第第頁平面向量及其應用綜合檢測選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2025高一下·上海·課后作業）設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量2．（2025高一下·全國·課后作業）在中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025高一下·貴州·階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則邊長等于（

）A． B． C．2 D．4．（2025高一下·安徽合肥·階段練習）已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為（

）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2025高三上·山東泰安·階段練習）公路北側有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂的仰角為，他在公路上自西向東行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．6．（2025高二下·四川·階段練習）的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．7．（2025高一下·全國·課后作業）若向量，，均為單位向量，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．8．（24-25高三上·北京順義·期末）如圖，△，△是全等的等腰直角三角形，為直角頂點，三點共線.若點分別是邊上的動點（不包含端點）.記，，則（）A． B． C． D．大小不能確多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2025高一·全國·單元測試）設的內角、、所對邊的長分別為、、，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知向量，，，下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則在上的投影向量為D．若，，則在上的投影向量為11．（2025高一·江蘇·課后作業）已知對任意角均有公式.設的內角滿足，面積滿足.記分別為所對的邊，則下列等式或不等式一定成立的是（）A． B．C． D．填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2025高一下·安徽·階段練習）已知甲船位于小島的南偏西的處，乙船位于小島處，千米，甲船沿的方向以每小時6千米的速度行駛，同時乙船以每小時8千米的速度沿正東方向勻速行駛，當甲、乙兩船相距最近時，他們行駛的時間為小時．13．（2025高一·全國·課后作業）已知三角形為等腰直角三角形，且，有下列命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號為.14．（2025高一·全國·課后作業）在直角三角形中，，，．設與交點為，則的值為.解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2025高三上·河南·階段練習）已知平面向量，.（1）若與垂直.求；（2）若向量，若與共線，求.16．（2025高一·全國·課后作業）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面積．17．（2024·山東·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范圍.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．19．（2025高一下·江蘇揚州·階段練習）已知中，過重心G的直線交邊（不含端點）于P，交邊（不含端點）于Q，設的面積為，的面積為，，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.平面向量及其應用綜合檢測參考答案一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．【答案】B【分析】根據正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B2．【答案】C【分析】根據給定條件，利用正弦定理列式求解即得.【詳解】依題意，，即，由，得，所以的取值范圍是.3．【答案】B【分析】直接根據正弦定理求解即可.【詳解】解：中，∵，，，∴由正弦定理得：.故選：B4．【答案】A【分析】先求出向量與向量的數量積，再代入投影公式中，即可得答案.【詳解】由題意，，所以向量在向量方向上的投影為.故選：A.5．【答案】A【分析】畫出相應圖形后計算出點到該樓的距離，結合勾股定理與正弦定義計算即可得.【詳解】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.6．【答案】A【分析】由正弦定理得，進而結合余弦定理得，再根據基本不等式得，最后根據三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以.故選：A7．【答案】A【分析】對進行平方，根據題意可得，當最小時，取得最小值.【詳解】因為，所以∴則當與反向時最小，最小，此時=，所以=，所以的最小值為，故選：A.8．【答案】B【分析】構建直角坐標系，根據題意設，，，，，，再應用向量數量積的坐標運算求m、n，即可比較大小.【詳解】構建如下圖示的直角坐標系，令，，，，所以，可設，，且，，則，，所以.故選：B.二．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．【答案】AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：對于A選項，，可以得出，∴，故A正確；對于B選項，因為，所以，當且僅當時取等號，因為，所以，故B錯誤；對于C選項，假設，則，，則，所以與矛盾，∴，故C正確，對于D選項，取，滿足，此時，故D錯誤；故選：AC.10．【答案】AC【分析】根據向量平行的坐標表示可判斷AB；由向量垂直的坐標表示結合已知求出向量，可得向量，然后根據投影向量公式可得投影向量，可判斷CD.【詳解】由向量平行的坐標表示可知，若，則，A正確，B錯誤；若，且，則，解得，則，，則在上的投影向量為，C正確，D錯誤．故選：AC11．【答案】ACD【分析】根據三角函數誘導公式、題設中的公式、兩角和與差的余弦公式、正弦定理和三角形的面積公式，利用不等式的性質進行證明逐一即可得到結論.【詳解】因為的內角滿足，所以，所以，所以，所以，從而得：，故，所以有，故A正確；設外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以，所以，故B錯誤；又，故C正確；因為，故，，故D正確.三填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．【答案】【分析】根據方位角的定義，可知=，設出時間為t，則可表示出，，根據余弦定理可求出兩船之間的距離表達式，進而可求出距離最小值及對應的時間t．【詳解】如圖，

當甲、乙兩船相距最近時，他們行駛的時間為小時，此時甲船位于處，乙船位于處，則，，由余弦定理可得：=，故當時取最小值，故答案為．13．【答案】①②③④【分析】以、為鄰邊作平行四邊形，利用平面向量加法與減法法則進行判斷即可.【詳解】以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示，由題意知其為正方形．①，，，所以，①正確；②，，，所以，②正確；③，，，所以，③正確；④，，所以，④正確.因此，正確命題的序號為①②③④.故答案為：①②③④.【點睛】本題考查平面向量有關模的等式的判斷，解題時應充分利用平面向量的加法和減法法則將和向量與差向量表示出來，并利用圖形中線段長的等量關系來進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.14．【答案】【分析】由條件可得，．設，根據，求得①．由，求得②．由①②求得、的值，可得．再利用兩個向量數量積的運算法則求得的值．【詳解】解：直角三角形中，，，，與交點為，，．設，則，．再根據，可得，求得①．同理，由，求得②．由①②求得，，，，故答案為：．四解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為，.所以，.因為與垂直，所以，整理得，解得或(舍去).（2）因為，，，所以，.因為與共線，故，所以解得所以，，所以.【點睛】方法點睛：兩向量，的位置關系求參數的常見方法：（1）由，得；（2）由，得.16．（2025高一·全國·課后作業）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)4．【分析】（1）由題意利用兩角和的余弦公式、誘導公式，求得的值，可得C的值．（2）由題意利用余弦定理求得ab的值，可得△ABC的面積為的值．【詳解】（1）∵△ABC中內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，所以,即，即，∴(舍去），或，∴C．（2）若c＝4，a2+b2＝2c2，所以a2+b2＝32，由余弦定理可得，∴ab＝16，∴△ABC的面積為．17．（2024·山東·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函數恒等變換化簡已知等式可得，結合，可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值．（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，結合范圍，利用二次函數的性質可求的范圍．【詳解】（1）因為cosC+cosAcosB=sinAcosB，所以-cos(A+B)+cosAcosB=sinAcosB，即sinAsinB=sinAcosB，因為sinA≠0，所以sinB=cosB>0，又因為sin2B+cos2B=1，解得cosB=.（2）由a+c=2，可得c=2-a，由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+，因為0<a<2，所以≤b<2，所以b的取值范圍為.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再應用三角形面積公式求面積即可.（2）由題設有，根據已知及余弦定理有，再由正弦邊角關系及和差角正弦公式可得，即可得，進而求最值.【詳解】（1）由，故，而，所以，故.（2）由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，則或（舍），所以，則，即，，而，所以，當時有最大值為.【點睛】關鍵點點睛：第二問，注意綜合應用正余弦定理得到，再根據三角形內角的性質、三角恒等變換得到的關系及角的范圍，進而求最值.19．（2025高一下·江蘇揚州·階段練習）已知中，過重心G的直線交邊（不含端點）于P，交邊（不含端點）于Q，設的面積為，的面積為，，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）設，可得，，利用三點共線可得