立，下面我們證明必要性，假設(shè)且，，則由A選項(xiàng)的分析知，令則，因?yàn)椋瑒t，由的任意性可知，為常函數(shù)，這與不為常函數(shù)矛盾，假設(shè)不成立，所以當(dāng)或1，即必要性成立，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)存在使得，則，則對(duì)于任意均成立，故，為常函數(shù)，這與不為常函數(shù)矛盾，故不存在使得.下面證明的任意取值均同號(hào)，，對(duì)于任意取即可得fmfn>0，故的任意取值均同號(hào)若在處取到最值，則取，則，故由的任意性有，這與題設(shè)矛盾，故D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用賦值法求函數(shù)值，以及靈活應(yīng)用所給的恒等式證明函數(shù)的奇偶性，此類題目要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得出切線斜率，最后應(yīng)用點(diǎn)斜式得出切線方程.【詳解】因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即得.故答案為：.13.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)的方差為__________.【答案】20【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)的定義、方差的性質(zhì)列式計(jì)算得解.【詳解】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，得的平均數(shù)為4，由的平均數(shù)為22，得，則的平均數(shù)為，因此的方差為，所以的方差為.故答案為：2014.設(shè)為正整數(shù)，從集合的所有二元子集中任取兩個(gè)，記為，，其中與可以相同.在平面直角坐標(biāo)系中，記直線與直線的四個(gè)交點(diǎn)分別為，則以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形的概率為__________.（用含的代數(shù)式表示）附參考公式：【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算應(yīng)用求和計(jì)算即可.【詳解】由題知，邊長(zhǎng)為的正方形有種情況，故故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面平面；（2）若為中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，以及幾何條件，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明面面垂直；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，再根據(jù)面面角的向量公式，即可求解.【小問1詳解】在直三棱柱中，，故，故.所以，又因?yàn)椋矫妫势矫?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】因?yàn)槠矫妫裕裕詢蓛纱怪?以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，故.因?yàn)槠矫妫钥勺鳛槠矫娴囊粋€(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，取，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以.16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為.已知到直線的距離為，過的直線交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn).若，求的面積.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離求出參數(shù)p的值，即得答案；（2）設(shè)出AB，AC的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合，可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，F(xiàn)點(diǎn)到的距離為，故（舍去）或，故的方程為.【小問2詳解】由題意知直線AB的斜率必存在，設(shè).聯(lián)立，有，，故，聯(lián)立，有，，故，故由有，則，故.注意到軸，故的面積為.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，.外一點(diǎn)滿足，且的角平分線交于點(diǎn).（1）求；（2）證明：；（3）若，求.【答案】（1）（2）證明見解析（3）或.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)和角公式及同角的三角函數(shù)關(guān)系式即可求得；（2）運(yùn)用反證法，假設(shè)不垂直于，過點(diǎn)作，垂足為，利用三角函數(shù)定義和三角形角平分線定理推得重合即得；（3）設(shè)，分別在和中，利用余弦定理求得，推得，或，在中利用余弦定理即可求出長(zhǎng).【小問1詳解】由正弦定理有，則，因，代入化簡(jiǎn)得：，因，故，又，即得，則.故，解得.【小問2詳解】如圖，假設(shè)不垂直于，過點(diǎn)作，垂足為.由（1）可得，則，由角平分線定理有，故重合，即.【小問3詳解】由（2）知，設(shè).在中，由余弦定理有，同理，故，解得.注意到，故，且.故或（如圖1，圖2），由余弦定理有，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得.故或.18.已知函數(shù)，函數(shù).（1）討論和的單調(diào)性；（2）記函數(shù)，若為減函數(shù)，且存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減得出，再換元構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)而得出求導(dǎo)轉(zhuǎn)化即可求解.【小問1詳解】在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，0,+∞上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】Fx的定義域?yàn)椋褾x為奇函數(shù)，我們只需要考慮的情況..即，令..令.令，且在上單調(diào)遞增.（i）若，則，故單調(diào)遞增，，滿足題意；（ii）若，則存在，使得時(shí)且，即，矛盾，故，即.于是問題轉(zhuǎn)化為：已知.1）若，則，此時(shí)，矛盾；2）若，則由（1）知，解得，故的取值范圍為，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是把問題轉(zhuǎn)化為，再分類結(jié)合最值計(jì)算求解.19.對(duì)于一個(gè)單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，若對(duì)于任意不小于2的正整數(shù)不能表示為中若干不同項(xiàng)之和，則稱為“好數(shù)列”.（1）若數(shù)列滿足，記集合，中的元素由小到大排列得到數(shù)列，列舉的前五項(xiàng)，并判斷是否為“好數(shù)列”，若是，給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知為“好數(shù)列”，對(duì)于給定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則記，設(shè)為的前項(xiàng)和.（i）證明：；（ii）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，有.【答案】（1），不是，理由見解析（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（