PAGEPAGE1第4講直線、平面平行的判定與性質[基礎題組練]1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內的全部直線與l異面B．α內不存在與l平行的直線C．α與直線l至少有兩個公共點D．α內的直線與l都相交解析：選B.因為l?α，直線l不平行于平面α，所以直線l只能與平面α相交，于是直線l與平面α只有一個公共點，所以平面α內不存在與l平行的直線．2．(2024·大連雙基測試)已知直線l，m，平面α，β，γ，則下列條件能推出l∥m的是()A．l?α，m?β，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m?α D．l?α，α∩β＝m解析：選B.選項A中，直線l，m也可能異面；選項B中，依據面面平行的性質定理，可推出l∥m，B正確；選項C中，直線l，m也可能異面；選項D中，直線l，m也可能相交，故選B.3．(2024·長沙市統一模擬考試)設a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.由題意，對于①，依據線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，依據a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對于③，依據a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對于④，依據a?α，b?β.α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個數是1，故選A.4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,5)BD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為．解析：如圖，連接AC，BD交于O點，連接OE，因為OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行6.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長等于．解析：因為EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側棱與底面垂直，∠CAB＝90°，且AC＝1，AB＝2，E為BB1的中點，M為AC上一點，AM＝eq\f(2,3)AC.(1)若三棱錐A1-C1ME的體積為eq\f(\r(2),6)，求AA1的長；(2)證明：CB1∥平面A1EM.解：(1)設AA1＝h，因為VA1-C1ME＝VE-A1C1M，S△A1C1M＝eq\f(1,2)A1C1×h＝eq\f(h,2)，三棱錐E-A1C1M的高為2，所以VE-A1C1M＝eq\f(1,3)×eq\f(h,2)×2＝eq\f(\r(2),6)，解得h＝eq\f(\r(2),2)，即AA1＝eq\f(\r(2),2).(2)證明：如圖，連接AB1交A1E于點F，連接MF.因為E為BB1的中點，所以AF＝eq\f(2,3)AB1，又AM＝eq\f(2,3)AC，所以MF∥CB1，又MF?平面A1EM，CB1?平面A1EM，所以CB1∥平面A1EM.8．(2024·南昌市摸底調研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：因為M，N分別為PD，AD的中點，所以MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因為CN?平面PAB，AB?平面PAB，所以CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，所以點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．因為AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝eq\r(3)，所以三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).[綜合題組練]1．如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列說法中，錯誤的為()A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．異面直線PM與BD所成的角為45°解析：選B.因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，則PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正確；由BD∥PN，所以∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°，D正確；由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以eq\f(PN,BD)＝eq\f(AN,AD)，eq\f(MN,AC)＝eq\f(DN,AD)，而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC.B錯誤．故選B.2．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿意條件時，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如圖所示，設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點3．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.4．(2024·南昌二模)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點E，F分別是棱AB，PB上的點，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點E，F的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F-DCE的體積．解：(1)因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝eq\f(1,2)AB，即點E是AB的中點．因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點E是AB的中點，所以點F是PB的中點．綜上，E，F分別是