PAGE1專題22動點、圖形多可能性問題（解析版）1.（2024·河南·統考中考真題）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為_________，最小值為_________.【答案】①.②.【詳解】解：∵，，∴，∵線段繞點C在平面內旋轉，，∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴，∴點E在以為直徑的圓上，在中，，∵為定值，∴當最大時，最大，最小時，最小，∴當與相切于點D，且點D在內部時，最小，最大，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值為；當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵四邊形為圓內接四邊形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為；故答案為：；．2.（2023·河南·統考中考真題）矩形中，M為對角線的中點，點N在邊上，且．當以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為______．【答案】2或【詳解】解：當時，∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M為對角線的中點，∴，∴，即：，∴，當時，∵M為對角線的中點，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長為2或，故答案為：2或．3.（2022·河南·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．【答案】或##或【詳解】如圖，連接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根據題意可得，當∠ADQ＝90°時，點在上，且，，如圖，在中，，在中，故答案為：或．4.（2021·河南·統考中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D'處，如圖3.當點D'恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為______．【答案】12或【詳解】解：①點D'恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設A'C交AB邊于點E，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分線段DD'．

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴BC=AC?tanA=1×tan60°=3．

∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CE，

∴CE=32．

∴A'E=A'C?CE=1?32．

在Rt△A'D'E中，

∵cos∠D'A'E=A'EA'D'，

∴A'EA'D'=12，

∴A'D'=2A'E=2?3．

②點D'恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1

一、填空題1．（2024·河南周口·三模）正方形的邊長為，E是邊上的一個動點（不與A，D兩點重合），將沿折疊得，若是等腰三角形，則．【答案】或【詳解】解：是等腰三角形，分三種情況：①當時，如圖，過作于點，交于點，四邊形是正方形，，，，∴MN是正方形的對稱軸，如圖，連接，則，將沿折疊得，，是等邊三角形，，，，，；②當時，如圖，過作，交于點，交于點，，，，，，，由勾股定理得：，，四邊形為矩形，，，，設AE=x，則，，由勾股定理得：，即，解得，，，；③當時，由題意，，，此時四邊形BCDP是正方形，點與點重合，不符合題意，綜上所述，的長為或．故答案為：或．2．（2024·河南新鄉·二模）在矩形中，，點P是直線一動點，若將沿折疊，使點B落在點E處，連接，若P、E、D三點在同一條直線上，則．【答案】1或9【詳解】解：根據題意得：，分情況討論：當點在線段上時，根據折疊性質：，在中，，設BP=x，則，在中，，解得：，當點在線段的延長線上時，根據折疊性質：，，，在和中，，，，在中，，，綜上：的長為1或9，故答案為：1或9．3．（2024·河南濮陽·二模）如圖，在矩形中，，E是邊上一動點（不與點A，D重合），先將沿直線翻折，點A的對應點為F．再作點B關于直線的對稱點G，連接．當點G恰好落在矩形的邊上時，線段的長為．

【答案】或3【詳解】解：如圖①，點G落在上，

沿直線BE翻折，點A的對應點為F，，點B，點G關于直線EF的對稱，，∴B、F、G三點共線，，，∵，，，∵，∴，∴，∴∴，如圖②，點G在上，

由上可知，，∴，∴，∴，∴線段的長為或3，故答案為：或34．（2024·河南安陽·三模）如圖，在等邊中，于點，點分別是上的動點，沿所在直線折疊，使點落在上的點處，若是直角三角形，則的值為．

【答案】或【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，由折疊的性質可得：，如圖，當時，

，，，，，，，解得：，，，如圖，當時，

，，，，，解得：，，，，，，綜上所述：的值為或，故答案為：或．5．（2024·河南鶴壁·二模）如圖，正方形中，為邊的中點，連接為邊AD上一動點，將沿所在直線翻折，若點A的對應點恰好落在的邊上，則線段的長為．【答案】1或【詳解】解：如圖：以點B為圓心，為直徑畫圓，與分別相交于兩點，且為，然后過點B分別作的垂直平分線交于當A的的對稱點落在上時，即點；此時P為上的連接∵四邊形是正方形∴則即∴∵為邊的中點，∴故∴如圖：當A的的對稱點落在上時，即點；此時P為上的連接交于一點，∵沿所在直線翻折∴即直線是的平分線，過點G作，∴∵四邊形是正方形∴∴則設，則∵∴則中，得即解得∵∴則解得綜上：線段的長為1或故答案為：1或6．（2024·河南南陽·二模）如圖，在矩形紙片中，，，是的中點，是邊上的一個動點(點不與點，重合)．將沿所在直線翻折，點的對應點為，連接，．當是等腰三角形時，的長為．

【答案】或或【詳解】解：①當時，連接，如圖：

點是AB的中點，，，四邊形是矩形，，，，，將沿所在直線翻折，得到，，，，點，，三點共線，，，設則，在中，，解得：，；②當時，如圖：

，點在線段CD的垂直平分線上，點在線段AB的垂直平分線上，點是AB的中點，是AB的垂直平分線，，將沿所在直線翻折，得到，，，四邊形是正方形，；③當時，連接，，如圖：

點是AB的中點，，，四邊形是矩形，，，，將沿所在直線翻折，得到，，，，點，，三點共線，，，設則在中，，在中，，，即解得：，；綜上所述，的長為或或，故答案為：或或．7．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在中，，E為邊上一點，以為直徑的半圓O與相切于點D，連接，．P是邊上的動點，當為等腰三角形時，的長為．

【答案】或【詳解】解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點D，∴，，∴設，則，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵為等腰三角形，當時，，當時，∵，∴點與點重合，∴，

不存在的情況；綜上：的長為或．故答案為：或．8．（2024·河南新鄉·一模）如圖，在中，，，點是線段延長線上的一個動點，∠AOC=60°，則當為直角三角形時，的長為．【答案】或【詳解】解：如圖1，當∠AMB＝90°時，∵O是AB的中點，AB＝2，∴OM＝OB＝1，又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，∴BOM是等邊三角形，∴BM＝BO＝1，∴RtABM中，AM＝＝；如圖2，當∠ABM＝90°時，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，∴∠BMO＝30°，∴MO＝2BO＝AB＝2，∴RtBOM中，BM＝＝，∴RtABM中，AM＝＝，綜上所述，當ABM為直角三角形時，AM的長為或．故答案為：或．9．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC=4，BC＝3，將△ABC繞點B逆時針旋轉一定的角度α，若0°＜α＜90°，直線A1C1分別交AB，AC于點G，H，當△AGH為等腰三角形時，則CH的長為．【答案】﹣1或1【詳解】解：情況一：如圖1中，當AG＝AH時，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵，∴BG＝＝＝，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝-1．情況二：如圖2中，當GA＝GH時，過點G作GM⊥AH于M．同法可證，GB＝GA1，設GB＝GA1＝x，則有x2＝32+（6﹣x）2，解得x＝，∴BG＝，AG＝5﹣＝，∵，∴＝，∴＝，∴AM＝，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC﹣AH＝1．綜上所述，滿足條件的CH的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．10．（2024·河南濮陽·三模）如圖，正方形的對角線上有一動點，作于點，連接，若，則的長為．【答案】或/或【詳解】解：如圖，延長交于H，∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得∶，當時，，∴；當時，，∴；綜上所述，的長為或．故答案為∶或11．（2024·河南南陽·一模）在矩形中，，點為的中點，點在邊上，且．連接，和，若為直角三角形，則的長為．【答案】12或/或12【詳解】解：，點為的中點，，在矩形中，，，，，①當時，如圖1所示．∴，，．，．，即，解得．．②當時，如圖2所示，同理可得，．，即，解得．．③，不可能為直角．綜上所述，的長為12或．故答案為：12或．12．（2024·河南開封·二模）若一個三角形的三邊長之比為，則稱這個三角形為“勾股三角形”，如圖，在矩形中，，點G在邊上，將沿所在直線折疊，得到，再將沿過點A的直線折疊，使與重合，點的對應點為點E，折痕與交于點F，若是“勾股三角形”，則的長為．【答案】或【詳解】解：由折疊的性質，可得：，，，，，，∵是“勾股三角形”，或，當時，設，則：，，，，，，，當時，同理可得：；故答案為：或．13．（2024·河南漯河·二模）矩形中，，，將矩形沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，若是以點E為直角頂點的直角三角形，則點E到直線的距離是．【答案】或3?22【詳解】解：由題意矩形沿過點A的直線折疊，使點落在點處，∴，∴點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，

當與相切于點E時，，是直角三角形，此時分兩種情況：①如圖，點E在矩形的外部，過點E作交于點H，交于點G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，點E在矩形的內部，過點E作交于點N，交于點M，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，點E到直線的距離是或3?22，故答案為：或3?22．14．（2024·河南信陽·一模）如圖，已知矩形的兩條邊，點是對角線的交點，點是邊上一個動點，作點關于直線的對稱點，當與矩形一條邊垂直時，的長是．【答案】或5【詳解】如圖，∵點關于直線的對稱點為，∴，∴∵四邊形是矩形，∴①當時，則∴在Rt中，，設則在Rt中，根據勾股定理得，即解得x=5②當時，則∵點關于直線的對稱點為，∴是的平分線，綜上所述，的長是或5．故答案為：或5．15．（2024·河南鄭州·一模）如圖，在菱形中，，，點為邊上一點，，點為邊上的一動點，沿將翻折，點落在點處，當點在菱形的對角線上時，的長度為．【答案】2或【詳解】解：分兩種情況：①當點P在菱形對角線AC上時，如圖1所示：由折疊的性質得：AN＝PN，AM＝PM，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°?30°＝60°，∴AN＝AM＝2；②當點P在菱形對角線BD上時，如圖2所示：設AN＝x，由折疊的性質得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，∵AB＝3，∴BM＝AB?AM＝1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°?60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝12∠ADC∵∠BPN＝∠BPM＋60°＝∠DNP＋60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴，即，∴PD＝x，∴解得：或（不合題意舍去），∴；綜上所述，AN的長為2或；故答案為：2或．16．（2024·河南南陽·一模）在平行四邊形中，點為邊的中點，將沿折疊，使點落在點處，把紙片展平，延長與射線交于點．若，，則線段．【答案】或【詳解】解：①如圖，當在邊上，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，由折疊得：，AE=EF，，，，是的中點，，，，，，，．②如圖，當在邊延長線上，同理可求：，，；綜上所述：的長為或．17．（2024·河南商丘·二模）如圖，在中，，，AC=1，在直線左側找到一點D，使四邊形滿足一組對邊平行且有一組對角互余，則的長為．【答案】或【詳解】解：分兩種情況討論如下：①當，時，過點作，交的延長線于，如圖1所示：在中，，，AC=1，，由勾股定理得：，，，，在中，，，由勾股定理得：，即，，，，，，四邊形為矩形，，，，在中，由勾股定理得：，②當，時，過點作，交的延長線于，如圖2所示：同理：，，，，，，，為等邊三角形，，在Rt△ADE中，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：．綜上所述：的長為或．故答案為：或．18．（2024·河南周口·一模）如圖，在矩形中，，，為上一動點，連接．將沿折疊，當點恰好落在矩形的對角線上時，的長為．【答案】或【詳解】解：分兩種情況：當點在上時，如圖，四邊形是矩形，，，，由軸對稱的性質可知：，，，，，而，，，解得：；當點在上時，如圖，由軸對稱的性質可知，，，又，，，，即，解得：；綜上所述，的長為或，故答案為：或．19．（2024·河南鶴壁·一模）矩形紙片中，，，點在AD邊所在的直線上，且，將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕與AD，分別交于點，，則線段的長度為．【答案】或【詳解】解：∵折疊，∴，∵四邊形是矩形，∴∴，又∴∴，當點在點的右側時，如圖所示，設交于點，

∵，，，∴中，，則，∵，∴∴，當點在點的左側時，如圖所示，設交于點，∵，，，∴中，

則，∵，∴∴，綜上所述，的長為：或，故答案為：或．20．（2024·河南新鄉·二模）如圖，B、O、D三點共線，且，，和都為等腰直角三角形，將繞點O逆時針方向旋轉一周，當時，線段的長度為．【答案】2或/或2【詳解】解：①如圖，當在外部時，，延長交于N，過點A作于H，∵和都為等腰直角三角形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；②如圖，當在的內部時，，∵和都為等腰直角三角形，∴，，，AB=22，∵，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，故答案為：2或．21．（2024·河南駐馬店·三模）在中，，，，是邊上的中線，把繞點D旋轉，旋轉角為，對應點為點．如果與直角邊平行，則點到點C的距離為．【答案】或【詳解】解：如圖所示，當時，過點C作交的延長線與H，∵在中，，，，∴，∵是邊上的中線，∴，由旋轉的性質可得，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；如圖所示，當時，設交于H，在Rt△CDH中，，∴，∴；綜上所述，點到點C的距離為或，故答案為：或．22．（2024·河南周口·一模）如圖，等邊的邊長為3，D為上一點，，P是線段上的動點，若點P和中的一個頂點的連線與的夾角為，則的長為．【答案】或【詳解】解：如下圖，過點D作于點M，等邊的邊長為3，，，，∴，∴，，，；分兩種情況：①如下圖，連接，若，，，，，即，解得，②如下圖，連接，若，，，，，即，解得，綜上所述，的長為或，故答案為：或．23．（2024·河南濮陽·一模）在矩形中，，E為線段的中點，動點F從點C出發，沿C→B→A的方向在和上運動，將矩形沿折疊，點C的對應點為，當點恰好落在矩形的對角線上時（不與矩形頂點重合），點F運動的距離為．【答案】3或【詳解】分兩種情況：

①當點落在對角線上時，連接，如下圖所示：將矩形沿折疊，點C的對應點為，當點恰好落在矩形的對角線上，,∵點E為線段的中點，,∴，又∵，，即,，∴，是中點點是的中點，在矩形中，,,

,點運動的距離為3；②當點落在對角線上時，作于，則，四邊形為矩形，如圖2所示：在矩形中，，,，∵，，,，,四邊形為矩形，,,點運動的距離為；綜上所述：點運動的距離為3或；故答案為：3或．24．（2024·河南開封·三模）如圖所示，在中，，，是的中位線，D是邊上一點，，P是線段上的一個動點，連接，相交于點O．若是直角三角形，則的長是．

【答案】或【詳解】解：，，是等腰直角三角形，，，是的中位線，，，，分兩種情況：①當時，如圖1，過點F作于H，

是等腰直角三角形，，，，，，設，由勾股定理得：，，，；②當時，如圖2，過點F作于H，則，

，，，，，即，，綜上，的長為或．故答案為：或．25．（2024·河南信陽·一模）在菱形紙片中，，，點F在邊上，將菱形紙片沿直線折疊，點D的對應點為E．當與菱形的邊垂直時，的長為．【答案】2或【詳解】解：分兩種情況，①當時，如圖，設于G，

∵四邊形是菱形，∴，，∵于G，∴，∴，∴在中，，由勾股定理，得，∵將菱形紙片沿直線折疊，點D的對應點為E，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴；②當時，如圖，設于G，過點F作于H，

∵四邊形是菱形，∴，，，∴∵∴∴∵將菱形紙片沿直線折疊，點D的對應點為E，∴，∵∴∴∴，∵，，∴，設，則，，在中，由勾股定理，得解得：，（舍去），∴；綜上，的長為2或．故答案為：2或．26．（2024·河南鶴壁·一模）矩形中，點是邊上一動點，將沿著所在直線翻折，當點的對應點恰好落在上，且點是的三等分點時，的值為．【答案】或【詳解】解：根據題意，分兩種情況：當時，如圖所示：設，則，，，將沿著所在直線翻折，當點的對應點恰好落在上，，且，即，在中，由勾股定理可得，，即，解得，兩邊同時平方得，再同時開方得（負值舍去），；當時，如圖所示：設，則，，，將沿著所在直線翻折，當點的對應點恰好落在上，，且，即，在中，由勾股定理可得，，即，解得，兩邊同時平方得，再同時開方得（負值舍去），；綜上所述，的值為或．27．（2024·河南鄭州·二模）在矩形中，點E是的中點，將沿所在直線折疊后得到．點B的對應點為點F．延長交直線于點P，若，PD=1，則的長為．【答案】或【詳解】解：情形一：當點在邊上時，連接，如圖1，∵E是的中點，∴，∵沿折疊后得到，∴，∴，∵在矩形中，∴，∴，∵∴∵在和中，，∴，∴，在中，設，由勾股定理得，∴，解得，（負值舍去），∴；情形二：當點在邊延長上時，連接，如圖2，同理可證，∴在中，設，由勾股定理得，∴，解得，（負值舍去），∴；綜上，的值為或故答案為：或28．（2024·河南信陽·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點M，N分別在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，當點C′恰好落在直線MN上時，CE的長為．【答案】或10．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四邊形ABNM的矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，∴DC′＝D