長壽區2024年秋期高中期末質量監測高二年級數學試題（B卷）注意事項：1．考試時間：120分鐘，滿分：150分.試題卷總頁數：4頁.2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑.需要書寫的地方一律用0.5MM簽字筆書寫.4．答題前，務必將自己的姓名、學校、準考證號填寫在答題卡規定的位置上.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據計算即可.【詳解】由題意可得直線l的斜率.故選：D2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量坐標運算得出結果.【詳解】若，則.故選：B.3.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為雙曲線的標準方程，再結合漸近線公式，即可求出結果【詳解】雙曲線的標準方程是.則.漸近線方程是.故選：D.4.圓關于直線對稱，則實數（）A. B.4 C.或4 D.2或【答案】C【解析】【分析】先得出圓的圓心，再根據圓關于直線對稱得出圓心在直線上計算求參.【詳解】圓的圓心為，且，即，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，則，化簡得，所以或，滿足.故選：C.5.已知為等比數列，且，則（）A.189 B.93 C.63 D.33【答案】A【解析】【分析】應用等比數列的前n項和公式計算求解.【詳解】因為為等比數列，且，則.故選：A.6.已知向量，滿足，則的值為（）A. B.3 C. D.1【答案】A【解析】【分析】代入空間向量垂直的坐標表示，即可求解.【詳解】由條件可知，，得.故選：A7.若拋物線上的點到焦點的距離為5，則點的縱坐標為（）A.1 B.4 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】代入焦半徑公式，即可求解.【詳解】設點，所以，則.故選：B8.已知點是圓上任意一點，則最大值為（）A.5 B.6 C.25 D.36【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用目標函數的幾何意義，結合圓上的點與定點距離的最大值求解即可.【詳解】圓的圓心，半徑，目標函數表示圓上的點與定點距離的平方，而，所以的最大值為36.故選：D9.在正方體中，則二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，將二面角轉化為兩個半平面的法向量之間的夾角問題，再利用空間向量的夾角公式進行求解.【詳解】不妨設正方體的棱長為2，建立如圖所示則，，，設平面的一個法向量為，因為，，所以則，即，取，則，，故.平面，故平面的一個法向量為，設二面角為，則，因為為銳角，所以，故二面角的余弦值為.故選：D.10.在平面直角坐標系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】首先根據橢圓的性質和三角形頂點的坐標得出三角形邊的關系，然后利用正弦定理將三角函數的比值轉化為邊的比值進行計算.【詳解】在中，頂點，，所以的長度為.因為頂點在橢圓上，所以.根據正弦定理：.則.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.點到直線的距離為______．【答案】【解析】【分析】由點到線的距離公式求解即可；【詳解】由得到，所以點到直線的距離為，故答案為：12.等軸雙曲線的一個焦點是，則雙曲線的標準方程是______．【答案】【解析】【分析】根據題意，設方程為，根據焦點坐標，可求得，即可得答案.【詳解】設等軸雙曲線方程為，一個焦點是，則，則.故雙曲線的標準方程是.故答案為：.13.已知等差數列的公差為，若成等比數列，則等于______．【答案】4【解析】【分析】應用等比中項結合等差數列的基本量運算即可求解.【詳解】因為成等比數列，則，又因為等差數列的公差為，所以，所以.故答案為：4.14.已知直線的一個方向向量為，平面的法向量為，若直線平面，寫出平面的一個法向量______（答案不唯一）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用直線與平面平行時直線的方向向量與平面的法向量垂直這一性質來求解.【詳解】已知直線的一個方向向量為，平面的法向量為，因為直線平面，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直.根據向量垂直的性質，兩個垂直向量的數量積為，則.可得，即，移項得到.為了得到平面的一個法向量，我們可以給賦值.不妨令，將代入，可得.所以平面的一個法向量可以是.故答案為：（答案不唯一）15.如圖，在三棱錐中，N為BC的中點，M為PA的中點，設，則用表示為______．【答案】【解析】【分析】運用向量的運算法則，結合幾何圖形表示即可.【詳解】，N為BC的中點，M為PA的中點，繼續運算，，整理得到.故答案為：.三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.在平面直角坐標系中，點和點的坐標分別為，已知圓是以以為直徑的圓．（1）求圓的方程．（2）求以點為切點的圓的切線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以線段為直徑的圓，圓心是線段中點，半徑是線段長度的一半，分別求出在得到圓的方程；（2）根據圓心與切點的連線和切線垂直，利用斜率關系來求解斜率，再用點斜式可解.【小問1詳解】已知點，點，根據中點坐標公式，圓心的坐標為.根據兩點間距離公式，則直徑長度為，所以圓的半徑.所以圓的方程為.【小問2詳解】根據斜率公式，圓心與切點連線的斜率.因為圓心與切點的連線和切線垂直，若兩條垂直直線的斜率都存在，則它們斜率之積為.設切線的斜率為，則，即，解得.已知切線過點，斜率為，根據直線的點斜式方程,則切線方程為，整理得.17.如圖，在正四棱柱中，分別是的中點，且．（1）求的長；（2）求點到平面的距離；（3）求證：．【答案】（1）3（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）應用正四棱柱的線面垂直得出勾股定理求解；（2）應用線面平行及線面垂直計算求值；（3）先證明平行四邊形即可得出線線平行，進而應用勾股定理計算證明.小問1詳解】因為平面，平面，所以，因為，所以中；【小問2詳解】過點C作交于點，因為平面，不在平面內，得平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離．又因為平面，平面，所以，由平面，得平面，即得點到平面的距離為．在中；所以點到平面的距離為.【小問3詳解】過點M作分別交與點，連接，由且點M是EF的中點，所以點E是的中點．，四邊形是平行四邊形，即，在中，，由得，，即證：.18.在等差數列中，．（1）求數列的通項公式和前10項的和；（2）若數列滿足，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據等差數列的定義和公式，求公差和通項，再代入求和公式，即可求解；（2）根據（1）的結果，利用等差和等比前項和公式，即可求解.【小問1詳解】已知等差數列中，，可得公差為2，即，則，，；【小問2詳解】設，則.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，點分別為的中點，且平面平面．（1）求證：直線平面．（2）求與面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）取的中點，連接，易證四邊形是平行四邊形，進而可求證；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為分別是的中點，所以則四邊形是平行四邊形，即證得因為，平面平面，所以平面.【小問2詳解】取AD的中點為點O，因為是正三角形，所以,又平面平面．且相交于,又在平面內，所以平面．再過點作平行線，交與點,易知兩兩垂直，如圖所示建立空間向量坐標系，點O為AD的中點，設，則設平面PBC的法向量為，則取，即故與平面所成角的正弦值為．20.如圖，已知直線和橢圓有兩個不同的交點．（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；（2）若以