江西省六校2024-2025學年高三下學期第二次聯考數學試題一、單選題1．若集合（i是虛數單位），，則（

）A． B． C． D．2．若命題，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知向量，其中，，且，則向量和的夾角是（）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．白舍窯位于江西省南豐縣白舍鎮，是宋元時期“江西五大名窯”，其瓷器以白瓷最為聞名，素有“白如玉，薄如紙”的特點．如圖是白舍窯生產的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部為一個圓臺，下部實心且外形為圓柱．現測得底部直徑為6cm，上部直徑為12cm，茶杯側面與水平面的夾角為，則該茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不計）約為（

）（單位：）A． B． C． D．6．已知函數，則在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．7．已知曲線，，其中．點，，是曲線與依次相鄰的三個交點．若是等腰直角三角形，則（

）A． B． C． D．8．已知正實數，滿足，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．數據，，，，，，，的第80百分位數為10B．若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數的值越接近于1C．已知隨機變量服從正態分布，越大，則隨機變量越集中D．若隨機變量，隨機變量，則10．已知函數，是函數的一個極值點，則下列說法正確的是（

）A．B．函數在區間上單調遞減C．過點能作兩條不同直線與相切D．函數恰有4個零點11．如圖，有一組圓都內切于點，圓，設直線與圓在第二象限的交點為，若，則下列結論正確的是（

）A．圓的圓心都在直線上B．圓的方程為C．若，則圓與軸有交點D．設直線與圓在第二象限的交點為，則三、填空題12．已知橢圓，過左焦點作直線與圓相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓的離心率為．13．在等比數列中，，是函數的兩個極值點，若，則的值為．14．設，，，，函數（e是自然對數的底數，）．從有序實數對中隨機抽取一對，使得恰有兩個零點的概率為．四、解答題15．在中，內角，，的對邊分別為，，．已知．(1)求角；(2)若，，求的周長．16．已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且點的橫坐標為6．(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與拋物線相交于，兩點，關于軸的對稱點為，證明：直線必過定點．17．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)證明：平面平面；(2)是邊上的點，且與平面所成角的正切值是，求的面積．18．已知函數．(1)若函數在定義域上單調遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：；(3)設，是函數的兩個極值點，證明：．19．甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式，當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留，當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙，當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．設投擲次后，球在乙手中的概率為．(1)求和；(2)求數列的通項；(3)設，數列的前項和為，若，證明：．參考答案1．B【詳解】，所以，故選：B2．C【詳解】命題的否定為:，,故選：C3．A【詳解】解：由于，，且，則，即有，，由于，，則與的夾角為．故選：A．4．B【詳解】因為，則，即，所以，則.故選：B.5．D【詳解】圓臺的體積即為該茶杯容量，如圖，cm，cm，過點分別作⊥，⊥于點，則cm，cm，其中圓臺的高為cm，故圓臺體積為.故選：D6．A【詳解】當時，，當時，，則，所以，，則所求切線方程為，即.故選：A7．D【詳解】因為點，，是曲線與依次相鄰的三個交點，不妨設點為曲線與在軸上的交點，如圖所示，為的中點，連接,易知，,與軸平行，所以又因為是等腰直角三角形，所以，所以又因為在曲線上，所以，又因為所以：即所以.故選：D8．C【詳解】由題設可得(當且僅當時取等號),即,由于，均為正實數，即，設，則當時，在單調遞減，當時，在單調遞增，故當，故當且僅當時取等號，因此，故，則，故，解得,所以,故選：C.9．AD【詳解】對于A，將數據，，，，，，，從小到大排列為，由于，故第80百分位數為第7個數10，A正確，對于B，若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數的絕對值越接近于1，B錯誤，對于C，正態分布，表示標準差，故越大，隨機變量越分散，C錯誤，對于D，隨機變量，則,故隨機變量，則，D正確，故選：AD10．AB【詳解】對于A中，由函數，可得，因為是函數的一個極值點，可得，解得，經檢驗適合題意，所以A正確；對于B中，由，令，解得或，當時，；當時，；當時，，故在區間上遞增，在區間上遞減，在區間上遞增，所以B正確；對于C中，設過點且與函數相切的切點為，則該切線方程為，由于切點滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，故有5個零點，所以D錯誤．故選：AB．

11．ABC【詳解】圓的圓心，直線的方程為，即，由兩圓內切連心線必過切點，得圓的圓心都在直線上，即圓的圓心都在直線上，故A正確；顯然，設點，則，而，解得，因此圓的圓心，半徑為，圓的方程為，則圓的方程為，故B正確；圓的圓心為，半徑，圓心到軸的距離為，由兩邊平方得，，，而所以當時，圓與軸有交點，C選項正確.在中，令，得點的縱坐標為，因此，故D錯誤．故選：ABC12．【詳解】設橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑，顯然，且，因此可得，所以，可得，可得，又，由余弦定理可得，解得，再由橢圓的定義可得，即，因此離心率.故答案為：13．16【詳解】的定義域為，，由題意得是方程的兩個不相等的正根，故，解得，由韋達定理得，故，因為為等比數列，所以，其中，故，所以，解得，滿足要求.故答案為：1614．【詳解】由題意，，，，，則有序實數對有81個.由，得，令，所以當時，，當時，，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，且時，；當時，，所以，要使有兩個零點，則，即，得，即.滿足該條件的有序實數對有：對于，可以取，共7個；對于，可以取，共4個；對于，可以取，共1個；所以所求事件的概率為.故答案為：15．(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，又因為，所以，因為，所以，所以，又因為，所以.（2）在中，由正弦定理，得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周長為.16．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設點的坐標為，因為點在第一象限，所以，雙曲線的漸近線方程為，因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以點的坐標為，又點在拋物線上，所以，所以，故拋物線的標準方程為：；（2）設直線的方程為，聯立，消得，，方程的判別式，即，設，則，設關于軸的對稱點為，則直線的方程為，根據拋物線的對稱性可知定點必定在軸上，令得：．直線過定點．17．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題設得，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點O，連接DO、BO，則DO⊥AC，又是正三角形，故.則在直角中，，又，所以，故.而,平面，故平面，而平面，所以平面⊥平面.（2）設，與平面所成角為,結合（1）結論，以為坐標原點,為軸，為軸，為軸，建立的空間直角坐標系，則，,,設平面的法向量，則,則,令,則,故,由,則故則,解得故,則,所以邊上的高為,故.18．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知函數的定義域為，在上恒成立，所以在上恒成立，又，當且僅當時，等號成立，所以，即的取值范圍是,（2）若，，所以，令，解得，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當且僅當時，等號成立.令，，所以，令，解得，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當且僅當時，等號成立，所以，又等號不同時成立，所以.（3）由題意可知，因為有兩個極值點，，所以，是方程的兩個不同的根，則所以，所以要證，即證，即證，即證，即證.令，則證明，令，則，所以在上單調遞增，則，即，所以原不等式成立.19．(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當投擲2次骰子后，球在乙手中，共有1種情況：甲甲乙，其概率為，故，當投擲3次骰子后，球在乙手中，