第一講物體的運動

運動學是物理的重點內容，學習物理離不開對各種各樣的運動形式的研究。本講將重點介紹勻

速直線運動、相對運動和速度的分解等知識。

第一節勻速直線運動與圖像問題

一、勻速直線運動的特點

勻速直線運動是指物體沿著一條直線做速度的大小和方向都不改變的運動。勻速直線運動具有

以下特點：

(1)速度恒為定值，可用公式丫=二計算，也可表示為路程與時間成正比：s=vt.

t

(2)只要我們證明了某種直線運動，其路程與時間成正比，就可以得出該運動為勻速直線運動

的結論，且可以求得運動速度的大小。

例1如圖3.1所示，身高為〃的人由路燈正下方開始向右以速度%勻速走動，路燈高為〃，問:

(1)人頭部的影子做什么運動？速度是多少？

(2)人影子的長度增長速度是多少？

*

分析與解(1)人在路燈正下方時，人頭部的影子恰處于人腳底，在人逐漸遠離路燈的過程中，

人影子的長度也越來越大。經時間方,人前進的距離為%設此時人影子的長度為/,人頭部的影

子移動的距離為L,如圖3.2所示。根據相似三角形知識，可得二即工=型「/可見，

HH-hH-h

[HH

頭部影子運動的距離與時間成正比，做勻速直線運動，其速度v=—=——-Vo,因為，_〉1,

tH-h0H-h

可知V〉%,即頭部的影子運動速度大于人行走的速度。

（2）同樣結合相似三角形知識，可得,=,即/即人影子的長度/隨時間均

hH-hH-h

勻變長，其長度的增長速度即為單位時間內長度的變化量，M=a=，=_色」。

A?tH-h

二、勻速直線運動的圖像

（一）位置-時間圖像（ST圖像）

物體做勻速直線運動時，可以沿運動方向所在直線建立直線坐標系，從而利用s-7圖像描述出

物體的運動情況。

如圖3.3所示為甲、乙、丙三個物體在同一直線上的運動的位置一時間（s-。圖像，對它們的

運動分析如下：

甲物體：在f=0時刻，從縱坐標為s=-2m處向規定坐標系

的正方向運動，s—/圖像為傾斜的直線，即每經過相同的時間，運

動距離相等，甲做勻速直線運動，在f=0到f=ls的時間內，甲物

A.v

體從s=—2m的位置運動到s=2m的位置，故%=——=

2-(-2)

m/s

1-0

乙物體：乙物體的位置始終為s=2m,不隨時間而改變，因此乙物體靜止，其s—f圖像為平

行于時間軸的一條直線。

丙物體：在r=0時刻，從縱坐標為s=4m處向規定坐標系的負方向運動，s—/圖像為傾斜的

直線，即每經過相同的時間，運動距離相等，丙做勻速直線運動，在『=0到f=2s的時間內，甲物

Ac0—4

體從s=4m的位置運動到s=0的位置，故%5=——=--------m/s=-2m/s□

丙M2-0

甲、乙、丙三個物體在/=1s時同時出現在s=2m的位置，我們說它們此時相遇。

現對勻速直線運動的s—/圖像總結如下：

（1）勻速直線運動的s-/圖像是傾斜的直線，直線傾斜程度越大，表示運動速度越大。

（2）s-t圖像中兩條圖線的交點代表在該時刻兩物體相遇。

（3）靜止物體的s-/圖像是平行于時間軸的直線，表示物體位置不改變。

注意：一定不要誤以為s—r圖像就是物體運動的軌跡，s—/圖像只是用圖像的形式給出了物體

的位置與時間的函數關系。

利用s-t圖像解決問題有時很方便，請看下面的例題。

例2（上海第21屆大同杯初賽）駕駛員每天準時從單位開車出來，于7：00到達教授家接教

授去單位，7：20到達單位。某天，教授為了早點到單位，比平時提前離家步行去單位。走了一段

時間后遇到來接他的汽車，上車后汽車掉頭并于7：10到達單位。設教授和汽車速度不變，且速度

之比為1：9,教授上車及汽車掉頭時間不計，則當天教授高家時間為（）。

A.5：50B.6：10C.6：30D.6：50

分析與解設教授家到單位距離為由題可知汽車從單位出發的時間為6：40,到達教授家

時間為7：00,返回單位的時間為7：20o以6；40為時間起

點，取教授家為坐標原點，建立坐標系如圖3.4所示。則汽

車從單位到教授家往返的圖像如直線AC,C5所示。其中

汽車的速度可以表示為匕再設教授于時刻％出

20min

發，并于家與單位之間的C'處與前來接他的汽車相遇，隨

后坐車前往單位。則圖3.4中直線OC為教授步行的圖像，

直線為汽車載著教授返回單位的圖像，由于汽車速度

不變，因此CW'與CB平行。結合八45'。與△ABC相似及圖中幾何關系，可知相遇點C距離教

1

175°1

授家為Sc，=：So,且相遇的時間為6：55,因此教授步行的速度匕=苗，又匕=:匕，可得

A/=45min,因此教授出發的時間在相遇時間6：55之前45min時，即教授于6：10從家里出發。

本題正確選項為B。

例3（上海第27屆大同杯初賽）甲、乙兩人在長為50m的泳池內進行游泳訓練。甲的游泳

速度大小始終為L2m/s,乙的游泳速度大小始終為0.9m/s。兩人同時從泳池的同一端出發，共

游了25min,不考慮兩人在泳池內的轉向時間，甲從身后追上乙的次數為（）。

A.2次B.4次C.6次D.8次

分析與解由題可知，甲游完一個來回用時廂=詈=器，即甲每經過約苧返回到出

發點一次；乙游完一個來回用時壇=3=儂S,即乙每經過儂S返回到出發點一次。我們以

0.999

出發點為坐標原點，以甲、乙游泳的路線建立坐標系，設f=0時甲、乙開始向泳池另一端游去，據

幽s時同時回到出發

此可以畫出甲、乙運動的s—/圖像如圖3.5所示。由圖可知，甲、乙在/=

3

點,

圖3.5

在0----------S時間內，甲、乙出發后運動的S—/圖像共有7個交點，即甲、乙出發后共相遇7次,

3

其中，前6次均為迎面相遇，只有/=幽5時的第7次相遇是甲和乙同時回到出發點且甲從背后

3

追上乙。因此每經過UWs,甲就從背后追上乙一次。可知25min內共有4.5個W22s,因此，

33

甲從身后追上乙的次數為4次。本題正確選項為B。

（二）速度-時間圖像圖像）

勻速直線運動是速度的大小和方向都不改變的運動，V—/圖像是平行于時間軸的直線，/時間

內的位移可由公式s=計算，因此圖像與坐標軸所圍成的面積表示運動的距離，時間軸上方的面

積為沿規定的正方向運動的距離，時間軸下方的面積為沿規定的負方向運動的距離，運動路程等于

上、下面積的絕對值之和。

如圖3.6所示，在0~%時間內物體向正方向運動的距離為

為=v%；在4~與時間內物體靜止；在~4時間內物體向負

方向運動的距離為電=畛?3—/2）。在0~‘3時間內的總路程為

5=v1r1+v2（r3-r2）o利用速度一時間圖像，可以直觀地表示

物體的速度變化情況。

例4（上海第31屆大同杯初賽）公共汽車站每隔％時間開出一輛汽車，汽車始終沿直線運動,

汽車的速度-時間圖像如圖3.7所示，則汽車出站后，與前方相鄰汽車之間的距離（）。

A.先減小，后保持不變B.先增大，后保持不變

C.先減小，后增大，最后保持不變D.先增大，后減小，最后保持不變

分析與解對于同一直線上同向行駛的前后兩車而言，兩車間距離的變化與兩車速度大小有關:

若前車速度大于后車，則兩車距離逐漸增大；若兩車速度相同，則距離不變；若前車速度小于后車，

則兩車距離逐漸減小。現設7=0時甲車從車站開出，/=%時乙車從車站開出，在同一坐標系中畫

出甲、乙兩車的v—7圖像如圖3.8所示，可知在，時刻，兩車V—/圖像相交，即/'時刻兩車速度恰

好相同。現依據圖像對兩車距離變化分析如下：

在0~/時間內，甲車速度總大于乙車速度，兩車距離逐漸增大;

當『=，時，兩車速度相等，此刻甲、乙兩車距離最大；

在3%時間內，甲車速度小于乙車，兩車距離逐漸減小;

在f=3f0以后，甲、乙兩車速度再次相同，且不再變化，因此此后甲、乙兩車距離不再變化。

綜上所述，兩車距離先增大，后減小，最后保持不變，選項D正確。

值得一提的是，當物體做變速直線運動時，其V—1圖像不再是平行于時間軸的直線，但速度圖

線與坐標軸所圍成的面積的數值仍等于物體運動的距離。如圖3.9所示，物體在0~/時間內運動的距

離為圖像下方陰影部分的面積。

在物理競賽的試題中，勻速直線運動的問題還有其他常見的題型，請看下面的例題。

例5（上海第29屆大同杯初賽）如圖3.10所示，L],4兩條馬路呈“丁”字形，6點為路口,

兩條路上有C,A兩點。甲、乙兩人分別從C,8兩點同時出發，并分別以速度匕，畛（匕片彩）沿

4,4兩條路做勻速直線運動，某時刻甲、乙兩人各自所處的位置和6點ci

所形成的三角形恰好與人鉆。相似，則這樣的時刻（）。?.

B----------

A

A.最少一個B.最少兩個

L}

C.最多三個D.最多四個圖3.10

分析與解如圖3.11所示，設經過時間1,甲、乙兩人分別運動至G，C

Cl

B

圖3.11

B1兩點,則CC］的長度為卬，5片的長度為嶺八設CB,84的長度分別為小12,則的長

度為4-卬。4GB用與△CBA相似存在著兩種情況，即4=盛和出=毀，即有

CBBABACB

-一些=吆和^~迎=也，解得一他一和^=——（---。由時間/的表達式可知，r>0,

lxl2l2lAZ2V）+/［V2/］匕+12V2

因此上述兩種情況一定存在。若經過時間/甲物體運動至圖3.11所示的。2點，乙物體運動至4點，

則長度為卬-乙，8員長度為3，△。2§32與△CBA相似，仍存在著兩種情況，即

60=3”和60=①，即有空二和空二，解得_和”_￡_

vv

CBBABACB/,Z2Z2lA，2匕-他ki~h2

只有當這兩個表達式的分母大于零時，時間方才有實際意義，這兩種情況的相似未必一定能達到。綜

上所述，題述兩個三角形相似的時刻至少有兩個，最多有四個，本題的正確選項為BD。

練習題

1.（上海第24屆大同杯初賽）下列數據中最接近實際情況的是（）。

A.人正常步行的平均速度為10m/s

B.光在真空中的傳播速度為340m/s

C.無線電波在空氣中的傳播速度約為3xl（/m/s

D.“神舟七號”飛船進入太空軌道時的速度約為3xlC）8m/s

2.（上海第22屆大同杯初賽）如圖3.12所示為高速攝影機拍攝到的子彈穿過蘋果瞬間的照片。

該照片經過放大后分析出，在曝光時間內，子彈影像前后錯開的距離

約為子彈長度的1%~2%。己知子彈飛行速度約為500m/s,則這幅照

片的曝光時間最接近（）。

A.10~3sB.10-6s

圖3.12

C.10-9sD.10-12S

3.（上海第30屆大同杯初賽）身高為1.5m的小明沿直線勻速運動，路燈在行進線路的正上方,

某時刻人影的長度為0.6m,前進4m后，影長變為1.4m,則路燈的高度可能為（）。

A.9mB.7.5mC.6mD.4.5m

4.（上海第28屆大同杯初賽）某工廠每天早晨7：00都派小汽車按時接工程師上班。有一天，

汽車在路上因故障原因導致7：10時車還未到達工程師家，于是工程師步行出了家門。走了一段時間

后遇到前來接他的汽車，他上車后汽車立即掉頭繼續前進。進入工廠大門時，他發現比平時遲到

20mino已知汽車的速度是工程師步行速度的6倍，則汽車在路上因故障耽誤的時間為（）。

A.38minB.30minC.24minD.20min

5.某高校每天早上都派小汽車準時接教授上班，一次，劉教授為了早一點趕到學校，比平時提

前30min出發步行去學校，走了27min后遇到了來接他的汽車，他上車后小汽車立即掉頭前進。

設教授步行速度大小為匕，小汽車速度大小為V2,教授上車以及汽車掉頭時間不計，貝I（）o

A.教授將提前3min到校，且匕：嶺=1:10

B.教授將提前6min到校，且匕：

C.教授將提前3min到校，且匕：匕=1：9

D.教授將提前6min到校，且匕：嶺=1：9

6.（上海第28屆大同杯初賽）A,6是一條平直公路上的兩塊路牌，已知小鳥和一輛小車分

別由A,8兩路牌相向運動，小鳥飛到小車正上方時立即以同樣大小的速度折返飛回A并停留在路

牌處；再過一段時間，小車也行駛到Ao它們的位置-時間圖像如圖3.13

所示，圖中=24，貝I（）

A.小鳥與汽車速度大小之比為2：1

B.從出發到相遇這段時間，小鳥與汽車通過的路程之比為3：1

C.小鳥到達A時，汽車到達的中點

D.小鳥與汽車各自的總路程之比為3：1

7.（上海第26屆大同杯初賽）甲、乙兩輛汽車分別于A,8車站之間沿直線勻速往返行駛,

且汽車每到一車站立即掉頭，不計車的掉頭時間。某時刻，甲、乙兩輛汽車恰好同時分別從A,B

兩車站出發，兩車第一次到達同一地點時距離A車站100km,第二次到達同一地點時距離8車站

30km,則A,8兩車站的距離可能為（小數點后保留一位）（）。

A.120.0kmB.270.0kmC.310.7kmD.408.3km

8.（上海第23屆大同杯初賽）著名數學家蘇步青年輕時有一次訪問德國，當地一名數學家在

電車上給他出了一道題：甲、乙兩人相對而行，相距50km。甲每小時走3km,乙每小時走2km。

甲帶一條狗，狗每小時走4km,同甲一起出發，碰到乙后又往甲方向走，碰到甲后它又往乙方向走,

這樣持續下去，直到甲乙兩人相遇時，這條狗一共走了（）。

A.50kmB.40kmC.30kmD.20km

9.（上海第22屆大同杯初賽）地球距離月球約3x108m,人類發射的月球探測器能夠在自動導

航系統的控制下在月球上行走，且每隔5s向地球發射一次信號。某時刻，地面控制中心數據顯示探

測器前方32m處存在障礙物，經過5s,控制中心數據顯示探測器距離障礙物22m,再經過5s,控

制中心得到探測器上剎車裝置出現故障的信息。為避免探測器撞擊障礙物，科學家決定對探測器進

行人工剎車遙控操作，科學家輸入命令需要3s。已知電磁波傳播速度為3xl（）8m,則探測器收到地

面剎車指令時，探測器（）。

A.已經撞到障礙物B.距離障礙物2m

C.距離障礙物4mD.距離障礙物6m

10.（上海第21屆大同杯初賽）一輛汽車勻速行駛（車速大于40km/h）-車上有一臺時鐘，

分針已經折斷，一開始秒針示數為0s。汽車行駛了3km時，秒針示數為30s。汽車再行駛4km時，

秒針示數為50s。那么當時汽車又行駛了5km時，秒針示數為（）。

A.OsB.10sC.20sD.30s

11.一輛汽車向懸崖勻速駛近時鳴喇叭，經8s后聽到來自懸崖的回聲；聽到回聲后再前進27s,

第二次鳴喇叭，經6s又聽到回聲。已知聲音在空氣中的傳播速度為340m/s,則汽車第一次鳴喇叭

時與懸崖的距離為m,汽車的速度m/so

12.如圖3.14所示，甲、乙兩人同時從A地出發，其中，甲沿直線朝正北方向勻速運動，

乙沿直線AC朝正東方向勻速運動。甲運動的速度是乙的2倍，經過3分鐘，甲到達8地后，立即

改變運動方向并保持速度大小不變，馬上沿直線向C地運動，恰好在C地與乙相遇。則乙從A地運

動到C地的時間為min。

A

圖3.14圖3.15

13.（上海第24屆大同杯復賽）如圖3.15（a）所示直角三角板A3C的邊長3C=a,AC=b,

開始時A5邊靠在y軸上，8與坐標原點。重合。今使A點沿y軸負方向朝。點移動，3點沿x軸

正方向移動，可知三角板從圖3.15（a）所示的初始位置到圖3.15（b）所示終止位置的過程中，。點

的運動軌跡為（選填“單方向的直線”“往返的直線”“一段圓弧”或“非圓弧狀的其他曲線”），

。點在此過程中通過的路程為。

14.（上海第24屆大同杯復賽）甲同學從學校出發步行去附近的郵局寄信，前15min內行走的

速度為lm/s,為了盡快到達郵局，以后的速度提高到2m/s。在甲同學出發6min后，乙同學也

想去郵局，為了趕上甲同學，乙同學以3m/s的速度行走。問：

（1）乙同學經過多少時間能追上甲同學?

（2）若乙同學比甲同學晚出發12min,則經過多少時間乙同學能追上甲同學？

15.（上海第25屆大同杯復賽）某處地面發生淺層地震。地震產生兩種不同的地震波，一種是

振動和地面平行的縱向波，一種是振動和地面垂直的橫向波。如圖3.16所示，甲地震臺先接受到縱

向波，然后接受到橫向波，兩者之間的時間間隔為4s；乙地震臺也經歷同乙,）甲⑹

樣的情況，而時間間隔為10s,已知甲和乙之間的直線距離為34.8km,縱

向地震波的速度為4km/s,橫向地震波的速度為2km/s。利用以上數據，

求：（1）震中和甲之間的距離；（2）震中和甲的連線與震中和乙的連線之圖3.16

間的夾角。

參考答案

1.Co人正常步行的速度約為1.2m/s,無線電波和光在真空中的傳播速度都為BxIO'm/s,

它們在空氣中的傳播速度約為3xl（）8m/s,僅比在真空中的傳播速度略小，“神舟七號”飛船進入

太空軌道時的速度約為7.9km/s0

2.B?子彈長度約為5cm,子彈影像前后錯開的距離等于曝光時間內子彈前進的距離，根據題

意可知影像前后錯開的距離約為0.05~0.1cm,因此曝光時間為IxlCT6-2x10%,選項B正確。

3.AD。小明沿直線勻速運動時，可能離路燈越來越遠，也可能先靠近路燈再遠離路燈，因此

本題應該分兩種情況來考慮。

（1）如圖3.17所示，小明離路燈越來越遠。設小明初始時距離路燈為s,路燈高為則根

據圖示以及題給數據，結合相似三角形的知識，可得

5+0.60.65+4+1.4_1.4

H-L5'_H--L5

解得s=3m，H=9m。

(2)如圖3.18所示，小明先向右靠近路燈，經過路燈正下方后又向右遠離路燈。同樣設小明

初始時距離路燈為s,路燈高為“，則有

5+0.6_0.64-5+1.4_1.4

H―I?’-H--L5

解得s=1.2m,H=4.5m?

因此本題正確選項為ADo

圖3.17

4.C?設汽車正常情況下每天％時刻從工廠出發去接工程師，于7：00到達工程師家，然后返

回。以工程師家為原點，沿著家到工廠的方向建立S坐標軸，則可畫出汽車正常情況下的位置一時

間圖像如圖3.19所示。汽車發生故障的時間可以等效為汽車推遲出發的時間，設為△r,即相當于某

天汽車自九時刻開始又經加時間才出發去接工程師。畫出汽車推遲出發的位置-時間圖像以及工程

師于7：10步行出發的位置一時間圖像如圖3.19所示。設工程師高家的

距離為%、用時4后遇到來接他的汽車，由汽車速度是步行速度的6

倍，可知汽車通過這一段外的距離用時往返距離2s,用時匕。

x63

結合圖中幾何關系，可得20=110—+解得4=12min,

因故障耽誤的時間=20min+—=24min，本題正確選項為C。

3

5.D?設汽車正常情況下每天"時刻從學校出發去接教授，于

%時刻到達教授家，然后返回。以教授家為坐標原點，沿著家到學

校的方向建立S坐標軸，則可畫出汽車正常情況下的位置一時間圖

圖3.20

像如圖3.20所示。另畫出教授提前30min出發步行的位置一時間圖像，教授步行27min后與汽車

相遇，此時兩圖像相交。設相遇點到教授家的距離為則由圖可知教授步行速度％=一^,汽

27min

車速度％=7——X—，因此可得匕：嶺=1：9。同樣結合圖像的幾何關系，可得教授比往常提

（30-27）min

前到達的時間為2x（30—27）min=6min，選項D正確。

6.Bo如圖3.21所示，設小鳥與小車相遇于A,8之間的。點，相遇時刻為13。則小鳥由A到

。和從C返回到A所用的時間相等，即八=；4=；,2,相遇后小鳥和小車自相遇點c返回到A的

過程中路程相同，因此小鳥的速度匕=.，小車的速度為=——，所以工=^二0=3,從出

發到相遇小鳥與小車通過的路程之比為〃c：%c=3：1，選項B正確。由圖3.21可知小車經巧時間從

8到達A,則經乙=3時間小車必經過A6的中點，選項C正確。整個過程中小鳥通過的路程為as.，

2s3

小車通過的路程為結合〃C：SBC=3：1，得一^=一，選項D錯誤。本題正確選項為BC。

SAB2

7.ABCo設A,8車站之間的距離為s,甲、乙兩次的速度分別為v甲，v乙，下面分三種情況

討論：

100km30km

（1）第二次相遇是發生在甲、乙分別折返后，如圖3.22（a）所示。

，-------->--?乙

AB

vm100km

第一次相遇時，由甲、乙運動時間相等，可得工=/W,第二次(a)

v乙（s-100）km

100km30km

M

相遇亦有曳=（s+3。）一,聯立解得§=270km。甲—I-------I

v乙（2s-30）km

AB

(b)

（2）第二次相遇發生在乙折返后，甲還未折返，乙從后面追上甲，如<—100kw-->|

甲一>-------------

Vm100km???

圖3.22（b）所示。則第一次相遇時有上=/、—,第二次相遇時乙

v乙（5-100）kmA

30km

(c)

有v甲(s+30)km

聯立解得s=310.7km。

v乙(2s-30)km圖3.22

（3）第二次相遇發生在甲折返后，乙還未折返，甲從后面追上乙，如圖3.22（c）所示。則第

一次相遇時有2=告就‘第二次相遇時有曹’聯立解得

綜上所述，本題正確選項為ABC。

8.Bo本題的重點在于確定狗運動的時間。顯然，狗運動的時間與甲、乙相遇所用的時間相同，

o50km

t=---=--------------------=10h,則狗走的路程為s'=4km/hxlOh=40km?

丫甲+v乙3km/h+2km/h

選項B正確。

9.Bo由題可知，電磁波從地球傳播到月球需要Is的時間。月球探測器發射信號的時間間隔與

地球上控制中心接受到信號的時間間隔相同。地球上控制中心顯示的距離實際上是探測器發出信號

時距離障礙物的距離。因此從探測器第一次發出信號到第二次發出信號間隔5s,前進了10m,探測

器速度為2m/s。設探測器第一次發出信號的時刻為％=0,則控制中心接收到這個信號的時刻為

4=ls,探測器第二次發出信號的時刻為方2=5s,控制中心接收到第二個信號的時刻為％=6s,科

學家剎車命令輸入完畢的時刻為。=14s,該命令傳到月球被探測器接收到的時刻為“=15s。因此,

從探測器第一次發出信號(此時距離障礙物32m)到探測器收到剎車命令，共經歷了15s的時間，

探測器在這段時間內前進了30m的距離，因此探測器接收到剎車命令時距離障礙物2m。本題正確

選項為B。

10.Ao設汽車每行駛1000m用時/,根據車速大于40km/h,則有也其>—,解得/<90s。

t3.6

設汽車行駛3km時，所用時間為〃分30秒，則再行駛4km后，共行駛了7km,前4m用時為〃分

30秒，前6km共用時為2九分60秒，指針指在。處，剩下1km用時，〈90s,因此，=50s。可求

汽車的速度丫=曰=也2m/s,汽車行駛s'=3000m+4000m+5000或120001所用的時間

I50

f=￡=12000s=6()0s)則指針應指在0處，選項A正確。

v20

11.1400,10o設車第一次鳴笛時距離懸崖為第二次鳴笛時距離懸崖為$2，設車速為v車，

聲速為力,記：=8s,Z2=27s,?3=6st,則第一次聽到鳴笛聲時有

2sl=丫車4+v聲/，邑=4-v車,+^2)

第二次聽到鳴笛聲時有

2%=V車看3+V聲/3

解得51=1400m,v車=10m/s。

12.8。設甲通過AB,的時間分別為/的和jc(單位：min),乙通過AC的時間為％「

貝1%+加=九,設甲、乙的速度分別為2V和V,根據勾股定理有(2丫幾)2+3加)2=(2%c『，

代入數據，解得/座=5min,tAC=8min。

13.往返的直線，2荷+及-(a+b)。

如圖3.23(a)所示，設NQ4_B=8,ABAC=cp,則C點的橫坐標％=Z?sin(6+0),縱坐

^y=asin[0+(p),可見/=個%，因此。點的運動軌跡在一條直線上，設。點軌跡所在直線為

I。圖3.23(b)中的G點為。點的初始位置。如圖3.23(c)所示，當，+0=90。時，。點橫坐標

取得最大值％=bsin[0+(p)=b,顯然該位置。2是。點沿直線I運動時距離坐標原點0的最遠位

置。如圖3.23(d)所示，當邊與x軸重合時，C點到達C3的位置。因此，。點的運動軌跡為

往返的直線。

22

由上述過程，C點運動的總路程應為$C=GC2+C2c3，QC2=yla+b-a,C2C3=

-Ja2+b2-b,所以=2>Ja2+/一(q+匕)。

14.(1)3min；(2)9min。(1)設乙同學晚出發At時間，且追上甲時，甲恰好運動了15min,

則乙同學實際運動的時間為(15—Ar)min,有3(15-4)=1x15,解得4=10min。當乙同學晚

出發時間為6min時，小于lOmin,必定在甲同學行走速度為lm/s時追上，則的=1x(6+0),

解得。=3min追上。

(2)當晚出發時間為12min時，大于lOmin,必定在甲同學行走速度為2m/s時追上，則

1x15+2(4+12—15)=3/2,解得/2=9而11。

15.(1)40km；(2)約為60°。設V]=2km/s,v2=4km/s,如圖3.24所示，0點為震

乙⑻甲(A)

0

圖3.24

OHOA

中地點，4和分別為橫向地震波和縱向地震波傳至甲地的時間，有:-%2=4s,即---------=4s,

匕%

解得Q4=16km。同理，解得08=40km。

設NAO5=9,由余弦定理

八O^+OB2-AB2162+402-34.82八廠

cosf)---------------------=---------------------b0.5

204052x16x40

因止匕e土60°o

第二節簡單的變速直線運動

如果物體沿著一條直線運動，并且速度的大小不恒定，那么物體的運動就是變速直線運動。折

返運動實際上也是變速直線運動，因為速度的方向發生了變化。

一、變速直線運動的平均速度

如果某物體在一段時間內運動的路程恰與一個勻速直線運動在相等時間內通過的路程相等，我

們就說這個勻速直線運動的速度是該物體在這段時間內的平均速度，這里實際是用勻速直線運動的

速度來表示該物體在某段時間內運動的平均快慢程度，體現了一種等效代替的思想。

平均速度用符號n來表示，其定義式為丫=士，應注意的是：

t

Cl)在任何時間段，勻速直線運動的平均速度均為定值。

(2)變速運動的平均速度往往與選取的時間段有關，選取的時間段不同，平均速度可能不同。

例1小明的家與學校之間有一座山，每天上學的過程中，有五分之二的路程是上坡路，其余是

下坡路。小明從家到學校要走36min,如果小明上坡行走速度不變，下坡行走速度也不變，而且上

坡行走速度是下坡行走速度的三分之二，求：

(1)小明上學過程與放學過程平均速度之比；

(2)小明放學回家所需的時間。

分析與解(1)由題意，設小明上學過程中上坡路為2s,則下坡路為3s；再設上坡速為2v,

則下坡速度為3v。于是小明上學的平均速度為V上學=c.=1v；放學時，原來的下坡路變為

2s3s2

---1--

2v3v

上坡路，原來的上坡路變為下坡路，因此放學時的平均速度為°5s=雙丫,因此上學、放學的

變+空13

2v3v

平均速度之比為v上漢學二1二3。

v放學12

(2)由于上學、放學所行走的路程相同，根據％==可知，行走時間與平均速度成反比，因此

v

有［三=上匚_=11,可知放學行走時間為f放學=39min。

/上學口放學12」

二、勻變速直線運動

1.勻變速直線運動的概念

表3.1中給出了做直線運動的3個物體的速度與時間的關系，由表可知甲、乙兩物體加速，丙物

體減速。每經過2s時間，甲物體速度都增加2m/s；每經過2s時間，乙物體速度都增加4m/s；每

經過2s時間，丙物體速度都減小5m/s,直至速度減為零最后靜止。這3個物體在運動過程中，速

度隨時間均勻變化，即在相等的時間內，速度的變化量都相同，這樣的直線運動叫勻變速直線運動。

勻變速運動根據速度增大或減小，又分為勻加速直線運動和勻減速直線運動。

表3.1

寸刻（S）

度（m/s）X.024681012

甲2468101214

/p>

丙2015105000

注：甲、乙的運動為勻加速直線運動，丙的運動為勻減速直線運動。

2.勻變速直線運動的速度-時間圖像

由于勻變速直線運動的速度隨時間均勻增加或均勻減小，因此它們的速

度時間圖像（V—/圖像）是傾斜的直線。如圖3.25所示，圖線a表示初速度

為％（即f=0時的速度）的勻加速直線運動，圖線匕表示初速度為丫2的勻減

速直線運動。應該注意的是，V-/圖像與坐標軸所圍成的面積表示物體通過

的距離。下面通過一個例題，證明一個很有用的結論。

圖3.25

例2在物理學中，如果物體治著一條直線運動，且速度大小隨時間均勻變化（即在任意相等時

間內速度變化量相同，V—/圖像為傾斜的直線），我們就說物體做勻變速直線運動。已知某物體做

勻變速直線運動，初速度為%,/時刻的速度為匕，試證明在0~f時間內該物體的平均速度為

—

分析與解如圖3.26所示，A3段為一物體做勻加速直線運動的

圖3.26

y—/圖像，/時間內的位移為圖中梯形Q43C的面積，圖中與時間軸平行的直線QE表示物體做勻

速直線運動的V—/圖像，矩形OOEC表示其在/時間內的位移。若矩形OOEC的面積等于梯形

awe的面積，則根據平均速度的定義，該勻速直線運動的速度就等于勻加速直線運動的平均速度。

當矩形ODEC的面積與梯形Q45c的面積相等時，容易得出，AADF與ABEF全等,因此廠為

的中點，有工=NU。又因為廠點所對應的時刻為人，因此還可得工=匕。證畢。

22j

有了勻變速直線運動的平均速度公式，結合圖像下方的面積表示運動的距離，我們可以解決很

多勻變速運動的問題。

例3如圖3.27為某物體由靜止做直線運動的y—/圖像，則下列說法

正確的是（）。

A.匕：嶺：匕=1：2:3

B.每經過相同的時間，物體的速度增加量都相同

C.物體在0~八，O~2to,0~3九時間內運動的距離之比為1:2:3