動態問題

一.選擇題

1.（2015?山東濟南?網評培訓）如圖，已知點/I是第一象限內橫坐標為

的一個定點，x軸于點M交直線y=-工于點N.若點尸是線段上

的一個動點，/加佚30°,BALPA,則點夕在線段〃V,上運動時，/點不變，°x

/，點隨之運動，求當點U從點。運動到點N時，點4運動的路徑長是

A.-nB.V2C.2D.272

4

答案：D

2.（2015?山東濟南?一模）如圖，在正方形44co中，A8=3cm,動點M自A點出發沿43方

向以每秒\cm的速度運動，同時動點N自A點出發沿折線AD-DC-CB以每秒3cm的

速度運動，到達8點時運動同時停止.設AAMN的面積為），（。/）.運動時間為了（秒），

則下列圖象中能大致反映y與x之間函數關系的是（）

3.（2015.河北博野中考模擬）如圖，在△A8C中，已知NC=90。，AC=8C=4,。是AB的

中點，點E、〃分別在AC、邊上運動（點E不與點人、。重合），且保持AE=CF,連接

DE、DF、EF.在此運動變化的過程中,有下列結論：

①四邊形CED尸有可能成為正方形②△。正是等腰直角三角形

③四邊形CEDF的面積是定值④點C到線段的最大距離為近

其中正確的結論是[]

A.①④B.②③C.①②④D.①②??

（第16題圖）

答案：D

4.（2015-山東省棗莊市齊村中學二模）如圖，點A的坐標為（-1,0）,點〃在直線y

=2*—4上運動，當線段月“最短時，點少的坐標是()

A.,--)B.(-,-)C.,-)D.(-,--)

55555555

答案：I）

5.（2015?山東滕州羊莊中學?4月模擬）如圖1,。。的半徑為1,點。到直線機的距離為

2,點P是直線機上的一個動點，P8切。。于點8,則P8的最小值

是

A.1B.V3C.2D.A/5

答案:B；

6.（2015?山東濰坊廣文中學、文華國際學校?一模）如圖2,4ABC

中，NC=90°，必是

力8的中點，動點尸從點火出發，沿〃?方向勻速運動到終點C,動點。

從點C出發，沿CPA

圖2

您方向勻速運動到終點8已知R。兩點同時出發，并同時到達終點，連接,伊，也。，

PQ.在整個運動過程中，△物鋁的面積大小變化情況是

A.一直增大B.一直減小

C.先增大后減小I）.先減小后增大

答案：D；

二.填空題

1.（2015?江蘇江陰要塞片?一模）在平面直角坐標系中，已知點A（4,。）、8（-6,0）,

點C是），軸上的一個動點，當NBC4=45。時，點C的坐標為▲.

答案：（0,12）或（0,-12）

2.（2015?山東濰坊廣文中學、文華國際學校?一模）如圖3,點力的坐標為（-1,0）,點

〃在直線y=2x-4上運動，當線段力4最短時，點〃的坐標是.

答案：（工,一9）；

55

3.（2015?山東青島?一模）已知點力是雙曲線），=3在第一象限上的一

x

動點，連接力。并延長交另一分支于點反以力笈為一邊作等邊三角形

圖3

力比；點。在第四象限，隨著點力的運動，點「的位置也不斷的變化,但始終在?函數圖

象上運動，則這個函數的解析式為

9

y--

答案：X

4.（2015?無錫市南長區?一模）等邊三角形A比中,[@6,I）、〃是邊比上兩片且除保1,

點〃是線段班1上的一個動點，過點P分別作力。、/伊的平行線交力反力。于點M、A；連接

MV、AP交于點G,則點P由點D移動到點E的過程中，線段BG掃過的區域面積為

答案:

第1題圖

5.（2015?無錫市宜興市江東中學?一模）如圖，拋物線尸I-*與x軸交于久力兩點半

徑為1的動圓。月圓心從。點出發沿拋物線向靠近點A的方向移動；半徑為2的動圓

O。，圓心從1點出發沿拋物線向靠近點。的方向移動.兩圓同時出發，且移動速度相

等，當運動到巴。兩點重合時同時停止運動.設點2的橫坐標為若。尸與。。相

離，則才的取值范圍是.

答案后

三.解答題

1.（2015?吉林長春?二模）

（12分）如圖,在ZUSC中,NO90*.404,K>3

價位長用的速度沿折處AC-CB運動.到巨g停止.

?行P不與AOC的演..

合時,過盧〃什氏所在〃角邊的垂線交AB干點0：

以M為斜邊柞等重立角三

角形△P0R旦點、RH&ABC的另表門角4木終以

0-ha4PQR與44SC

幣合部分圖形的面枳為S（平方電位）,點P的送動三

（I）求點0在/C邊上時尸0的長.（用*r的代］

（2>求點K到/C.4?所在耳線的距離相等打,的j

（3）當點/在/C邊上運動時.求Slj，之同:

r）直接寫出點穴落在zXy45c高色上時，的柒

答案：（1）如圖①，由題意可知4月4￡,

PQ_BC_3

tanA=

AP-7C-4

:.Pgt.（2分）

（2）當點尸在力。邊上時，如圖①.

???點"在/四的平分線上,

???點燈到直線AC.做距離相等，

此時0</vl.

當點尸在8c邊上時，過點"作向/J_〃0于點”,

,“J“、1°

4/—4=—（7—4/）,t――.

綜上，0<f<l,f=2.（5分）

AQB

圖③

Q

(3)當0</W]j■時，如圖①.

c1c3/,。92

S=-x3/x—,..S=—t.

224

Q

當時，如圖③

S=(-t)2--Z-(4-4z),AS=-28r2+44/-16.(9分)

22

32

(4)

53

提示:

QHB

圖⑦

2.（2015?湖南永州?三模）（10分）已知矩形4ACO的一條邊40=8,將矩形A8CO折

疊，使得頂點6落在C。邊上的P點處.

（1）如圖1,已知折痕與邊8c交于點O,連結AP、OP、OA.

①求證：XOCPs△PDA.、

②若△OCP與△PD4的面枳比為1：4,求邊A8的長；

（2）若圖I中的點P恰好是CO邊的中點，求NOAB的度數；

（3）如圖2,在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段0P,連結BP.動點M在線段/1P上

（點M與點P、A不重合），動點N在線段4B的延長線上，且BN=PM,連結MN交P8于

點F,作于點E.試問當點M、N在移動過程中，線段E/7的長度是否發生變化？

若變化，說明理由；若不變，求出線段Er的長度.

（第25整圖）

答案:

（10分）解：（1）（1分）如圖1,①（2分）???四邊形ABC。是矩形，???AQ=BC,DC=AB,

ZDAB=ZB=ZC=ZD=9（J°.由折疊可得：AP=AB,PO=BO,

ZPAO=ZBAO.NAPO=4B.：.ZAPO=90°./.ZAPD=90°-ZCPO=ZPOC（1

分）.VZD=ZC,ZAPD=ZPOC.:AOCPs^PDA。分）.

②（2分）???△OCP與△PDA的面積比為1：￡：?%=喻=誄=舊”?：?PD=2℃,

PA=2OP,DA=2CP.VA￡>=8,/.CP=4,BC=8（I分）.設。尸二x,則OB=x,CO=8-J.

在心△PC。中，VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8?x,/.?=（8-x）2+42.解得：

m5.：,AB=AP=2OP=\（）（1，邊AB的長為10.

（2）（2分）如圖1,VP是CO邊的中點，：,DP=jDC.YDC二AB,AB=AP,：.DP=lAP.

VZD=90°,：.sinZDAP=-^=^（I分）.AZD4P=30°.；NO八B=90。，N%O=NB/IO,

ZDAP=30°,AZOAB=3（）Q,，NOAB的度數為30。（I分）.

（3）（4分）作MQ〃AN,交PB于點Q,如圖2,VAP=AB,MQ//AN,/.ZAPB=ZABP,

NABP=NMQP,:?NAPB=NMQP,:.MP=MQ.*：MP=MQ,MEA.PQ,：.PE=EQ=jPQ

（1分）.,;BN=PM,MP=MQ,：.BN=QM.\'MQ//ANf:?NQMF=/BNF.

在△MFQ和中，Z乎='BNF,...博^。冬ANFB（1分），：.QF=BF,：.QF=WQB,

<Z,QFM=4BFN-

0M=BN

：.EF=EQ+QF={PQ+106=jPfi（1^）.由（1）中的結論可得：PC=4,BC=8,ZC=90°,

：.PB=加+42=4氐：.EF=jPB=2y/5（1分）.

???在（1）的條件下，當點以N在移動過程中，線段）的長度不變，長度為

DP

3.（2015?湖南岳陽?調研）在a△ABC中，ZB4C=90°,BC=10,tanZABC=-,

4

點。是邊AB上動點，以。為圓心，OB為半徑的eO與邊8c的另一交點為。，過點。作

A8的垂線，交eO于點E,聯結BE、AE；

（1）當AE〃8C（如圖1）時，求e。的半徑長；

（2）設80=x,AE=y,求y關于x的函數關系式，并寫出定義域：

（3）若以A為圓心的eA與eO有公共點。、E,當eA恰好也過點C時，求DE的

長；…

空）;

(3)12；

4

4.（2015?江蘇常州?一模）（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系才如中，函數y

=ax2+bx+1（aWO）的圖像與X的正半軸交于點A,與/的負半軸交于點B,與y軸

交于點C.△為。中，P（l,-1）,NP=90°,PA=PC.

（1）求點力的坐標.

（2）將△為C沿〃'翻折，若點尸的勸應點。恰好落在函數尸a/+"+i（&X0）的圖

像上，求a與。的值.

（3）將繞點A逆時針旋轉90°得到△/“￡在彳軸上取一點M,將//次9沿翻折，

若點〃的對應點尸恰好落在x軸上，求點M的坐標.

解：⑴點力的坐標為13,0)--------------------------------------------

(2)Q(2,2)

3，

5,13

a=--，b=--------------------------------------

66

(3)解:D(2,-3)-

5，

設點“(勿,0),

由如=加得，尸［一1,0)或尸(3,0)

7,

當點￡(-1,0)時，由物=航得，

(m-2)2+32=(m+l)2,解得加=2

8，

當點/(3,0)時，由制9=即得，

("7-2)2+32=(=2—3)2,解得加=一2--------------------------------

9，

因此點前的坐標為(2,0)或(-2,0).

10

5.(2015?江蘇江陰夏港中學?期中)如圖，矩形力/O的邊力作3。/〃，力止4。加，點少從點力

出發，沿射線力〃移動，以應為直徑作圓。，點尸為圓。與射線物的公共點，連接牙；CF,

過點、E作EG1EF,比與圓。相交于點G,連接出

(1)試說明四邊形￡尸位是矩形;

(2)當圓。與射線8〃相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中,

①矩形價戊;的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值：若

不存在，說明理由；

②求點6移動路線的長.

答案：(1)?.?CE是。。的直徑，點尸、G在。0上，.,.ZEFC=ZEGC=90°,

又,：EGLEF,:"FE8C,，四邊形EFCG是矩

形.......................................................2分

(2)①???四邊形是能形，???/比力=9()°,???tan/B〃廿空=四=±.

CDAB3

'：4CEF二NBDC，，tanZCEP-tanZBDC，即

,SmG=EF.CF=^CF\

???當點廠與點月重合時，CF=BK

當。。與射線而相切時，點尸與點〃重合，

此時C4C2

當"劭時，s=些衛=%

矩形EFCGBD5

-*?—<CF<4-....................................................................5分

5

12

當CF=cm時

T

S矩形呼?“?取得最小噬cm%???........................6分

當CF=\cm時

S矩形EFCG取得最大值12cm°................................................

................7分

②如答圖4,連接加,并延長如交疣得延長線與點.

???/加RN*90°,又???/〃?；'=90°,???點6得移動路線為線段ZT,.........................8

分

VCD=^cm,

:.CG==CD=）、：.DC=7CD2+CD2=—（cm）......................................................10分

444

7.（2015?合肥市蜀山區調研試卷）四邊形ABCD為菱形,點〃為對角線M上的一個動點

（1）如圖1，連接加^并延長交融7的延長線于點區連接PC,求證：4AE2/PCD

（2）如圖1,當必=勿且/跖時，求N/I回的度數.

（3）連接心并延長交時修員:于點￡,連接PC,若NN妗90°且4R為是等腰三角形，求

NQ%的度數.

圖1備用圖

答案：.

(1)證明：???四邊形/1及笫是菱形,

JZ煙二4PDC,A^CDAD//BC

又.：P2PD

:.APA陌APCD(弘$,

：?/PAD=4PCD,

又:?AD"BC,

J/AEB=NPA人PCD............................4分

(2)YP忙PD:?/PAD=/PDA

設N為廬/物二x,聃/BPOCPDO/PC距/PDZ/PAD=2x

'：PCLBE：.2/x=9。。

:.-30°??,/45俏2?600..............................8分

或延長。7交力〃于M'：AD//BC,PCISC,/.CMYAD,

，：P歸PD：.APA慮APDM(HD,

:?A宙DM,:.CM垂直平分AD,連接AC,則AC=CD=BC=AB

???zM比是等邊三角形

???//淤60°..........................8分

(3)①當點￡在8。的延長線上時，如圖，4旌是等腰三角形，則

CP:CE,

???4BC44CP計4CE"24CEP

???四邊形防⑦是菱形，/力於90°,

二菱形力比刀是正方形，工/PBA二NPBC=45°,

又怖BC,BP=BP,

:.AABP坦4CBP,???/BASBCg/CEP,

,:NBAP卜NPEC=90。,2NPEC+/PEC=92

；.NPEC=30°.................................11分

②當點￡在歐上時，如圖，4A先是等腰三角形，則①二圓

:.4BEP=/CPE+NPC4'2/ECP

:四邊形力比力是菱形，/力於90°，，菱形力應力是正方形,

???/陶二/陽045°,又AB-BC,BP=BP,

:.4ABP^4CBP,NBAP=/BCP

?：/BA代NAEB=9Q0,2/40/8"=90°

???/比?二30°.???/力陟60°.

???N比6M80°-N飾4200...........................14分

R.（2015?廣東廣州?一模）如圖11,已知：拋物線），=。，+/?工+2（〃W0）交*軸于,4（-

1,0）,8（4,0）兩點，交y軸于點C,與過點C且平行于彳軸的直線交于另一點〃，點〃

是拋物線上一動點.

（1）求拋物線解析式及點。坐標

（2）若點E在x軸上，且以A,E,D,P為頂點的四邊形是平行四邊形，

求點P的坐標；

（3）若點P在），軸右側，過點P作直線CD的垂線.垂足為Q,若將△CPQ

沿CP翻折，點Q的對應點為Q'.

是否存在點P，使。恰好落在工軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存

在，說明理由.

解：(1)???拋物線產。/+以+2經過人(-1,0),B(4,0)兩點，

=_1

a-b+2=0“口a--5八

/.C八，解得：c。-------------------------1分

16a+4b+2=0,3

b=-

2

???拋物線解析式為y=-gx2+|x+2。....................2分

1,3

當y=2時，—x"+-x+2=2,解得：鶯=3,處=0（舍去）。

22

???點D坐標為（3,2）-------------------------------------------------3分

（2）A,E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：

①當AE為一邊時，AE〃PD,，P|（0,2）o------------------------4分

②當AE為對角線時，我們知道平行四邊形相對的兩個頂點到另一條對角線距離相等,

可知P點，D點到直線AE（即x軸）的距離相等，???P點的縱坐標為-2。

代入拋物線的解析式：」x?+2x+2=-2,

22

（.,1組3+5/4?3-WT

解得：x.=---------,Xi=-----------o

2-2

???P點的坐標為(＞叵，?2),/一屈,-2)o

22

綜上所述：P,(0,2)；P2(,-2)；H(§-日,-2)o..................................6

22

分

???NFQ'P=/OCQ',二ACOQ^AQTP,------------7分

123

.Q'JQP即a_/-ya

解得FQ'=a-3

COFQ'2FQ,

???OQ'=OF?FQ'=a?(a-3)=3,

CQ二CQ=JCC）2+OQ，2=632+2?二岳。

此時吟B點P的坐標為（疝土誓）。------------------------------8分

補充：（可以和學生講講，由于想降低難度,所以就出了一種情況）

1c

當P點在y軸左側時（如圖2）此時aVO,,--a-

PQ=2—-ci**+—a+-2j=_a2占。

〔22)22

又???NCQ'O+NFQ'P=90。，NCQ'O+NOCQ'=90。,

AZFQT=ZOCQ,,/COQ'=NQ'FP=90。。

/.△COQ^AQTPo

!2_1

.Q'JQPan-a_2a-5a

??--------------,----------------------,

COFQ，2FQ'

解得FQ'=3-a09

???0Q'=3,CQ=CQf=V32+22=Vl3。

此時a二?Ji?,點P的坐標為（-歷9-3小）。

2

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（V13,-9+3?。?（-713,土土叵）。--------9

22

分

9.（2015?廣東潮州?期中）在△/1阿中，N4=90°,力行8,力仁6,必是/以上的動點（不

與44重合），過“點作助V〃加交力。于點A：以MV為直徑作。。，并在。。內作內接矩形

AMPN.設加/=x.

解：（1）,:MN〃BC,:,乙AMW/B,NAWUNC:.叢AMNs/\ABC........1分

端墨哈竽，小

（0<x<8）3分

（2）隨點M的運動，當〃點落在直線/K上時，連結尺則。點為月夕的中點.

VMN//BC,/./AMW/B,ZAO.lf=AAPB.ZUM9s△ABP.

絲=絲」.用仁珈=4.

ABAP2

故以下分兩種情況討論:

2

①0VXW4時，），=5八.=m2.

O

?.?當x=4時，y=|x42=6.

max5分

O

②當4cx<8時.，設網，/W分別交比于此F.A

四邊形用昭V是矩形，JPN//AM,PN=AM=X.

1,：MNIIB3???四邊形.儂W是平行四邊形.

/.FN=網=8—x./.PF=x-(8-x)=2x-8.

又叢PEFs△4.??,,,5”所=4).

337g

y=5AA/Np-5APEF=-^2--(x-4)=--X2+12X-24..........7分

oZo

'?'X=彳滿足4V刀V8,丫用=8.

綜上所述，當工=不時，y值最大，最大值是8.

10.（2015?山東滕州東沙河中學?二模）如圖4,在0/1密9中，力廬12cm"慶6cm,//分60°,

點〃從點力出發，以2cm/s的速度沿?方一。運動，點0從點/出發，以ac勿/$的速度

沿力一片。運動，點R。從月點同時出發，當其中一點到達點「時，另一點也停止運動，

設運動的時間為ts.

（1）求證：BDVADx

（2）若疔1,以點尸為圓心，如為半徑畫。尺以點。為圓心，刃為半徑畫。。，當。尸

和。。相切時，求t的所有可能值；

（3）若在點只0運動的過程中總存在t,隈PQ//BD,試求a的值或范圍.

答案：解：（1）略.（2）9—3百373-39.（3）1W水2.

11.（2015?祁江區?初三適應性訓練）如圖，對稱軸為直線產一1的拋物線y=/+-

+。與*軸相交于爾〃兩點，與y軸的交于。點，其中月點的坐標為（-3,0）.

（1）求拋物線的表達式；\x

（2）若將此拋物線向右平移0個單位，力、B、C三點在坐標軸上的位置也相應3

的發生移動，在移動過程中，△脈能否成為等腰直角三角形？若能，求出m-4--

的值，若不能，請說明理由.\\

解：⑴y=x2+2x-3；

（2）平移后8（研1,0）,r（0,/-2次3）

①/-2b3=-（研1）,解得〃尸2,〃尸1舍去；第1題

②而一2曠3=/1,解得獷4,獷1舍去：

12.（2015-山東省東營區實驗學校一模）如圖，在四邊形力砥9中，對角線力C、M相交于

點、E,且力C_L8〃，ZADB=4CAA/ABD,/BAD=3/CBD.

（1）求證：/XABC為等腰三角形；

（2）M是線段8。上一點，BM：AB=3：4,點尸在84的延長線上，連接/M,N8FW的

平分線FN交8。于點M交AD于點G,點H為BF中點,連接M4,當GN=G。時，探究

線段CO、QW、之間的數量關系，并證明你的結論.

解答：（1）證明：如圖1,作NBAP=NDAE=。,AP交BD于P,

設NC8O=a,ZCAD=0,

,/ZADB=ZCAD+ZABD,ZAPE=ZBAP+ZABD,

/.ZAPE=ZADE,AP=AD.

*：AC.LBD

：.ZB\E=ZDAE=fi,

：?4PAD=2/i,ZBAD=3fJ.

ZBAD=3ZCBD.

：.3B=3a,P=a.

\*AC±BD,

JZACB=900-NCBE=90。-a=90°-p.

'：NA8C=1800-N84C-ZACT=90°-p,

：,ZACB=NABC,

/.△/AfiC為等腰三角形;

(2)2MH=FM+CD.

證明：如圖2,

由(1)知AP=AO,AB=AC,/BAP:/CAD邛,

ZABE=ZACD.

'JACLBD,

???/GDN=90。-B，

?:GN=GD,

/.ZGND=ZGDN=90°-￡,

???NNGQ=1800-ZGND-ZGDN=2/i.

NAGF=NNGD=2p.

：.NAFG=NBAD-ZAGF=3/i-2外=￡.

■:FNN分乙BFM,

/.ZNFM=ZAFG=fi,

：.FM//AE,

/.NFMN=90。.

OH為8尸的中點,

/.BF-2MH.

在尸B上截取A7?=FM,連接RM,

/.NFRM=/FMR=90。-4.

,/ZABC=90°-p,

JNFRM二NABC,

:,RM〃BC,

???NCBD=/RMB.

\*/CAD=/CBD=p,

:.NRMB=/CAD.

?:NRBM=/ACD,

:./XRMBSXDAC,

?jg二網二蚓二』

"CD=AC^AB^

:?BR=CD.

?:BR=BF?FR,

:.FB?FM=BR=CD,

FB=FM+CD.

：?2MH=FM+CD.

B

圖2c

13.（2015?廣東中山?4月調研）如圖，在RdABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD1AB

于點。.點尸從點。出發，沿線段OC向點C運動，點。從點C出發，沿線段C4向點

A運動，兩點同時出發,速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到。時，兩點都停止.設

運動時間為I秒.

（I）求線段C7）的長；

（2）設△CPQ的面積為S,求S與/之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某

一時刻f,使得

S^CPQ：S/MBL%100?若存在，求出t

的值；若不存在，則說明理由.

（3）是否存在某一時刻t,使得△CPQ為等

腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的/

的值；若不存在，則說明理由.

備用圖

解：（1）如圖1,

VZACfi=90°,AC=8,8c=6

???A8=10.

-：CD±A13,

:?S八*BC?AC=AB?CD,

...砥BOAC&冬4.8.

AB10

，線段C。的長為4.8....................2分

(2)①過點P作P〃_L4C,垂足為“，如圖2所示.

由題可知OP=7,CQ=t.

貝ijCP=4.8-i.

,?ZACB=ZCDB=9()%

Z/7CP=9O0-/DCB=NB.

???PHA.AC,

：,^CHP=9Q°.

:?/CHP=/ACB.

:.△CHPs^BCA.

?PHPC

**AC^AB'

.PH4.8-t

??.

8-10

：.PH=^-t.

25

：.ShkC8PH=t(型-t)=-1+%...............3分

2525

②存在某一時刻r,使得*CPQ：SAABC=9：100.

SA^BC=X6X8=24,

且S/iCPQ：SMBH%100,

.??(-p+強)：24=9：100.

25

整理得：5r-24/+27=0.

BP(5/-9)(z-3)=0.

解得：4或/=3.

V0</<4.8,

，當Q秒或片3秒時，S&由丁*9：100................6分

（3）存在

①若CQ=CP,如圖1,

則片4.8-t.

解得：1=2.4........7分

②若〃妨尸。，如圖2所示.

?:PQ=PC,PHLQC,

/.QH=CH=QC=.

V△CHPs^BCA.

.CHCP

??前海

jt

,~24.8-t

??——-------?

610

解得；片_1絲.........8分

55

③若QC=QP,

過點。作QE_LCP,垂足為E,如圖3所示.

同理可得：片幽

11

綜上所述：當［為2.4秒或崇秒或普少時，ZXC圖為等腰三角形.9分

14.（2015?廣東從化?一模）（本小題滿分14分）

如圖11,在平面直角坐標系中，△力比’是直角三角形，N“廬90：月俏式；。1=1,膝4,拋

物線），=/+云+（?經過44兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點月是直角△/1%斜邊力8上一動點（點爾月除外），過點石作才軸的垂線交物物

線于點凡當線段用的長度最大時，求點昆尸的坐標：

（3）在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點月使△源是以用為直角邊的直角

三角形？若存在，求出所有點尸的坐標：若不存在，說明理由.

答案：解：(1)由已知得：A(-1,0)B(4,5)

???拋物線)，=Y+"+c的圖像經過點力(-1,0)￡(4,5)

\-h+c=O

..............................2分

16+4〃+c=5

解得：/>=—2c--3

???拋物線的解析式為：y=x2-2x-3..............................3分

(2)???直線仍經過點力：一1,0)4(4,5)

???求得直線月8的解析式為：)，=工+1..............4分

???拋物線)，=/-21-3

???設點則尸(入產一2f—3)......................5分

325

/.EF=(t+i)-(t2-2t-3)=-(t--)2+—

325

???當，二二時，跖的最大值=，..................6分

24

35

???點￡的坐標為(一，一)..................7分

22

315

點產的坐標('，--)..................8分

24

(3)存在..................9分

①當/分尸=90”時

過點/〃乍aJU亦交拋物線于點P,

設點P{mtnr-2/w-3)10分

則有：nr-2m-3=—

2

解得：〃『紀普，嗎=呼

..2-7265.,2+而5、

??四（一—，耳），〃2（---；）.......12分

②當N月昨90“時

過點〃作交拋物線于P、,

設月（〃，〃2一2〃-3）

則有：n2-2n-3=-—

4

解得：=—,=—(與尸點重合，舍去)13分

12~2

/.P.(-,--)

24

則點〃的坐標為：“J―母2）,2+V265p（（1,一絲）.…14分

222224

15.（2015?山東棗莊?二模）如圖，拋物線），=0?+必一2與x軸交于43兩點,與），

軸交于點。，已知力（-1,0）,且tanN/18C=L作垂直于x軸的直線x=〃z,與拋物線

2

交于點凡與線段回交于點￡

（1）求拋物線的解析式和直線比的解析式；

（2）若△呼為等腰三角形，求勿的值；

（3）點P為y軸左側拋物線上的一點，過點〃作PM18c交直線BC于點、機連接PB,

若NBPM=NABC,求〃點的坐標.

答案：（1）由題意得：C（0,-2）

2\_

ian/A8C*=-----BO=4,44,0)

BO~BO2

1

a-b-2=0?=-13

將A(-l,0),B(4,0)代入-x22分

1667+4/2-2=0'「322

b=~2

設直線8C：y=A+〃，將3(4,0),C(0,-4)代入F=5=>y=-x-23分

n=-22

i3

(2)C(0?-2),E(m,-m-2),F(m,—m2——m-2)(0<m<4)

222f

CE2=nr+(—niy=—tn2,CF~=nr+(—m2-—m)2=—--m'+-nr,EF1=(—nr-2m)2=—mA-2"/+4w2

242242424

(i)若以C為頂點,則。爐=。尸

5-11313.

—m--m4——mH--w=>in.=2,叱=4（舍）

44241

(ii)若以E為頂點，則EC'E尸

—ni2=—z/z"-2nr+4rn'n/%=4-6=4+石(舍)

44

(iii)若以F為頂點，則尸C'尸尸

療=J+4〃p=,2

1^_2W3+13

424452

3

綜上：〃？=2或〃？=4一行或/〃=—8分

2

(3)如圖：APHMs^MRB

MR~BR~MB

XVAB//HRANABC=NBMR

/.tan/BMR=tan/ABC=-=-

MR2

令BK=a,MK=2a

又???NABC=/BMR

???tan4BMR=tan^ABC=-=-

MR2

.PHHM\

APH=4a,HM=2a,PQ=3a

?.HR=4%...尸（4-4Q3a）10分

1、3

又???點P在拋物線上，將尸（4-403。）代入y=：/一：工一2

1（4一442--（4-4t/）-2=3?

22

。（8?！?3）=0

13

67.=0（舍），=—

-8

539

AP（--,—）12分

28

16.（2015山東?棗莊一摸）在△力比'中，N力=90°,45=8,力。=6,J/是4?上的動點

（不與48重合），過."點作隊〃比'交4。于點、以MF為直徑作。0,并在。。內作內接

矩形陽見V.設

（1）用含X的代數式表示△而W的面積S；

（2）在動點」/的運動過程中，記△朗忸與梯形及和獷重合部分的面枳為y,試求），關于X的

函數表達式，并求x為何情時，y的值最大，最大值是多少？

:.△4MVs叢ABC.

絲二駕即“則..??華，

AB