第十七講*集合與簡易邏輯......................51

第一講：因式分解(一).............................1第十八講歸納與發(fā)現(xiàn)............................56

第二講：因式分解(二)............................4第十九講特殊化與一般化........................59

第三講實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用....................7第二十講類比與聯(lián)想............................63

第四講分式的化簡與求值........................10第二十一講分類與討論..........................67

第五講恒等式的證明............................13第二十二講面積問題與面積方法.................70

第六講代數(shù)式的求值............................16第二十三講幾何不等式..........................73

第七講根式及其運算............................18第二十四講*整數(shù)的整除性......................77

第八講非負(fù)數(shù)..................................22第二十五講*同余式.............................80

第九講一元二次方程............................26第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題.….83

第十講三角形的全等及其應(yīng)用...................29第二十七講列方程解應(yīng)用問題中的量.............86

第H■一講勾股定理與應(yīng)用........................33第二十八講怎樣把實際問題化成數(shù)學(xué)問題.........90

第十二講平行四邊形............................36第二十九講生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界..…94

第十三講梯形..................................39第三十講生活中的數(shù)學(xué)(四)——買魚的學(xué)問........99

第十四講中位線及其應(yīng)用........................42

第十五講相似三角形(一)........................45

第一講：因式分解(一)

第十六講相似三角形(二)........................48

多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之(9)a"+b"=(a+b)(an'-a"2b+an_3b2...ab"2+bn'),其中n

一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許為奇數(shù).

多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根

強，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.

所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生例1分解因式：

5n1n3nln2n,nM

的思維能力，都有著十分獨特的作用.初中數(shù)學(xué)教材(l)-2x-y+4x-y*-2x-y;

中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解(2)x'-8y'-z'-6xyz；

法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)(3)a2+b-+c2-2bc+2ca-2ab；

上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進一步的介紹.(4)a'-a°b2+a"b-b'.

1.運用公式法解⑴原式=-2x"V(x"n-2x2ny2+y')

在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)=-2xn-'yn[(x2n)2-2xW+(y2)2l

將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：-2xn-'yn(x2n-y2)2

221nn22

(l)a-b=(a+b)(a-b)；-2X-y(X-y)(x"+y).

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(2)原式=x%(-2y)、(-Z)3-3X(-2y)(-Z)

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

(4)a+b'(a-b)(a2+ab+b2).(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

下面再補充兒個常用的公式：=(a-b)2+2C(a-b)+c2

(5)a'+b'+c'+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)J；=(a-b+c)2.

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；本小題可以稍加變形，直接使用公式(5),解法如下:

(7)a"-b"=(a-b)。1+葭-+2"為2+…+ab"，bi)其中n原式=a?+(-b)2+C2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

為正整數(shù)；=(a-b+c尸

(8)an-b"=(a+b)(an'-a"：b+a""b''--*"+ab"：,"b"'),其中n(4)原式=(a'-a5b9+(a'b'-b')

為偶數(shù)；=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)_.(x-l)(x15+x14+x134--h<2+x+l)x16-1

原氏二-------------：-----------=—r

x-1x-1

=(a+b)(a-b)(a+b)(a1-a3b+a2b2-ab3+b')(X’+l)(x'+l)(x2+l)(x+l)(x-1)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+bl)

=(x8+l)(x4+1)(x2+1)(X+1).

例2分解因式：a3+b3+c3-3abc.說明在本題的分解過程中，用到先乘以(X-D,再

本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的除以(X-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.

公式(6).2.拆項、添項法

分析我們已經(jīng)知道公式因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)?/p>

的正確性，現(xiàn)將此公式變形為兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多

a3+b3=(a+b)J-3ab(a+b).項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的

這個?式也是一個常用的公式，本題就借助于它來項，即把多項式中的某項拆成兩項或多項，或者在

推導(dǎo).多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，

解原式二(a+b)、3ab(a+b)+c'-3abe后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分

=[(a+b)3+，]-3ab(a+b+c)組分解法進行因式分解.

22

=(a+b+c)[(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)例4分解因式：X3-9X+8.

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法

說明公式(6)是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.

出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為解法1將常數(shù)項8拆成-1+9.

a3+b3+c3-3abc原式=xJ9x-l+9

3

(a+b+c)(2a3+2ba+2ca-2ab-2bc-2ca)=(X-1)-9X+9

=(x-l)(X2+X+1)-9(X-1)

=g(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)3+(c-a)2].

=(x-l)(X2+X-8).

顯然，當(dāng)a+b+c=O時，則a、b*c3=3abc；當(dāng)a+b+c解法2將一次項-9x拆成-x-8x.

>0時,則a'+b'+c：3abe20,即a'+b'+c'23abc,而原式=x"-x-8x+8

且，當(dāng)且僅當(dāng)a二b二c時，等號成立.=(X3-X)+(-8X+8)

如果令x=a'20,y=b3>0,z=c3^0,則有=x(x+l)(x-1)-8(x-1)

2

華麗=(x-l)(X+X-8).

解法3將三次項拆成9/-8/.

等號成立的充要條件是x刊二z.這也是?個常用的

原式=9x'-8x''-9x+8

結(jié)論.

-(9X3-9X)+(-8X3+8)

例3分解因式：xl：,+x14+x13+,,e+x2+x+l.

=9x(x+l)(x-1)-8(x-1)(x2+x+l)

分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項

=(x-l)(X2+X-8).

x"開始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式

解法4添加兩項-x?+x2.

aW來分解.

原式=xt9x+8

解因為

=X3-X2+X2-9X+8

x16-l=(x-1)(x15+x14+xl3+*-x2+x+l)，

=X2(X-1)+(X-8)(X-1)

所以

=(x-l)(X2+X-8).

2

說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因拆項、添項法的極強技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，

式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的積累經(jīng)驗.

是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、3.換元法

添項法?是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分

例5分解因式：看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運

(1)X9+X6+X3-3；算，從而使運算過程簡明清晰.

(2)(n2-l)+4mn；例6分解因式：(X2+X+1)(X2+X+2)-12.

(3)(x+1)'+(x2-l)2+(x-l)!：分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因

(4)a*b-ab3+a2+b2+l.式較困難.我們不妨將x?+x看作一個整體，并用字母

解(1)將-3拆成-1-1-1.y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因

原式=x!^+x6+x■!-1-1T式分解問題了.

=(x9-l)+(x6-l)+(x3-l)解設(shè)x?+x=y,則

=(x3-l)(x6+x3+l)+(x3-l)(x3+l)+(x3-l)原式=(y+D(y+2)-12=y、3y-10

=(x3-l)(x6+2x3+3)=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-l)(x2+x+l)(xb+2x3+3).=(x-l)(x+2)(x?+x+5).

(2)將4mn拆成2mn+2mn.說明本題也可將一+x+l看作一個整體，比如今

原式=加2-1)(n2-l)+2mn+2mnx、x+l=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)

=mW-n'+1+2mn+2mn不妨試一試.

=(m2n2+2mn+l)-(m2-2mn+n2)例7分解因式：

=(mn+l)2-(m-n)2(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.

=(mn+m-n+l)(mn-m+n+1).分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重

(3)將(xz-l)2拆成2(x2-l)2-(x2-l)2.新組合.

原式=(x+1)'+2(x2-l)2-(x2-l)2+(x-1)1解原式=(x+l)(x+2)(2x+l)(2x+3)-90

=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-l)2=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+l)]-90

=[(x+l)2+(x-l)2]2-(x2-l)2=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-90.

=(2X2+2)2-(X2-1)2=(3X2+1)(X2+3).令y=2x45x+2,則

(4)添加兩項+ab-ab.原式=y(y+l)-90=y2+y-90

原式=a：ib-ab*+a'!+b；!+1+ab-ab=(y+10)(y-9)

=(a3b-ab3)+(a'-ab)+(ab+b"+1)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+l)=(2xJ+5x+12)(2x+7)(x-1).

=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)說明對多項式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)

=[a(a-b)+l](ab+b2+l)的基礎(chǔ).

=(a"-ab+l)(b2+ab+l).例8分解因式：

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項后解設(shè)x2+4x+8=y,則

分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再原式=y2+3xy+2x?=(y+2x)(y+x)

與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們體會到=(X2+6X+8)(X2+5X+8)

3

=(x+2)(x+4)(X2+5X+8).原式=x2[6(/+2)+7t-36]

說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原=x'(6tz+7t-24)=x'(2t-3)(3t+8)

式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的=x'[2(x-l/x)-3][3(x-l/x)+8]

新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法=(2X2-3X-2)(3X2+8X-3)

的本質(zhì)是簡化多項式.=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

例9分解因式：6x'+7x'-分x?-7x+6.例10分解因式：(x2+xy+y')-4xy(x2+y2).

解法1原式=6(x"+l)+7X(XM)-36X2分析本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的位

=6E(X'-2X2+1)+2X"J+7X(X2-1)-36X"置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱

=6[(X2-1)2+2X1+7X(X2-1)-36X2式.對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,

=6(X2-1)2+7X(X2-1)-24X2用換元法分解因式.

=[2(X2-1)-3X][3(X2-1)+8X]解原式=[(x+y)2-xy『-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,

=(2X2-3X-2)(3X2+8X-3)xy=v,則

=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).原式=(u"-v)~-4v(u'-2v)

說明本解法實際上是將x2-l看作一個整體，但并=u'-6u'v+9v'

沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非=(U2-3V)2

每題都要設(shè)置新元來代替整體.=(x2+2xy+y2-3xy)2

解法2=(x2-xy+y2)2.

原式=x'(6x'+7x-36-Z+&)

”忤+撲7卜%36]

第二講：因式分解(二)

令x[=惻/+J=t2+2,于是

XX

1.雙十字相乘法再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某X(2y-3)

些二元二次六項式(ax：'+bxy+cy°+dx+ey+f),我們也

可以用十字相乘法分解因式.

2x(-lly+1)

例如，分解因式2x?-7xy-22yJ5x+35y-3.我們將上

所以，原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

式按x降幕排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

形為

上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得

可以看作是關(guān)于x的二次三項式.

到下圖:

對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可

以用十字相乘法，分解為

它表示的是下面三個關(guān)系式：

(x+2y)(2xTly)=2x?-7xy-22y1

即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

(x-3)(2x+l)=2x-5x-3；

4

(2y-3)(-Uy+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進

行因式分解的步驟是：原式=(x-5y+2)(x+2yT).

(1)用十字相乘法分解ax、bxy+cy2,得到一個十字(2)

相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求

第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中

的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于

原式=(x+y+l)(x-y+4).

原式中的dx.

(3)原式中缺一項，可把這一項的系數(shù)看成0來分

例1分解因式：

解.

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+yz+x-y-2；

(4)6x-7xy-3y2-xz+7yz_2z2.

原式=(y+l)(x+y-2).

解(1)

(4)

要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項式f(x)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下

說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.面的定理來判定它是否有有理根.

2.求根法若既約分?jǐn)?shù)9是整系數(shù)多項式

p

n，rI

我們把形如anx+an-,x+-+aix+afl(n為非負(fù)整數(shù))的1B2

定理2f(x)=a/*+a/*"+a2x-+-+an_iX+an

代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x),g(x),…

的根，則必有P是a。的約數(shù)，q是a”的約數(shù).特別

等記號表示，如

地，當(dāng)a0=l時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為a.

f(x)=xz-3x+2,g(x)=x5+x2+6,???,

的約數(shù).

當(dāng)x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面

我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式

的多項式f(x)

的一次因式，從而對多項式進行因式分解.

f(l)=『-3X1+2=0：

例2分解因式:XJ-4X2+6X-4.

f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.

分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)

若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.

根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1,±2,

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即

±4,只有

f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a.

f⑵=23-4X22+6X2-4=0,

根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的

關(guān)鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),

5

即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必,1、/2、212

(X+-)(x--)=X--X--

有因式x-2.

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).可以化為9X2-3X-2,這樣可以簡化分解過程.

原式=(X3-2X2)_(2X2-4X)+(2x-4)總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一

=x，(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),

-(x-2)(X2-2X+2).而g(x)是比f(x)低一次的元多項式，這樣，我們

解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了.

3.待定系數(shù)法

x2-2x+2

x~2/3_4X2+6X-4

X待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的?種重要的解題方法，應(yīng)用

/X3_2X2

很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

-2X2+6X

-2X2+4X在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它

2x-4能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)

2x-4

-o-尚未確定，這時可以用些字母來表示待定的系

所以數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多

原式=(x-2)(x.2x+2).項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取

說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理多項式中原有字母的兒個特殊值，列出關(guān)于待定系

根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這

定是多項式的根.因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

多項式進行驗證.例4分解因式:x"+3xy+2y-+4x+5y+3.

例3分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.分析由于

分析因為9的約數(shù)有±1,±3,±9；-2的約數(shù)有(x2+3xy+2yz)=(x+2y)(x+y),

±1,±若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是

2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,±;，±|,±!,x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求

經(jīng)檢戲，只有J1和號0是原式的根，所以原式有因式x+抑1x-09.又因出m和n,使問題得到解決.

解設(shè)

為：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

(X+g)(x-g)-g(3x+l)(3x-2)

=(x+2y+m)(x+y+n)

■1(9x3-3x-2),

=x"+3xy+2y'+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

所以，原式有因式9x?-3x-2.

比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有

解9xl-3x+7x_3x_2

m+n=4,

322

=9X'-3X-2X+9X-3X-2<m+2n=5,

=x2(9X3-3X-2)+9X2-3X-2mn=3.

=(9X2-3X-2)(X2+1)解之得m=3,n=l.所以

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)原式二(x+2y+3)(x+y+1).

說明若整系數(shù)多項式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有說明本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一

分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式下.

例5分解因式:X-2X3-27X2-44X+7.

6

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講

過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1,±

7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，所以

原式=(xJ7x+l)(x?+5x+7).

在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分

解，只能分解為(x%ax+b)(x'cx+d)的形式.說明由于因式分解的唯一性，所以對b=T,d=-7

解設(shè)等可以不加以考慮.本題如果b=l,d=7代入方程組

原式Xx'+ax+b)(x'+cx+d)后，無法確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解

=x'+(a+c)x'+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止.

所以有本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因

式.但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由

a+c=-2,

b+d+ac=-27,此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.

ad+bc=-44,

bd=7.

由bd=7,先考慮b=l,d=7有第三講實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用

a+c=-2,

ac=-35,

{7a+c=-44,

實數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在初中代分析要說明?個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫

數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限成兩個整數(shù)比的形式.

的概念.這一概念對中學(xué)生而言，有一定難度.但是，證設(shè)

如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知x=26154,①

識，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如，即使兩邊同乘以100得

是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠遠不夠用

100x=261.54=261,5454.②

的.因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及

②-①得

運用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高

99x=261.54-2.61=258.93,

等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可

25893

所以x=-----

缺少的.本講主要介紹實數(shù)的一些基本知識及其應(yīng)用.9900

形如：?(n#0)的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可既然X能寫成兩個整數(shù)比的形式，從而也就證明了2.61次是有理數(shù).

用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理

無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).有理數(shù)對四則運算是封

數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對

閉的，而無理

加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的.

數(shù)與無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例如，應(yīng)為無理但

性質(zhì)1任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可JT

我-點=混一個有理數(shù)；冗是無理數(shù)，元=1是有數(shù)，理數(shù)，也就

以看作小數(shù)點后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反

之亦然.是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性

質(zhì).

例1證明循環(huán)小數(shù)2.61545454…=2.61，?是有理數(shù).

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則

(l)a+b,a-b是無理數(shù);

7

且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是

（2）當(dāng)a盧0時，a?b,；是無理數(shù).

b無理數(shù)時，常常采用反證法.

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即證用反證法.

有限小數(shù)）有理數(shù)假設(shè)點不是無理數(shù)，所以應(yīng)必為有理數(shù).設(shè)、加=

實數(shù)（小數(shù)）‘一小豺僧壞小數(shù)

無限小數(shù)（不循環(huán)小數(shù)一無理數(shù)2（p,q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方有

q

在實數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實p2=2q3,①

數(shù).任意兩個實數(shù)，可以比較大小.全體實數(shù)和數(shù)軸所以P一定是偶數(shù).設(shè)p=2m（m是自然數(shù)），代入①

上的所有點是一一對應(yīng)的.在實數(shù)集內(nèi)進行加、減、得

裝除（除數(shù)不為零）運算，其結(jié)果仍是實數(shù)（即實數(shù)對4m2=2q2,q2=2m2,

四則運算的封閉性）.任一實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)

果仍是實數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時，才能開偶所以q也是偶數(shù).p,q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾，所以正不是有理

數(shù)，于是、笈是無理數(shù).

次方，其結(jié)果仍是實數(shù).

說明只要p是質(zhì)數(shù)，腐一定是無理數(shù)，這個結(jié)論的證明并不

例2困難，請同學(xué)們自己完成.

求證/國力是有理數(shù).例4若ai+bia=&+b2a（其中aha?,b”b?為有理數(shù)，

a為無理數(shù)）,JJIJai=a2>bi=b2?反之,亦成立.

分析分析設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)

要證明所給的數(shù)能表示成巴（m,n為整數(shù)，n^O）的形式，關(guān)鍵來證明.

n

是要證明心1在出5是完全平方數(shù).證將原式變形為（bi-bja=a2-ai.若biWbz,則

（21）個n個

_a2-ai

證a-

b1-b2'

11…122…25

（n-1）個/個

=ll-lX10n+1+22-2X10+5

（n-l）個豆個因為a是無理數(shù)，而會二獸是有理數(shù)，矛盾.所以必有a=b>進而

bl-b2

10"1-1—10n-1

=---X10"+1+2X——X10+5有a1=a?.

99

=g（102n-10"+1+2X10*+i-20+45）

反之，顯然成立.

=1（10^+10X10n+25）=1（10n+5）2說明本例的結(jié)論是?個常用的重要運算性質(zhì).

所以

例5與b是兩個不相等的有理數(shù)，試判斷實數(shù)絲W是有理數(shù)還

b+《3

n

J11-2122--2510+5是無理數(shù)，并說明理由.

解假設(shè)匕獸是有理數(shù)，設(shè)其為A,即

因為10"+5與御為整數(shù)，所以LI：二是有理數(shù).b+43

\'—,—M'

（n-1）個n個a+聒

b+聒A