PAGE1專題12三角形（解析版）1.（2024·河南·統考中考真題）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為_________，最小值為_________.【答案】①.##②.##【詳解】解：∵，，∴，∵線段繞點C在平面內旋轉，，∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴，∴點E在以為直徑的圓上，在中，，∵為定值，∴當最大時，最大，最小時，最小，∴當與相切于點D，且點D在內部時，最小，最大，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值為；當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵四邊形為圓內接四邊形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為；故答案為：；．2．（2023·河南·統考中考真題）如圖1，點P從等邊三角形的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．設點P運動的路程為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則等邊三角形的邊長為（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【詳解】解：如圖，令點從頂點出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從點沿直線運動到頂點．結合圖象可知，當點在上運動時，，∴，，又∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，當點在上運動時，可知點到達點時的路程為，∴，即，∴，過點作，∴，則，∴，即：等邊三角形的邊長為6，故選：A．3.（2022·河南·統考中考真題）15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．【答案】或##或【詳解】如圖，連接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根據題意可得，當∠ADQ＝90°時，點在上，且，，如圖，在中，，在中，故答案為：或．4.（2021·河南·統考中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D'處，如圖3.當點D'恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為______．【答案】12或【詳解】解：①點D'恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設A'C交AB邊于點E，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分線段DD'．

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴BC=AC?tanA=1×tan60°=3．

∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CE，

∴CE=32．

∴A'E=A'C?CE=1?32．

在Rt△A'D'E中，

∵cos∠D'A'E=A'EA'D'，

∴A'EA'D'=12，

∴A'D'=2A'E=2?3．

②點D'恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠D'A'C=60°，∠A'CD'=30°，

∴∠A'D'C=90°，

∴A'D'=12A'C=12×1=12．

綜上，線段A'D'的長為：12或2?3．

故答案為：1A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：由題意知：四邊形為正方形，如圖，當落在上時，由故選一、單選題1．（2024·河南周口·一模）如圖，在四邊形中，，，平分，點是的中點，點是上的動點，若，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】如圖所示，連接，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當點E，F，C三點共線時，的值最小，即的長度，∵平分，∴∵∴∴∵，∴是等邊三角形∵點是的中點，∴∴∴∴．∴的最小值為6．故選：C．2．（2024·河南駐馬店·二模）如圖，在中，，．分別以點A和C為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q，作直線分別交，于點D和點E．若，則的長為（

）A． B．5 C．10 D．【答案】A【詳解】連接，如圖∵，∴，由作法得垂直平分，∴，∴，∴，在中，，∴，故選：A.3．（2024·河南新鄉·三模）如圖，在中，，按如下步驟作圖，①以點為圓心，小于的長為半徑作弧交，于點，；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，過點作交于點，已知，，則的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，，∴，由作圖知平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．4．（2024·信陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【詳解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O關于原點位似∴△ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝∴A′E＝AD＝2OE＝OD＝1∴A′（-1,2）同理可得A′′（1,-2）方法二：∵點A（-3，6）且相似比為∴點A的對應點A′的坐標是（-3×，6×），∴A′（-1,2）∵點A′′和點A′（-1,2）關于原點O對稱∴A′′（1,-2）故選：D．5．（2024·河南·三模）小明在科普讀物中了解到：每種介質都有自己的折射率，當光從空氣射入該介質時，折射率為入射角正弦值與折射角正弦值之比，即折射率（i為入射角，r為折射角）．如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的玻璃透鏡斜面，經折射后沿垂直邊的方向射出，已知，，，則長為（

）A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】D【詳解】解：∵折射光線沿垂直邊的方向射出，∴，∵法線垂直于，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：，故選：D．6．（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點，分別在，邊上，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，．故選：B．7．（2024·扶溝·二模）兩千四百多年前，我國學者墨子就在《墨經》中記載了小孔成像實驗的做法與成因，圖1是小孔成像實驗圖，抽象為數學問題如圖2；與交于點O，，若點O到的距離為，點O到的距離為，蠟燭火焰的高度是，則蠟燭火焰倒立的像的高度是（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【答案】B【詳解】設蠟燭火焰的高度是，，，由相似三角形的性質得到：，解得．即?燭火焰的高度是．故選：B．8．（2024·南陽·一模）如圖，在等邊三角形中，點D在邊上，連接，將繞點B旋轉一定角度，使得，連接．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，在和中，∴≌∴，∴．故選：D．9．（2024·新鄉·二模）如圖，在中，，，點，分別是圖中所作直線和射線與，的交點．根據圖中尺規作圖痕跡推斷，以下結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據圖中尺規作圖可知，AC的垂直平分線交AB于D，BP平分∠ABC，∴，；選項A、B正確；∵，∴∠ACD=∠A=40°，∵，，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴，選項D錯誤；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，選項C正確；故選：D10．（2024·鶴壁·三模）如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（

）A． B． C．a-b D．b-a【答案】C【詳解】解：∵在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故選：C．11．（2024·駐馬店·二模）如圖，在平面直角坐標系中，與是以點為位似中心的位似圖形，若，點的坐標是，則點的橫坐標是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【詳解】解：與是以原點O為位似中心的位似圖形，，∵，∴與位似比為，點的坐標是，點E在第一象限，點E的坐標是，即，∴點的橫坐標是10．故選：D．12．（2024·河南南陽·三模）如圖，點，分別是邊，的中點，點在上，．連接并延長，與的延長線相交于點．若，則線段的長為(

)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】解：∵點，分別是邊，的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．13．（2024·河南商丘·二模）如圖，在中，已知點，，點在第一象限內，，將沿折疊得到，此時點恰好落在軸上，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接交于點，過點作軸于點，如解圖所示．，∵，，∴．由折疊的性質，可知，，．∴．∴在中，．∴．∴在中，．∵，，∴，∴，∵，∴．∵，∴點的坐標為，故選：A．二、填空題14．（2024·河南新鄉·一模）如圖，等邊三角形的邊上有一點P，過點P作于點E，Q為延長線上一點，當時，交于點D，若，則．【答案】4【詳解】解：如圖，過點Q作的延長線的垂線于點，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，故答案為：4．15．（2024·河南新鄉·三模）把一副直角三角尺如圖擺放，，，，，斜邊BC，EF在同一直線上，且直角頂點連線．將左右平移，當恰為直角三角形時，AD的長為．【答案】或/或【詳解】解：∵，，，，∴，，，∵∴，①當時，如圖，過A作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；②當時，如圖，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；綜上，的長為或．故答案為：或．16．（2024·河南·三模）如圖1，在中，點D為的中點，動點P從點D出發，沿著D→A→B的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點B，在此過程中線段的長度y隨著運動時間x的函數關系如圖2所示，則m的值為．【答案】4【詳解】解：∵動點從點出發，線段的長度為，運動時間為的，根據圖象可知，當時，∴，∵點為邊中點，∴，由圖象可知，當運動時間時，y最小，即最小，∴根據垂線段最短，此時，如圖所示，此時點P運動的路程，

∴，∴在中，，即．故答案為：417．（2024·河南安陽·三模）如圖，，點M，N分別是射線上的動點，點P為內一點，且，則的周長的最小值為．【答案】5【詳解】解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關于的對稱點為C，∴．∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：5．18．（2024·新鄭·二模）如圖所示的網格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內心的坐標為．

【答案】（2，3）【詳解】解：根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，根據題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設BC的關系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當y=0時，x=3，即G（3,0），∴點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），

故答案為：（2，3）．19．（2024·河南商丘·二模）如圖，在中，D是的中點，點F在上，連接，并延長交于點E，若，，則的長為．

【答案】6【詳解】解：取的中點G，連接，如圖，

∵D是的中點，G是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：6．三、解答題20．（2024·河南鶴壁·一模）喜歡思考問題的小明在探究直角三角形斜邊的中線，他的思路是：在中，先作出直角邊的垂直平分線，并猜測它與斜邊的交點是中點，于是他把交點與點C連接，通過垂直平分線的性質以及等角對等邊的代換，他發現了直角三角形斜邊的中線與斜邊的數量關系．(1)請根據小明的思路完成以下作圖與填空：①用尺規作圖作的垂直平分線交于點，垂足為點，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）②已知：在中，，垂直平分，垂足為點．求證：．證明：垂直平分，______．．在中，，，______．．______．．．(2)通過探究，小明發現直角三角形均有此特征，由此解決以下問題：若的周長為12，，，則邊上的中線長為______．【答案】(1)①見解析；②，，(2)2.5【詳解】（1）解：①作圖如下：證明：垂直平分，．．在中，，，．．．．．故答案為：，，；（2）解：設，則，由勾股定理得，即，解得，∴，∴邊上的中線長為2.5．故答案為：2.5．21．（2024·河南周口·二模）如圖，一根電線桿垂直于地面，電線穿過電線桿頂點，一端固定在點，另一端固定在點．已知點距離地面，點距離地面，點，到電線桿的水平距離分別為與，從點看點的仰角為．(1)求電線桿的高度．(2)求電線的總長度（即的長）．（結果精確到．參考數據：，）【答案】(1)電線桿的高度為(2)【詳解】（1）解：如圖，過點作于點．由題意得：．，，，電線桿的高度為；（2）解：如圖2，過點作于點，在中，，，，電線的總長度．22．（2024·河南周口·三模）王老師擅長巧妙地整合教學材料，引導同學們以整體、相關和逐步發展的視角思考問題，培養科學的思維方式．下面是王老師結合旋轉與其他知識內容所設計的問題，請你解答．(1)如圖1，在平面直角坐標系中，點，軸上有一點P，現將點繞點P按順時針方向旋轉至點，則點P的坐標是______，______．(2)如圖2，在中，，點，分別在，上，將線段繞點按逆時針方向旋轉至，點恰好落在邊上，求證：．(3)如圖3，是底角為的等腰三角形，，為的中點，為射線上一個動點．連接，將繞點按逆時針方向旋轉得到，連接，，．當是直角三角形時，請直接寫出的長．【答案】(1)；(2)見解析(3)的長為或6【詳解】（1）解：設點P的坐標是，由題意得：∴，解得：∴點P的坐標是∵，∴∴是等腰直角三角形，∴∴故答案為：；（2）證明：，，．在和中，，，，，．（3）解：是底角為的等腰三角形，，為的中點，，．①當時，如圖1．，，．又，同理，，，，，．又，，；②當時時，如圖2．，，四點共線，，，又，是等邊三角形，綜上所述，的長為或6．23．（2024·許昌·二模）綜合與實踐如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，連接，為的中點，連接，．(1)觀察猜想：線段和的數量關系為______，和的位置關系為_______；(2)探究證明：把繞點逆時針旋轉時，如圖②，試判斷（1）中的關系是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由；(3)拓展應用：若，，把繞點逆時針旋轉的過程中，請直接寫出當時，的長度為________．【答案】(1)，(2)（1）中結論仍然成立，證明見解析(3)或【詳解】（1）解：∵在中，，，點為的中點，∴，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：（1）中結論仍然成立，證明如下：如圖，在的延長線上截取，連接，，，延長，交于點．，，．，，，，，，，又，，．又，，，，，，是等腰直角三角形．又點是的中點，，；（3）解：如圖所示，當點E在上方時，在的延長線上截取，連接，同理可證，，，，又∵，∴在同一直線上，由題意得，可得是等腰直角三角形，則，又∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵點F是的中點，∴，∴是等腰直角三角形，∵在等腰直角中，，∴，∴，∴；如圖，當點E在下方時，在的延長線上截取，連接，同理可證，，，，又∵，∴在同一直線上，由題意得，可得是等腰直角三角形，則，又∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵點F是的中點，∴，∴是等腰直角三角形，∵在等腰直角中，，∴，∴，∴；綜上所述，當時，的長度為或，故答案為：或．24．（2024·河南駐馬店·二模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“等邊三角形”為主題開展數學活動．(1)問題發現如圖1，點P，Q分別是等邊邊，上的中點，連接，交于點M．請直接寫出的度數為______；(2)類比探究如圖2，小琦將點P，Q移動到，其他位置時，繼續探究：點P，Q分別是邊，上的任意一點，且保持，那么的大小變化嗎？若變化，請說明理由，若不變，請求出它的度數；(3)拓展應用如圖3，點P，Q分別是在射線，上運動，且保持，直線，交于點M，連接．已知等邊三角形的邊長為a，請直接寫出長的最小值和最大值．【答案】(1)(2)不變，理由見詳解(3)長的最小值為，最大值為【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵是的中點，∴，，∴，故答案為：；（2）解：不變，理由如下：∵在等邊中，，又由條件得．，，；（3）解：根據第（1）和（2）問的探究可知，當點繼續在射線上運動時，的大小始終不變，即的大小始終不變，因此點的運動軌跡是過點三點的圓，連接，連接并延長交于，交于，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，故當圓心和點在一條直線上時，且當點在圓心和點之間時，即時，有最小值，此時；當圓心點和點之間時，即時，有最大值，此時．25．（2024·河南周口·一模）如圖，A，B兩地之間被一座大山擋在中間，導致一直沒有直通的公路，需要繞行C地，嚴重阻礙了A，B兩地間的區域經濟發展．為促進區域經濟發展，A，B兩地準備通過開挖隧道的方式修建一條直通兩地的公路．已知，，，求的長．（結果保留根號）【答案】【分析】本題考查直角三角形的性質、勾股定理的實際應用，過點A作于點D，根據直角三角形的性質可得，，從而可得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點A作于點D，則，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，．26．（2024·河南周口·二模）綜合與實踐課上，李老師與學生一起探究了如下與“中點”有關的問題．(1)如圖1，在中，，，D是的中點，E，F分別在上，且，連接．若，則______(2)如圖2，在中，，D是的中點．E，F分別在上，連接．當，請寫出線段之間的數量關系，并證明．(3)如圖3，在中，，，D是的中點．E為直線上一動點，連接．過點D作，交直線于點F．請直接寫出當時線段的長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【詳解】（1）解：如圖，連接，，，D是的中點，，，，，，，，又，，，故答案為：；（2）解：，證明：如圖，延長到點G，使，連接，，，，垂直平分，；D是的中點，，在和中，，，，，，，，是直角三角形，，；（3）解：如圖，延長到點G，使，連接，，，，，垂直平分，，D是的中點，，在和中，，，，，，，，是直角三角形，，，，，在中，，，，設，則，，，，解得，．27．（2024·河南·三模）問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：

如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和疊放在一起，其中，，，頂點D與邊的中點重合，經過點C，交于點G．求重疊部分（）的面積．(1)小明經過獨立思考，寫出如下步驟，請你幫助小明補全依據及步驟：解：∵，D是的中點，∴．∴．

（依據：______________________）又∵，∴．∴．∴_____________________．∴．∴．又∵，∴G是的中點，∴為中位線．∴，．∴．(2)“希望”學習小組受此問題的啟發，將繞點D旋轉，使交于點H，交于點G，如圖2，請解決下列兩個問題：①求證：；②求出重疊部分（）的面積．(3)“智慧”小組也不甘落后，提出的問題是：如圖3，將繞點D旋轉，，分別交于點M，N，當是以為腰的等腰三角形時，請你直接寫出此時重疊部分（）的面積是________．【答案】(1)等邊對等角，(2)①證明見解析；②(3)或【詳解】（1）解：∵，D是的中點，∴．∴．（依據：等邊對等角）又∵，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴G是的中點，∴為中位線．∴，．∴．故答案為：等邊對等角，；（2）①證明：∵，，∴，又，∴；②如圖，

∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∵，，∴．∴．∴．∴點為的中點．在中，．∵是中點，．在與中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴；（3）解：當時，過D作于H，

則，∵，，∴．∴．∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得，∴；當時，過D作于H，則，同理：，∴，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得，∴；當時，過D作于H，過M作于G，

則，又，∴，∴，即，∴，設，則，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，綜上，的面積是為或．故答案為：或．28．（2024·河南安陽·二模）如圖，在和中，