6/36成都市武侯區2024年九年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共8個小題，每小題4分，共32分。1.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）A.圓柱 B.正方體C.球 D.圓錐【答案】D【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．【詳解】解：根據主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，根據俯視圖是圓形和圓心可判斷出這個幾何體應該是圓錐，故選：D．【點睛】本題考查由三視圖判斷幾何體．2.若方程是關于的一元二次方程，則“”可以是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根據一元二次方程定義，即可求解．一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：因為方程是關于的一元二次方程，所以是含有的二次項，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．3.已知四條線段a，b，c，d成比例，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了比例線段，利用成比例線段的定義得到，然后根據比例的性質對各選項進行判斷．熟練掌握成比例線段的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：因為四條線段，，，成比例，所以，即：．故選：B．4.設表示平行四邊形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，則它們之間的關系用圖形來表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根據正方形、平行四邊形、菱形和矩形的定義進行解答即可．【詳解】解：因為四個邊都相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形，所以正方形應是N的一部分，也是P的一部分，因為矩形、正方形、菱形都屬于平行四邊形，所以它們之間關系故選：B．【點睛】本題考查的是正方形、平行四邊形、菱形和矩形的定義，熟練掌握這些多邊形的定義與性質是解答此題的關鍵．5.若關于x的方程有實數根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查的是一元二次方程的解法——直接開平方法，根據偶次方的非負性解答即可．熟記偶次方的非負性是解題的關鍵．【詳解】解：因為關于的方程有實數根，所以，解得：，故選：D．6.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點坐標分別是，，，，已知矩形與矩形位似，位似中心是原點，且矩形的面積等于矩形面積的，則點的坐標為（）A. B.或C. D.或【答案】B【分析】根據位似圖形的性質可得矩形與矩形位似比為，即可求解．【詳解】解：矩形與矩形位似，矩形的面積等于矩形面積的，矩形與矩形位似比為，位似中心原點，，點的坐標為，或，，即或，故選：B．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．7.王麗同學在一次用頻率估計概率的試驗中，統計了某一結果出現的頻率，繪出的統計圖如圖所示，則該試驗可能是（）A.關于“從裝有2張紅桃和1張黑桃的撲克牌盒子中，隨機摸出一張（這些撲克牌除花色外都相同），這張撲克牌是黑桃”的試驗B.關于“50個同學中，有2個同學同月份生日”的試驗C.關于“拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上”的試驗D.關于“擲一枚質地均勻的正方體骰子，出現的點數是1”的試驗【答案】A【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【詳解】解：A．關于“從裝有2張紅桃和1張黑桃的撲克牌盒子中，隨機摸出一張（這些撲克牌除花色外都相同），這張撲克牌是黑桃”的試驗的頻率約為，符合題意；B．關于“50個同學中，有2個同學同月份生日”的試驗的頻率為1，不符合題意；C．關于“拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上”的試驗的頻率為0.5，不符合題意；D．關于“擲一枚質地均勻的正方體骰子，出現的點數是1”的試驗的頻率為，不符合題意；故選：A．8.已知反比例函數的圖象如圖所示，關于下列說法：①常數；②y的值隨x值的增大而減小；③若點A為x軸上一點，點B為反比例函數圖象上一點，則；④若點在反比例函數的圖象上，則點也在該反比例函數的圖象上．其中說法正確的是（）A.①②③ B.③④ C.①④ D.②③④【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，反比例函數系數的幾何意義，掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．根據反比例函數的圖象和性質逐一判斷即可．【詳解】反比例函數的圖象在第一、三象限，，故①說法正確；反比例函數的增減性與所處象限有關，②說法錯誤；與軸不一定垂直，，故③說法錯誤；點在反比例函數的圖象上，，點也在該反比例函數的圖象上，故④說法正確；故選：C．二、填空題本大題共5個小題，每小題4分，共20分。9.將方程化成一元二次方程的一般形式為_____．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是掌握任何一個關于的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．【詳解】解：，去括號、移項，得．故答案為：．10.一個口袋中裝有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中．不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有69次摸到紅球，則可估計這個口袋中紅球的數量是_____．【答案】7【分析】本題主要考查利用頻率估計概率以及用樣本估計總體，解答本題的關鍵要明確用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．【詳解】解：估計這個口袋中紅球的數量為（個），故答案為：7．11.如圖，小強自制了一個小孔成像裝置，其中紙筒的長度為15cm．他準備了一支長為20cm的蠟燭，想要得到高度為5cm的像．蠟燭應放在距離紙筒_____cm的地方．【答案】60【分析】先根據題意得出相似三角形，再利用三角形相似的性質得到相似比，然后根據比例性質計算．【詳解】解：如圖，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，因為AB∥CD，EF⊥AB，所以EF⊥CD，所以△OAB∽△ODC，所以，即，解得OE=60cm．答：蠟燭應放在距離紙筒60cm的地方．故答案為：60．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．12.在平面直角坐標系中，一次函數，的圖象與反比例函數的圖象如圖所示，則當時，自變量x的取值范圍是_____．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數的性質，一次函數及反比例函數的圖象，直接根據函數圖象得出結論即可．能利用數形結合直接求解是解題的關鍵．【詳解】當時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，反比例函數圖象在一次函數的圖象上方，由函數圖象可知，此時，即：當時，自變量x的取值范圍是，故答案：．13.如圖，先將一張正方形紙向上對折、再向左對折，然后沿著圖中的虛線剪開，得到①②兩部分，將①展開后得到的平面圖形是_____．【答案】菱形【分析】此題考查了剪紙問題以及正方形的性質，利用對稱設計圖案以及菱形的判定，關鍵是根據對折實際上就是軸對稱性質的運用進行解答．【詳解】解：由折疊過程可得，該四邊形的對角線互相垂直平分，故將①展開后得到的平面圖形是菱形．故答案為：菱形．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確解一元二次方程的方法．（1）利用配方法解答此方程；（2）先移項，然后提公因式，即可解答此方程．【小問1詳解】解：因為，所以，所以，所以或，解得，；【小問2詳解】，，，所以或，解得，．15.如圖，在正方形中，延長至點E，使得，連接，，交于點F．（1）試探究的形狀；（2）求的度數．【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析（2）【分析】本題考查正方形的性質、等腰三角形的判定及性質、直角三角形的兩個銳角互余、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，掌握正方形的性質是解題的關鍵．（1）根據正方形的性質可得，進而得，即可解決問題；（2）利用正方形的性質及三角形外角定義求出，然后根據直角三角形兩個銳角互余即可解決問題．【小問1詳解】解：是等腰三角形，理由如下：因為四邊形是正方形，所以，，則，所以，因為，所以，所以是等腰三角形；【小問2詳解】因為，，所以，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以．16.2023年9月21日，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講，“太空教師”景海鵬、朱楊柱、桂海潮為廣大青少年帶來一場精彩的太空科普課，航天員們演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“動量守恒”和“又見陀螺”四個實驗．本次授課活動分別在北京、內蒙古阿拉善盟、陜西延安、安徽桐城及浙江寧波設置了5個地面課堂．（1）若航天員們隨機連線一個地面課堂，求北京地面課堂被連線的概率；（請直接寫出結果，不必寫求解過程）（2）某班組織同學們收看了本次太空科普課，并隨機對李明和張敏兩位同學進行了關于“你最感興趣的實驗”的采訪，若將以上四個實驗分別記為，，，，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們兩人最感興趣的實驗恰好是同一個實驗的概率．【答案】（1）（2）【分析】此題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率，理解概率所求情況數與總情況數之比是解決問題的關鍵．（1）直接由概率公式求解即可；（2）列出表格，共有16種等可能的結果，其中李明和張敏抽到兩人最感興趣的實驗恰好是同一個實驗的結果有4種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：航天員們隨機連線一個地面課堂有5種可能，北京地面課堂被連線1種可能，所以北京地面課堂被連線的概率為；【小問2詳解】列表如下：李明張敏共有16種等可能的結果，其中李明和張敏抽到兩人最感興趣的實驗恰好是同一個實驗的結果有4種，所以兩人最感興趣的實驗恰好是同一個實驗的概率為．17.如圖，在中，D，E是邊上的兩點，連接，，且滿足，平分．（1）求證：；（2）若，，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由，得，因為，所以，則，而，即可根據“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由相似三角形的性質得，則，，求得，再根據勾股定理得出，即可得出答案．【小問1詳解】證明：因為，所以，因為平分，所以，所以，因為，，所以，因為，所以．【小問2詳解】解：因為，，，，18.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，B兩點，與y軸正半軸，x軸分別相交于C，D兩點．（1）求點A的坐標及反比例函數的表達式；（2）求證：；（3）若點P是位于點C上方的y軸上的動點，過P，A兩點的直線與該反比例函數的圖象交于另一點E，連接．當，且的面積為18時，求點E的坐標．【答案】（1），反比例函數解析式為（2）見解析（3）【分析】（1）把點A的坐標代入一次函數解析式中求得a，即可求出A點坐標；把點A坐標代入反比例函數式中求得m，即可求得反比例函數解析式；（2）由一次函數解析式可求得點C、D的坐標，聯立一次函數與反比例函數解析式可求得點B的坐標，分別計算即可證明；（3）由已知及（2）的結論得C點是的中點，則可求得k的值，進而求得點C的坐標；連接，易得；設點，則可求得直線解析式，求得點P的坐標，由建立方程即可求得t的值，最后求得點E的坐標．【小問1詳解】解：把點A的坐標代入一次函數解析式中，得：，即A點坐標為；把點A坐標代入反比例函數式中，得：，所以反比例函數解析式為；【小問2詳解】證明：在一次函數解析式中，令，得；令，得；點C、D的坐標為、，聯立一次函數與反比例函數解析式，即，消去y整理得：，解得：，當時，，所以點B的坐標為；因為，，所以；【小問3詳解】解：因為，，所以，所以C點是的中點，且C、D為線段的三等分點，由A、C、D三點坐標得：，解得：，所以點C的坐標為；如圖，連接，因為C、D為線段的三等分點，，所以；設點，設直線解析式為，把A、E兩個點坐標分別代入得：，解得：，即直線解析式為，令，得所以點P的坐標為，因為，所以，解得：，所以點E的坐標為．B卷一、填空題本大題共5個小題，每小題4分，共20分。19.已知，則代數式的值為_____．【答案】0.75【分析】本題考查了比例的性質，根據比例的性質解答即可．解題的關鍵是掌握比例的性質．【詳解】解：因為，可得：，，把，代入，可得：，故答案為：．20.已知方程的一個根是，則另一個根是_____．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程中根與系數的關系，根據一元二次方程中，兩根之積等于來進行解答．解題的關鍵是對整式進行正確地計算．【詳解】解：設另一個根是．則，，，．故答案為：．21.在一次趣味運動會中，某數學項目小組利用黃金分割比設計了一個擲飛鏢的游戲．如圖，在“靶”中，點M，N分別是線段的兩個黃金分割點，我們把的內部稱為“黃金區域”（圖中陰影部分）．游戲規定：投擲的飛鏢落在“黃金區域”即為獲勝．假設投擲的飛鏢都能落在“靶”內，現小明隨機向該“靶”投擲一枚飛鏢，則小明獲勝的概率是_____．【答案】【分析】本題考查了黃金分割，概率公式，先根據黃金分割的定義可得，，從而利用線段的和差關系可得，進而可得，然后根據小明獲勝的概率，進行計算即可解答．準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【詳解】解：因為點，分別是線段的兩個黃金分割點，所以，，所以，所以，所以小明獲勝的概率，故答案為：．22.如圖，在中，，，對角線與相交于點O，過點O作交的延長線于點E，交于點F．若，則對角線的長為_____．【答案】【分析】過作，由平行四邊形的性質推出，，，，，由，得到，因此，，得到是的中位線，于是，由，推出，求出，，得到，，令令，，由勾股定理得到，求出的值，得到，由勾股定理求出，即可得到．【詳解】解：過作，因為四邊形是平行四邊形，所以，，，，，因為，所以，所以，所以是的中位線，所以，因為，，所以，所以，所以，因為，所以，則，所以，，所以，，因為，所以令，，所以，因為，，，所以，解得：（舍去負值），所以，所以，所以．故答案為：．23.對于平面直角坐標系中的圖形M和直線m，給出如下定義：若圖形M上有點到直線m的距離為d，那么稱這個點為圖形M到直線m的“d距點”．如圖，雙曲線C：和直線：，若圖形C到直線l的“距點”只有2個，則n的取值范圍是_____．【答案】【分析】由直線：可知是等腰直角三角形，則，設點為圖形到直線的“距點”，作交于，則，作軸交于，則，，則是等腰直角三角形，先找圖形到直線的“距點”只有1個時，即只有1個解，亦即：或只有1個解，分兩種情況來討論可得當，時，為圖形到直線的“距點”作出當，時的草圖，通過作圖發現，當時圖形在直線上方必定還有兩個點到直線的距離為，再根據這兩個臨界點求解即可．【詳解】解：令直線：與軸，軸分別交于點，點，對于直線：，當時，，當時，，所以，，則，所以是等腰直角三角形，則，設點為圖形到直線的“距點”，作交于，則，作軸交于，則，，則是等腰直角三角形，所以，則，即：，先找圖形到直線的“距點”只有1個時，即：只有1個解，亦即：或只有1個解，因為，則，所以，若，即，則，解得：，此時，，解得，即為圖形到直線的“距點”若，即，則，解得：，此時，，解得，即為圖形到直線的“距點”作出當，時的草圖，如下：通過作圖發現，當時圖形在直線上方必定還有兩個點到直線的距離為，所以當圖形到直線的“距點”只有1個，當圖形到直線的“距點”只有3個，則當圖形到直線的“距點”只有2個時，的取值范圍，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，勾股定理，一元二次方程根的問題，利用數形結合的數學思想作出草圖，找到滿足條件的臨界點是解決問題的關鍵．二、解答題本大題共3個小題，共30分。24.《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》優化了課程內容結構，設立跨學科主題學習活動，以強化實踐性要求．在一堂數學、美術的融合課中，每個同學桌上都有一段長的鐵絲，需要將鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個配件．（1）填空：小東想做兩個正方形配件，若設其中一個正方形配件的邊長為，則另一個正方形配件的邊長為（請用含x的代數式表示）；（2）在（1）的基礎上，若小東想讓做成的兩個正方形配件滿足面積之和等于，請問小東的想法能否實現？為什么？【答案】（1）（2）小東的想法不能實現，理由見解答．【分析】本題考查了一元二次方程的應用、列代數式以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據各邊之間的關系，用含的代數式表示出另一個正方形配件的邊長；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．（1）利用另一個正方形配件的邊長（兩段鐵絲的總長其中一個正方形配件的周長），即可用含的代數式表示出另一個正方形配件的邊長；（2）假設小東的想法能實現，根據兩個正方形配件的面積之和等于，可列出關于的一元二次方程，由根的判別式，可得出原方程沒有實數根，進而可得出假設不成立，即小東的想法不能實現．【小問1詳解】兩段鐵絲的總長度為，且做成的一個正方形配件的邊長為，另一個正方形配件的邊長為．故答案為：；【小問2詳解】小東的想法不能實現，理由如下：假設小東的想法能實現，根據題意得：，整理得：，，原方程沒有實數根，假設不成立，即小東的想法不能實現．25.如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象相交于A，B兩點（點A在點B的右側），與y軸相交于點C．（1）當時．（ⅰ）分別求A，B兩點的坐標；（ⅱ）P為x軸上一動點，當時，求點P的坐標；（2）取點，連接，當時，求k的值．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）點P的坐標為或（2）【分析】（1）（ⅰ）聯立一次函數與反比例函數解析式，解方程組即可；（ⅱ）由題意可證明，得；設點，即可求得x的值，從而求解；（2）證明，由相似性質即可求解