第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省焦作市普通高中2025年高考數學二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2?4x≤0}，則A∩B=A.[0,1] B.[?1,4] C.[?1,0] D.[1,4]2.若復數(2+i)(a+i)在復平面內對應的點位于y軸上，則實數a=(

)A.?2 B.?12 C.123.已知向量a=(1,3),b=(?2,4)，則b在a上的投影向量的長度為A.5 B.10 C.10 4.如圖，曲線AOB是拋物線C：x2=4y的一部分，且曲線AOB關于y軸對稱，|AB|=4，則點B到C的焦點的距離為(

)A.4

B.3

C.2

D.15.已知函數f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2A.2+3 B.2?3 C.6.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若該棱柱外接球的表面積為12π，則側面BA.12π B.16π C.20π D.24π7.為了抒寫鄉村發展故事、展望鄉村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉村”節目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節目，則歌曲和戲曲節目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節目前面演出的概率為(

)A.16 B.320 C.1108.已知a>0且a≠1，若函數f(x)=log(a+2)x?logax與g(x)=(a+2)xA.(0,3?1) B.(2?1,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一組樣本數據a，b，c，d，其中a>b>c>d，由這組數據得到的新樣本數據為a?2，b?2，c+2，d+2，則(

)A.兩組數據的極差一定相等 B.兩組數據的平均數一定相等

C.兩組數據的中位數可能相等 D.兩組數據的方差不可能相等10.已知F1，F2分別是雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交CA.點F1到C的漸近線的距離為3

B.|AB|=10

C.C的離心率為2

D.分別以BF111.塌縮函數在神經網絡、信號處理和數據壓縮等領域經常用到.常見的塌縮函數有tan?(x)=ex?e?xex+e?x,sig(x)=eA.E?D

B.i=12025[sig(i)+sig(?i)]=2025

C.方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為1

D.若關于x的不等式sig(e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為______．13.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23,c=1,b=2，則a=14.記[x]表示不超過x的最大整數.若正項數列{an}滿足an2+2四、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知等差數列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數列{bn}的首項為9，且{16.(本小題12分)

甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是14，乙每次擊中目標的概率是12，假設兩人是否擊中目標相互之間沒有影響．

(1)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；

(2)設甲擊中目標的次數為X，求X的分布列和數學期望．17.(本小題12分)

已知函數f(x)=aex．

(1)當a≥1e時，證明：f(x)≥lnx+1；

(2)當a>0時，若函數?(x)=f(x)?sinx?a在區間(0,18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為23．

(Ⅰ)求C的方程．

(Ⅱ)若C上的兩點(x1,y1)，(x2,y2)滿足y1y2x1x2=?b2a2，則稱點(x1,y1)，(x2,y2)為C上的一對伴點，設A答案解析1.【答案】A

【解析】解：由|x|≤1，解得?1≤x≤1，所以A={x||x|≤1}=[?1,1]，

由x2?4x≤0，得x(x?4)≤0，解得0≤x≤4，所以B={x|x2?4x≤0}=[0,4]，

所以A∩B=[0,1]．

故選：A．

解不等式求得集合A，B2.【答案】C

【解析】解：由(2+i)(a+i)=2a?1+(a+2)i，又(2+i)(a+i)在復平面內對應的點位于y軸上，所以2a?1=0，即a=12．

故選：C．

利用復數的乘法運算化簡復數，即可根據幾何意義求解．3.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,3),b=(?2,4)，

則a?b=?2+12=10，|a|=1+9=10，

則b在a4.【答案】C

【解析】解：已知拋物線C：x2=4y，

則其焦點為(0,1)，

又曲線AOB關于y軸對稱，|AB|=4，

則點B(2,1)，

所以點B(2,1)到C的焦點(0,1)的距離為2．

故選：C．

根據拋物線的標準方程和圖象的對稱性可得焦點坐標和點B的坐標，即可求距離．5.【答案】D

【解析】解：函數f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2)的圖象關于直線x=π3對稱，

則f(π3)=sin(2π3+φ)=±1，故2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，

解得φ=?π6+kπ,k∈Z，因?π2<φ<π26.【答案】B

【解析】解：由題意直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，該棱柱外接球的表面積為12π，

可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為B1C1，BC的中點，BC=B1C1=22．

設外接球的半徑為R，則4πR2=12π，R=3，所以(7.【答案】A

【解析】解：六個節目總的排序有A66，

當器樂在第三個位置演出時，共有A22A33=12種不同的演出順序，

當器樂在第四個位置演出時，共有A21A22A33=24種不同的演出順序，

當器樂在第五個位置演出時，共有A31A28.【答案】D

【解析】解：由題意a>0且a≠1，函數f(x)=log(a+2)x?logax與g(x)=(a+2)x+ax在區間(0,+∞)上都單調遞增，

可知f(x)=lnxln(a+2)?lnxlna=[1ln(a+2)?1lna]lnx，

因為f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增，所以1ln(a+2)?1lna>0，即1ln(a+2)>1lna，當a>1時，有ln(a+2)<lna，即2<0，不成立，

當0<a<1時，有ln(a+2)>0，lna<0，則1ln(a+2)>1lna成立，所以0<a<1；

又g(x)=(a+2)x+ax在區間(0,+∞)上都單調遞增，9.【答案】BC

【解析】解：假設原樣本數據為5，4，2，1，滿足a>b>c>d，則新樣本數據為3，2，4，3，兩組數據的極差不相等，錯誤；

B.因為a?2+b?2+c+2+d+2=a+b+c+d，所以兩組數據的平均數一定相等，正確；

C.由A中的數據可知兩組數據的中位數可能相等，正確；

D.假設原樣本數據為4，3，2，1，滿足a>b>c>d，則新樣本數據為2，1，4，3，這兩組數據一樣，故方差可能相等，錯誤．

故選：BC．

舉反例，如數據為5，4，2，1判斷A、C；如數據為4，3，2，1判斷D，根據平均數的定義判斷B．

本題主要考查統計的知識，屬于基礎題．10.【答案】ACD

【解析】解：作出示意圖如下：

根據題意可知雙曲線中a=1，

對于A，C，連接BF1，由題意得tan∠BF2F1=15，∠BF2F1為銳角，

所以sin∠BF2Fcos∠BF2F=15sin2∠BF2F+cos2∠BF2F=1，

解得cos∠BF2F1=14,sin∠BF2F1=154，

由于|AF1|=|AB|，所以|BF2|=|AB|?|AF2|=|AF1|?|AF2|=2a=2，

又|BF1|?|BF2|=2a=2，故|BF1|=4，

設|F1F2|=2c(c>0)，

則|BF1|2=|F1F2|2+|BF2|2?2|F1F2||BF2|cos∠BF11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，由于tan?(x)=ex(ex?e?x)ex(ex+e?x)=e2x?1e2x+1=1?2e2x+1，

因此函數tan?(x)在R上為增函數，且函數tan?(x)的值域為(?1,1)=D，

又因為函數sig(x)=ex1+ex=11+e?x∈(0,1)=E，因此E?D，所以選項A正確；

對于選項B，由于sig(x)+sig(?x)=ex1+ex+e?x1+e?x=ex1+ex+11+ex=1，

因此i=12025[sig(i)+sig(?i)]=2025，所以選項B正確；

對于選項C，由于2sig(x)=1+tanx，因此函數sig(x)=12+12tanx，

根據選項B知函數sig(x)圖象關于點(0,12)對稱，

又因為函數y=12+1212.【答案】π3【解析】解：根據題意可知，圓錐的表面積與底面積的比值為3，

設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，母線與底面所成的角為θ，

則πr2+πrlπr2=1+lr=3，則lr=2，所以cosθ=rl=13.【答案】7【解析】解：根據題意可知，∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23,c=1,b=2，

由面積相等，可得12bcsin∠BAC=12b?AEsin∠BAC2+12c?AEsin∠BAC2，

即12×2×1×sin∠BAC=12×2×14.【答案】10101

【解析】解：因為an2+2n?an?3n=0，an>0，所以(an+3n)(an?n)=0，

則an+3n>0，

所以an=n，則i=1n21ai=11+12+13+?+115.【答案】an=6n?14；

先單調遞減后單調遞增，有最小值?2，無最大值．【解析】解：等差數列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數列{bn}的首項為9，且{an+bn}是公比為2的等比數列．

(1)設{an}的公差為d，

由題可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=?8d=6，

所以an=a1+(n?1)d=?8+6(n?1)=6n?14，

即{an}的通項公式為an=6n?14．

(2)由題意得a1+b1=1，又16.【答案】3128；

分布列見解析，E(X)=3【解析】解：(1)設甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A，甲擊中目標2次且乙擊中目標0次為事件B1，甲擊中目標3次且乙擊中目標1次為事件B2，

則P(A)=P(B1)+P(B2)=C32?(14)2?(34)1?C30?(12)3+X0123P272791所以E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34．

(1)甲恰好比乙多擊中目標2次，包括甲恰好擊中目標217.【答案】證明見解析；

(0,1)．

【解析】解：(1)證明：要證f(x)≥lnx+1，即證aex≥lnx+1．

當a≥1e時，aex≥exe，可以考慮證明exe≥lnx+1，

令g(x)=?1?lnx?exe，則g′(x)=exe?1x在(0,+∞)上單調遞增，且g′(1)=0，

則當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，當x>1時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

∴x=1是g(x)的極小值點，也是最小值點，

故x>0時，g(x)≥g(1)=0，即exe≥lnx+1，

因此，當a≥1e時，f(x)≥lnx+1．

(2)?(x)=f(x)?sinx?a=aex?sinx?a，

則?′(x)=aex?cosx．

若a≥1，當x∈(0,π2)時，?′(x)>0，

則?(x)在區間(0,π2)上單調遞增，沒有極值點，舍去．

若0<a<1，設φ(x)=aex?cosx，則φ′(x)=aex+sinx>0在區間(0,π2)上恒成立，

∴φ(x)在區間(0,π2)上單調遞增，即?′(x)在區間(0,π2)上單調遞增，

又?′(π2)=aeπ2>018.【答案】(Ⅰ)x24+y23=1；

【解析】解：(Ⅰ)設C的半焦距為c(c>0)，

因為的離心率為12，短軸長為23，

所以ca=122b=23a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

則橢圓C的方程為x24+y23=1．

(Ⅱ)(i)證明：易知(1,32)，

設點A在C上的伴點的坐標為(x,y)，