2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題24.3銳角三角函數(shù)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020?河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A．512 B．125 C．513 【分析】直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52∴sinB=ACAB故選：D．2．（2019秋?玉環(huán)市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA=45，則ACA．125 B．165 C．203【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，AB＝4，cosA=45∴cosA=ACAB故AC=165故選：B．3．（2018秋?市中區(qū)校級(jí)期中）已知α為銳角，且tanα=13，則sinαA．23 B．105 C．31010【分析】根據(jù)tanα=13，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長(zhǎng)的表達(dá)式，即可推出sinα【解析】設(shè)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，則sinα=ac，tanα=ab，a2+b2＝∵tanα=13∴可設(shè)a＝x，則b＝3x，∴c=a2+∴sinα=ac故選：D．4．（2018秋?樅陽(yáng)縣期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA=13，則sinBA．13 B．23 C．33【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，則sinB＝cosA=13故選：A．5．（2020?雅安）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．63 D．123【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的邊角間關(guān)系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．【解析】法一、在Rt△ACB中，∵sinB=ACAB∴AB＝12．∴BC=A=144?36＝63．故選：C．法二、在Rt△ACB中，∵sinB＝0.5，∴∠B＝30°．∵tanB=ACBC∴BC＝63．故選：C．6．（2020秋?松江區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的長(zhǎng)為（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解后，再做出判斷即可．【解析】∵cotA=ACBC，BC∴AC＝BC?cotα＝2cotα，故選：D．7．（2020秋?安居區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B=45，則BCA．6 B．8 C．9 D．15【分析】由銳角三角函數(shù)定義知：cos∠B=BCAB【解析】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B=45，cos∠B=則BC＝AB?cos∠B＝10×45故選：B．8．（2020?柳州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB=BCABA．35 B．45 C．74 【分析】直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC=42∴cosB=BCAB故選：C．9．（2020?岳麓區(qū)模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則tan∠BAC的值是（）A．45 B．43 C．34 【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用正切函數(shù)的定義求解可得．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則tan∠BAC=BDAD故選：C．10．（2017?費(fèi)縣模擬）如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則sinα＝（）A．12 B．55 C．52 【分析】過(guò)D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易證△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，從而得出sin∠CDF，即可求sinα．【解析】過(guò)D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2，l3，l4的夾角都是90°，即EF與l2，l3，l4都垂直，∴DE＝1，DF＝2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADE+∠CDF＝90°，又∵∠α+∠ADE＝90°，∴∠α＝∠CDF，∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝1，∴在Rt△CDF中，CD=CF2∴sinα＝sin∠CDF=CFCD故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2021?海城市模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則tanA的值為512．【分析】根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則tanA=BCAC故答案為：512．12．（2019秋?揭陽(yáng)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=23，則BC：AC：AB＝5：2：3【分析】根據(jù)cosA=23，得到23=ACAB，設(shè)出AC＝2x【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA=23設(shè)AC＝2x，則AB＝3x，∴BC=AB2∴BC：AC：AB=5：2：3．13．（2020秋?肅州區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝25，cosB=23，則AB＝6【分析】設(shè)BC＝2x，根據(jù)余弦的定義用x表示出AB，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，得到答案．【解析】設(shè)BC＝2x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=23∴BCAB=∴AB＝3x，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（25）2+（2x）2＝（3x）2，解得，x＝2，∴AB＝3x＝6，故答案為：6．14．（2019?潮南區(qū)三模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tan∠B＝34．【分析】根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式即可．【解析】tan∠B=ACBC故答案為：34．15．（2021?濟(jì)寧三模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則tan∠ABC＝12．【分析】根據(jù)正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，利用網(wǎng)格計(jì)算即可．【解析】tan∠ABC=24故答案為：12．16．（2020?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）△ABC中，∠C＝90°，tanA=43，則sinA+cosA＝75【分析】根據(jù)tanA=43和三角函數(shù)的定義畫(huà)出圖形，進(jìn)而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA【解析】如圖，∵tanA=BCAC=∴設(shè)AB＝5x，則BC＝4x，AC＝3x，則有：sinA+cosA=BCAB故答案為：75．17．（2017秋?閔行區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝4sinαtanα．（用銳角α的三角比表示）【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∴∠BCD＝∠A＝α，∴CD＝AC?sinα＝4sinα，∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．故答案為：4sinαtanα．18．（2018?即墨區(qū)自主招生）已知三角函數(shù)的變換公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，則下列說(shuō)法正確的序號(hào)是②③④．①cos（﹣30°）=?32②cos75°=6?③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；④cos2x＝cos2x﹣sin2x．【分析】根據(jù)已知中的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可判斷．【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°=32②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°=32③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命題正確；④cos2x＝cosx?cosx﹣sinx?sinx＝cos2x﹣sin2x，命題正確；故答案為：②③④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2019秋?甘井子區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解析】由勾股定理得，AB=AC則sinA=BCAB=513，cosA=20．（2020秋?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求sinA的值．【分析】（1）關(guān)鍵根據(jù)勾股定理求出BC；（2）根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，∴BC=AB（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC=5，∴sinA=BCAB21．（2021?鹽城模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinC=35，AC＝8，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D求（1）邊AB的長(zhǎng)；（2）tan∠ABD的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，由sinC=35推出tanC=（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．由角平分線的性質(zhì)定理可知DE＝AD，設(shè)DE＝AD＝x，在Rt△ABD中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題；【解析】（1）∵在Rt△ABC中，sinC=3∴tanC=3又∵AC＝8∴AB＝6．（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC∴DA＝DE，設(shè)DA＝DE＝x，在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8．∴BC=62∵S△ABC=12×6×x+12∴x＝3，∴AD＝3，在Rt△ABD中，可得tan∠ABD=ADAB22．（2010秋?崇明縣期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC=35，求：sinB【分析】先由AD＝BC＝5，cos∠ADC=35及勾股定理求出AC及AB【解析】∵AD＝BC＝5，cos∠ADC=35∴CD＝3，在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC=AD2在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB=AC2∴sinB=ACAB23．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）點(diǎn)E在AB上，且BE＝2AE，過(guò)E作EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）先利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=ADAB（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BEAB=EFAD=BF【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC∴AB=AD2+B∴sinB=ADAB（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BEAB=∴EF=23AD=23×6＝4，BF∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF24．（2020秋?奉賢區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝2．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．（1）求cos∠ACB的值；（2）點(diǎn)E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)∠E＝∠A時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)．【分析】（1）通過(guò)作高