專題06二次函數中特殊三角形的存在性（八大題型）62題專練

壓軸題密押

通用的解題思路：

特殊三角形的討論問題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質、相似三角形

的判定及性質、銳角三角比的應用等數學核心知識，考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等

數學思想。雖部分特殊三角形的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單

一噗式，對學生提出了相當大的挑戰。然而萬變不離其宗，從特殊三角形本身的性質入手，結合邊、

角的相互轉化，就能撥開迷霧、追尋真跡。

一：等腰三角形的存在性

根據等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）月廬4G（2）除。；（3）。=".但

根據實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更

多的解，在解撅時需要尤其注意.

解題思路：

（1）利用幾何或代數的手段，表示出三角形的三邊對應的函數式；

（2）根據條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根.

二：直角三角形的存在性

在考慮AABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①NA=90°；②/B=90°：③

NC=90°.在大多數問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股

定理。

解題思路：

（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；

（2）計算出相應的邊長等信息；

（3）根據邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標.

三：等腰直角三角形的存在性

既要結合等腰三角形的性質，又要結合直角三角形的性質。需要分類討論哪個角是直角。

四：相似三角形的存在性

相似三角形存在性問題，分類討論步驟：

第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先確定己知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數值-初中階段衡量角度問題的計算手

段，二次函數角的存在性壓軸專題應用更為突出）

①若有已知的相等角，則其頂點對應；

②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步：確定相似后，根據對應邊成比例求解動點坐標：

①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊

的大小；

②若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之

后用相似來列方程求解。

壓軸題預測

題型一：等腰三角形的存在性

1.（2024?運城模擬）綜合與探究

如圖，拋物線），=-（丁+1X+6與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左側），與），軸交于點C,。是第一

象限拋物線上的一個動點，若點。的橫坐標為機，連接AC,BC,BD,CD.

（1）求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線8c的函數表達式.

（2）當四邊形ACD4的面積有最大值時，求出，〃的值.

（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點使A/VW是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的

4

2.(2024?青島一模)如圖1,已矢I二次函數)，=aP+/x+c(aH0)的圖象與y軸交于點40,4).與x軸交于

點B,C,點C坐標為(8,0),連接49、AC.

(1)請直接寫出二次函數y=ar?+|x+c(aw0)的表達式：

(2)判斷A43C的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,若點N在線段3C上運動(不與點8,。重合)，過點N作NM//AC,交AB于點M,當4LWV

面積最大時，求此時點N的坐標；

(4)若點N在x軸上運動，當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標.

3.（2024?遼寧一模）如圖1,正方形A58的頂點A,8的坐標分別為（0,10）,（8,4）,頂點C,。在第一

象限.點。從點A出發，沿正方形按Af8fC方向運動，同時，點Q從點E（4,0）出發，沿x軸正方向以

相同速度運動，當點P到達點。時，P,Q兩點同時停止運動，設運動時間為"s）,AOnQ的面積S（平

方單位）.

（1）正方形A6CD的邊長為；

（2）當點P由點A運動到點〃時，過點尸作軸交y軸于點M,已知隨著點夕在上運動時

焉=』，AOPQ的面積S與時間”s）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），

求：①點尸，。兩點的運動速度為;

②S關于/的函數關系式為—；

（3）當點尸由點8運動到點C時，經探究發現AOPQ的面積S是關于時間（s）的二次函數，其中S與，部

分對應取值如下表：

/101520

S2876m

求：，〃的值及S關于，的函數關系式.

（4）在（2）的條件下若存在2個時刻「/2（4＜，2）對應的△。也的形狀是以OP為腰的等腰三角形，點。

沿正方形按Af3fC方向運動時直接寫出當，=一4+-/,時，AOPQ的面積S的值.

34'

~o-ioT

圖1圖2

4.（2024?康縣一模）如圖，拋物線），=-5/+公+。與直線相交于A（0,3）,4（3,1）兩點.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出頂點坐標；

（2）點夕為x軸上一動點，當是以A4為底邊的等腰三角形時，求點夕的坐標；

（3）把拋物線沿它的對稱軸向下平移加/?>0）個單位長度，在平移過程中，該拋物線與直

線始終有交點，求力的最大值.

5.（2024?澄海區校級模擬）如圖，點A、8在工軸正半軸上，點C、。在），軸正半軸上，且OB=OC=3,

04=1,OD=2,過A、B、C三點的拋物線上有一點E,使得

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式.

（2）求點石的坐標.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點?，使AACP為等腰三角形，若存在，直接寫出點尸的坐標，若不存

在，請說明理由.

yfyf

備用圖

6.（2024?仁和區一模）如圖，已知拋物線），=*+版+4（〃/0）與x軸交于點4（1,0）和點3,與），軸交于點

c,對稱軸為＞!.

（1）求拋物線的解析式;

（2）如圖1,若點P是線段8C上的一個動點（不與點4,C重合），過點。作），軸的平行線交拋物線于點

Q,連接OQ.當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；

（3）如圖2,在（2）的條件下，。是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E,且NDQE=2/ODQ.在

），軸上是否存在點尸，使得4?律為等腰三角形？若存在，求點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

7.（2024?即黑區一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=o?+云+c交x軸于點A?0）,8（2,0）,

交y軸于點C（0,6）,在），軸上有一點E（0,-2）,連接AE.

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求A4DE面積的最大值及此時。點的坐標；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點尸，使為以鉆為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出產點的坐

標即可；若不存在，請說明理由.

8.（2023?青海）如圖，二次函數.?=-/+/狀+。的圖象與x軸相交于點A和點C（l,0）,交y軸于點8（0,3）.

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設二次函數圖象的頂點為P,對稱軸與x軸交于點Q,求四邊形AO3P的血枳（請在圖1中探索）；

（3）二次函數圖象的對稱軸上是否存在點M,使得AAM4是以4?為底邊的等腰三角形？若存在，請

求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

圖1圖2

9.（2024?浦東新區二模）在平面直角坐標系xO），中，已知直線y=-x+2與工軸、），軸分別交于點A、點8,

拋物線+/>x+c經過點A、8兩點，頂點為點C.

（1）求〃、c的值；

（2）如果點。在拋物線G的對稱軸上，射線AB平分NC4D,求點。的坐標；

（3）將拋物線G平移，使得新拋物線的頂點上在射線胡上，拋物線C2與〉，軸交于點尸，如果鉆加■是

等腰三角形，求拋物線C2的表式.

10.（2024?金州區一模）【概念感知】

兩個二次函數只有?次項系數不同，就稱這兩個函數為''異/，族二次函數”.

【概念理解】

如圖1,二次函數），=-gd+gx+2的圖象G交x軸于點A，B,交），軸于點C,點。為線段4c的中點,

1a

二次函數），=江+版+。與產一萬/+jx+2是“異》族二次函數”，其圖象C?經過點力.

（1）求二次函數.丫=仆2+法+。的解析式；

【拓展應用】

（2）如圖2,直線EF//8C，交拋物線G于E,F,當四邊形C/二應尸為平行四邊形時，求直線砂的解析

式；

（3）如圖3,點尸為x軸上一點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線C，C2于點M,N,連接MC,NC,

當&VWC為等腰二角形時，直接寫出點尸的坐標.

IM

Tjo]\\x//0]\\x

C2G1ClC1

c2c

圖1圖2圖3

II.（2024?濟南一模）如圖，已知二次函數y=or2+/?+c的圖象與x軸相交于4-1,0）,8（3,0）兩點，與），

軸相交于點C（0「3）,尸是第四象限內這個二次函數的圖象上一個動點，設點。的橫坐標為〃，過點。作

軸于點，，與BC交于點M.

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）將線段C4繞點C順時針旋轉90。，點A的對應點為4,判斷點4是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）求心Z+29的最大值；

（4）如果是等腰三角形，直接寫出點尸的橫坐標〃?的俏.

12.（2024?微山縣一模）如圖，頂點坐標為（1,4）的拋物線y=??+bx+c與x軸交于A,3兩點（點A在點

8的左邊），與y軸交于點C（Q3）,。是直線8c上方拋物線上的一個動點，連接40交拋物線的對稱軸于

點、E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC,當的周長最小時，求點。的坐標；

（3）過點。作“〃_Lx軸于點H：交直線8c于點"，連接AA.在點。運動過程中，是否存在使AAC廠為

等腰三角形？若存在，求點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

13.（2024?庫爾勒市一模）如圖，在平面宜角坐標系中，拋物線產=-/+灰+《.經過A（T0）,C（0,3）兩點,

并與x軸交于另一點8.

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）求點6坐標：

（3）設P（x,y）是拋物線上的一個動點，過點P作直線/_Lx軸于點M,交直線3C于點N.

①若點。在第一象限內，試問：線段夕N的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值;

若不存在，請說明理由；

②當點尸運動到某一位置時，能構成以3c為底邊的等腰三角形，求此時點2的坐標及等腰MPC的面積.

14.(2023?重慶)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=」/+ZUTC與x軸交于點A,B，與)，軸交于點

4

C,其中B(3,O),C(0,-3).

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點尸是直線AC下方拋物線上一動點，過點?作PQ_LAC于點D,求尸D的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點￡為點?的對應點，平移后的拋物線與)，軸交

于點尸，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.寫出所有使得以Q尸為腰的是等腰三角形的點Q

的坐標，并把求其中一個點。的條標的過程寫出來.

15.(2023?成都)如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=，￡+c經過點P(4,-3),與)，軸交于點

40,1),直線y(攵工0)與拋物線交于4,C兩點.

(I)求拋物線的函數表達式；

(2)若AABP是以鉆為腰的等腰三角形，求點B的坐標：

(3)過點M(0,〃?)作y軸的垂線，交直線于點D,交直線AC于點E.試探究：是否存在常數/〃，使得

。石始終成立？若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

題型二：直角三角形的存在性

16.(2024?安慶一模)如圖，拋物線)，=加+云+3與％軸交于點A(l,0)、B(3,0)兩點，與)，軸交于點C.

(1)求此拋物線對應的函數表達式;

(2)點E為直線/3C上的任意一點，過點E作％軸的垂線與此拋物線交于點b.

①若點E在第一象限，連接b、BF,求△口中面積的最大值；

②此拋物線對稱軸與直線8C交于點。，連接小，若AD瓦'為直角三角形，請直接寫出E點坐標.

17.(2024?任城區一模)已知拋物線)，=紈2+公+。(4工0)與工相交于4—2,0),8(6,0)兩點，與)，軸交于點

C(0,-3).

(I)求拋物線的表達式;

(2)如圖1,在對稱軸上是否存在點D,使兇CO是以4c為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點。的

坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,點P在直線3c下方的拋物線上，連接A尸交3c于點M,當也最大時，請直接寫出點〃的

圖1圖2

18.（2024?涼州區一模）拋物線＞，=渥+版-4（4/0）與x軸交于點4-2,0）和8（4,0）,與y軸交于點C,

連接8C.點P是線段8C下方拋物線上的一個動點（不與點8,C重合），過點。作y軸的平行線交8C于

M,交工軸于N.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過點C作。HJ_QV于點〃，BN=3CH.

①求點尸的坐標；

②連接C。，在），軸上是否存在點Q,使得ACPQ為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請

說明理由.

Q

19.（2024?德陽模擬）平面直角坐標系中，拋物線y=4（x-l）2+—與大軸交于A,4（4,0）兩點，與），軸交于

點C.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點4,。的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使ABCP是直角三角形？若存在，請直接寫出點夕的坐標，若不

存在，請說明理由；

（3）如圖，點M是直線8c上的一個動點，連接40,OM,是否存在點M使/W+0W最小，若存在，

請求出點”的坐標，若不存在，請說明理由.

yJk1咻

圖1圖2

20.（2023?煙臺）如圖，拋物線），=aP+/求+5與x軸交于A,B兩點，與），軸交于點C,AB=4.拋物線

的對稱軸x=3與經過點A的直線y=kx-\交于點D,與x軸交于點E.

（1）求直線A。及拋物線的表達式;；

（2）在拋物線上是否存在點M,使得AAD”是以40為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點M的

坐標；若不存在，請說明理由；

（3）以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為。3上一個動點，請求出PC+’PA的最小值.

備用圖

21.（2024?廣安二模）如圖，拋物線y=-/+樂+。交x軸于&T,O）,3兩點，交,，軸于點C（0,4）.

（1）求拋物線的函數解析式.

（2）點。在線段。4上運動，過點。作大軸的垂線，與4c交于點Q,與拋物線交于點尸，連接”，CP,

求四邊形AOCP的面積的最大值.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點使得以點A,C,M為頂點的三角形是直角三角形？若存在,

請求出點用的坐標；若不存在，請說明理由.

22.（2024?金山區二模）已知：拋物線），=/+云+°經過點4（3,0）、8（0,-3）,頂點為P.

（1）求拋物線的解析式及頂點P的坐標；

（2）平移拋物線，使得平移后的勉物線頂點Q在直線河上，且點Q在），軸右側.

①若點"平移后得到的點。在x軸上，求此時拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與y軸相交于點。，且AAOQ是直角三角形，求此時拋物線的解析式.

O

23.(2024?宿豫區二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A、B、C三點，已知8(3,0),

。(0,3).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點尸是拋物線上任意一點，若NPBC=ZACO,求點P的坐標；

(3)點M是拋物線上任意一點，若以M、B、。為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點”的坐標.

(備用圖)

24.(2024?雙峰縣模擬)如圖,拋物線y=ad+/zr+c與直線y=x+l相交于A(-1,0),8(4,〃?)兩點，且拋

物線經過點C(5,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線在第四象限上的一個動點，過點P作直線PDJLx軸于點。，交直線至于點石.當

PE=2QE時，求P點坐標；

(3)若拋物線上存在點T,使得zMAT是以AA為直角邊的直角三角形，宜接寫出點7的坐標.

25.（2024?濱州一模）如圖，拋物線），=*+/次+5與x軸交于A,B兩點,與），軸交于點C,AB=4.拋

物線的對稱軸x=3與經過點A的直線y=x-l交于點D,與x軸交于點E.

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線上是否存在點M,使得AAD”是以40為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點M的

坐標；若不存在，請說明理由；

（3）以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點。為二3上一個動點，請求出PC+，以的最小值.

備用圖

26.（2024?倉山區校級模擬）如圖I,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=o?+飯+石與工軸交于A,

B兩點,與），軸交于點C,且A點坐標為（-1,0）,拋物線的對稱軸為直線x=l,連接直線8c.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為笫一象限內拋物線上一動點，連接4）,交直線4c于點E,連接網），如圖2所示，記MDE

的面積為M，的面積為5,,求之■的最大值;

邑

（3）若點M為對稱軸上一點，是否存在以M,8,C為頂點的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件

的M點坐標；若不存在，請說明理由.

181圖2

27.（2024?荊州模擬）如圖，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點3、點C,經過4,C兩點的拋物線

>'=-x2+如+〃與x軸的另一個交點為A,頂點為P.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使以C,P,Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出

所有符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）將該拋物線在不軸上方的部分沿x軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸

下方的部分組成一個“M”形狀的圖象，若直線y=x+〃與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個公共點,

題型三：等腰直角三角形的存在性

28.（2024?雁塔區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線￡:），=/+瓜+。與大軸交于點人（|,（））和

點B,與），軸交于點C（0.3）.

（1）求出拋物線L的解析式和頂點坐標.

（2）點P是拋物線L對稱軸右側圖象上的一點，過點尸作工的垂線交匯軸于點Q,作拋物線L關于直線PQ

對稱拋物線V,則C■關于直線PQ的對稱點為C,若APCC為等腰直角三角形，求出拋物線〃的解析式.

29.（2024?涼州區二模）如圖1,已知拋物線y=or-4at+c的圖象經過點A（l,0）,B（〃?.O）,C（0,-3）,過

點C作CO/小軸交拋物線于點。，點尸是拋物線上的一個動點，連接PD,設點2的橫坐標為〃.

（1）填空：m=>a=?c=；

（2）在圖1中，若點P在x軸上方的拋物線上運動，連接OP,當四邊形OCDP面積最大時，求〃的值；

（3）如圖2,若點Q在拋物線的對稱軸/上，連接PQ、DQ,是否存在點?使APOQ為等腰直角三角形?

若存在,直接寫出所有符合條件的點產的坐標；若不存在，請說明理由.

y

A/：\B

30.（2024?高唐縣一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=M+加:-3與x軸交于點4-1,0）和點8（3,0）,

與了軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）若點P為第四象限內拋物線上一點，當APAC面積最大時，求點夕的坐標；

（3）若點尸為拋物線上一點，點Q是線段8C上一點（點Q不與兩端點重合），是否存在以尸、Q、O為

頂點的三角形是等腰更角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點尸的坐標；若不存在，靖說明理由.

備用圖

31.(2024?咸豐縣模擬)綜合與探究

如圖，拋物線y=W—3x-4與x軸交于A,B兩點、(點A在點3的左側)，與y軸交于點C,連接8c.若

點P在線段上運動(點P不與點4,C重合)，過點夕作x軸的垂線，交拋物線于點E,交x軸于點產.設

點P的橫坐標為〃?.

(1)求點A,B,。的坐標，并直接寫出直線8c的函數解析式.

(2)若2=2PE,求機的值.

(3)在點/的運動過程中，是否存在/〃使得△(?莊為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出〃，的值；若不

備用圖

題型四：相似三角形的存在性

32.（2024?金平區校級一模）如圖，二次函數），=*+區+4交x軸于點八（-1,0）和4（4,0）交），軸于點C.

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖，在第一象限有一點M,到O點距離為2,線段RV與的夾角為45。，且&V=,連接

CN,求OV的長度；

（3）對稱軸交拋物線于點Q,交BC交于點、E,在對稱軸的右側有一動直線/垂直于x軸，交線段5c于點

F,交拋物線手點P,動直線在沿x軸正方向移動到點8的過程中，是否存在點尸，使得以點P,C,F

為頂點的三角形與ADCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

33.（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=-x+3與x軸交于點8,

與y軸交于點C,拋物線y=+加+c經過8、C兩點，與x軸的另一交點為點A.

圖1圖2

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點。為直線8c上方拋物線上一動點，連接AC、CD,設直線BC交線段4）于點E,SCDE

的面積為3，A4CE的面積為S2.當工=■!■時，求點。的坐標；

S?2

（3）在（2）的條件下，且點O的橫坐標小于2,是否在數軸上存在一點P,使得以A、C、尸為頂點的

三角形與ABCD相似，如果存在，請直接寫出點尸的坐標；如果不存在，請說明理由.

34.(2024?亳州一模)已知拋物線.y=-(Y+〃x+c經過點(-5,-g)和(3,|).

(1)試確定該拋物線的函數表達式；

(2)如圖，設該拋物線與x軸交于A,〃兩點(點A在點4左側)，其頂點為C,對稱軸為/,/與其軸交

于點。.

①求證：AOBC是直角三角形；

②在/上是否存在點戶，使得以月，D,產為頂點的三角形與AOHC相似？若存在，請求出點的坐標；

若不存在，請說明理由.

35.(2023?隨州)如圖1,平面直帶坐標系xQy中，拋物線y=/+bx+c過點A(-l,0),3(2,0)和。(0,2),

連接AC,點PQ〃，〃)(",0)為拋物線上一動點，過點尸作*7_1_不軸交直線4c于點交x軸于點N.

(1)直接寫出拋物線和直線8C的解析式；

(2)如圖2,連接OM,當△OC"為等腰三角形時.求切的值：

(3)當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q,使得以O,尸，Q為頂點的三角形與以B,C,N為

頂點的三角形相似(其中點?與點。相對應)，若存在，直接寫出點?和點Q的坐標；若不存在，請說明理

由.

(圖1)（圖2）(備用圖)

36.（2024?青海一模）如圖，二次函數y=f+云+c的對稱軸是直線x=l,圖象與x軸相交于點4-1,0）和

點、B,交），軸于點C.

（1）求此二次函數的解析式；

（2）點P是對稱軸上一點，當MOCSAA總時，求點P的坐標（請在圖1中探索）；

（3）二次函數圖象上是否存在點M,使AA8C的面積卻與的面積邑相等？若存在，請求出所有滿

足條件的點例的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

37.（2024?虹口區二模）新定義：已知拋物線），=加+版+c?（其中（加工0）,我們把拋物線廣^+辦+人

稱為）=蘇+瓜+c的“輪換拋物線”.例如:拋物線y=2f+3x+l的“輪換拋物線”為），+2x+3.

已知拋物線。1：），=4〃次2+（46-5口+加的“輪換拋物線”為。2,拋物線C、C?與），軸分別交于點石、F,

點E在點〃的上方，拋物線。2的頂點為

（1）如果點石的坐標為（0,1）,求拋物線G的表達式；

（2）設拋物線G的對稱軸與直線y=3x+8相交于點Q,如果四邊形PQ所為平行四邊形，求點石的坐標；

（3）已知點在拋物線G上，點N坐標為（-2,-7；）,當APMV~APE尸時，求機的值.

八y

----------------------------------------------?

Ox

備用圖

38.（2024?安溪縣模擬）已知拋物線G:丁二??-+1與x軸只有一個公共點A.

（1）求a的值：

（2）若將拋物線G：y=4ad向右平移1個單位長度得到拋物線Q,拋物線G與V軸交于點8,頂點為。.

①試問：拋物線C3上是否存在這樣的點E,使得MDESMBD?

②若直線），=依-4+1與拋物線C3交于P（x〃，yp）,Q（“,"）（4<%）,點Q關于拋物線G的對稱軸的

s

對稱點記為0（。與。不重合），0M//），軸交直線PQ于點M,直線切與直線Q'M交于點N,求三”上的

值.

yA

1-

---------------1>

O1-------r

39.（2024?蘇州一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=加-8?+10。-1（。＜0）與x軸的交點分別為

A（6,0）,B[X2,0）,其中（。＜七＜玉），且他=4,與y軸的交點為C,直線CO//x軸，在x釉上有一

動點￡（1,0）,過點石作直線/_1_工軸，與拋物線、直線CD的交點分別為尸、Q.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當0＜/,,8時，求&4PC面積的最大值；

⑶當，＞2時，是否存在點尸，便以C、尸、Q為頂點的三角形與AQ8C?相似？若存在，求出此Ml的值；

若不存在，請說明理由.

備用圖

40.（2024?雁塔區校級四模）已知拋物線￡,:y=f+加+c與x軸交于點A、B（點A在點8的左側），與），

軸交「點C（0,-3）,對稱軸為直線x=1.

（1）求此二次函數表達式和點4、點8的坐標；

（2）點尸為第四象限內拋物線。上一動點，將拋物線右平移得到拋物線拋物線區,使得拋物線區的頂點

為點P，拋物線A與y軸交于點E,過點尸作y軸的垂線交），軸于點D.是否存在這樣的點P,使得以點?、

D、石為頂點的三角形與兇OC用似，請你寫出平移過程，井說明理由.

41.（2023?樂至縣）如圖，直線y=3X+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,v=--x2+

-44

過A、3兩點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點。是拋物線在第二象限內的點，過點。作人?軸的平行線與直線A3交于點C,求。C的長的最大值；

（3）點Q是線段49上的動點，點〃是拋物線在第一象限內的動點，連結PQ交），軸于點N.是否存在點

備用圖

42.（2024?恩施市校級一模）如圖，拋物線丁=潑+云+。交x軸于A（-4,。），5（1,0）,交），軸于。點，且

OC=2OB.

（1）求拋物線的解析式：

（2）在直線4C上找點/）,使A48O為以A4為腰的等腰三角形，求。點的坐標.

（3）在拋物線上是否存在異于8的點過P點作PQ_LAC于Q,使AAPQ與AABC相似？若存在，請求

出P點坐標；若不存在，請說明理由.

43.（2024?陽泉模擬）綜合與探究

如圖，二次函數-1x-d的圖象與龍軸交于A,8兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C,

對稱軸與％軸交于點。，連接4C，作直線8c.

（1）求力，B,C三點的坐標，并直接寫出直線4c的表達式.

（2）如圖1,若點〃是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，其橫坐標為小，過點P分別作x軸、），軸

的垂線，交直線/SC于點用，N,試探究線段何N長的最大值.

（3）如圖2,若點。是二次函數圖象上的一個動點，直線8Q與），軸交于點“，連接C7）,在點Q運動的

過程中，是否存在點H，使以“，C,5為頂點的三角形與AAC。相似？若存在，請直接寫出點。的坐標；

若不存在，請說明理由.

44.(2024?龍江縣一模)綜合與探究:

如圖，拋物線y=aF-6QX+c(axO)與工軸交于點A,B(點力在點8的右側)，與)，軸交于點C,頂點為

N,直線y=-;4-1與x軸交于點4,與拋物線交于點D,連接4C,DN,sinZOCB=^~.

(1)求拋物線的解析式；

(2)①點。的坐標為；

@ZACB=°；

③點在拋物線上，-4<〃;<4,則”的取值范圍是

(3)若點P在直線AC上，且SA%:S8。戶=1:3,求4P的值；

(4)在第四象限內存在點E,使MCE■與AABC相似，且AC為AACE的直角邊，請直接寫出點石的坐標.

45.(2023?武漢)拋物線C：y=d-2x-8交x軸于A,8兩點(A在8的左邊)，交)，軸于點C.

(1)直接寫出A,B,C三點的坐標；

(2)如圖(1),作直線x=?0<i<4),分別交x軸，線段8C,拋物線G于。，E,F三點,連接b,

若MOE與△C"相似，求/的值；

(3)如圖(2),將拋物線G平移得到拋物線C?,其頂點為原點.直線)，=2x與拋物線交于O,G兩點，

過OG的中點〃作直線MN(異于直線OG)交拋物線C2于Af,N兩點，直線與直線GN交于點〃.問

點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由.

46.(2023?沈陽)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數)，=；丁+法+。的圖象經過點40,2),與x軸的

交點為點8(75,0)和點c.

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)點E,G在)，軸正半軸上，OG=2OE,點。在線段OC上，OD=&OE.以線段OD，OE為鄰邊

作矩形ODFE,連接GD,設OE=a.

①連接R7,當AG。。與此￡)。相似時，求。的值；

②當點。與點。重合時，將線段8繞點G按逆時針方向旋轉60。后得到線段G”，連接尸〃，FG,將

△G/7/繞點尸按順時針方向旋轉。(0。＜心,180。)后得到△G/廳，點G,〃的對應點分別為G，、H：連

接DE.當的邊與線段OE垂直時，請直接寫出點”，的橫坐標.

備用圖備用圖

47.（2024?濟南模擬）拋物線），=ad-$+8與x軸交于點A（4,0）,次/,0）兩點，與），軸交于點C,直線

AC:y=辰+8,點P在拋物線上，設點尸的橫坐標為/〃.

（1）求拋物線的表達式和/,我的值；

（2）如圖1,過點〃作x軸的垂線與直線AC交于點M,過點C作C〃_LQM,垂足為點”，若

&CHMS?BM,求"】的值；

（3）如圖2,若點尸在直線4c下方的拋物線上，過點P作PQ18C,垂足為Q,求CQ+g。。的最大值.

48.（2024?錫山區一模）如圖，拋物線y=a爐+2x+c交x軸交于A,8（3,0）兩點（點A在點3的左邊）,

交y軸于點C,連接4C,其中O8=OC.

（1）求拋物線的解析式：

PFI

（2）點P為線段8C上方拋物線上一動點，過點尸作P￡：J.4C于點E,若二=一，求點尸的坐標；

BE2

（3）過線段3C上的點E作x軸的垂線交拋物線于點/，當AEFC與A48C相似時，點E的坐標為

49.(2024?倉山區校級模擬)如圖I,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=o?+以+6與工軸交于A，

B兩點,與)，軸交于點C,且A點坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸為直線x=l,連接直線8c.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。為笫一象限內拋物線上一動點，連接4),交直線BC于點E,連接如圖2所示，記帖DE

的面積為3，4腿的面積為S,,求之■的最大值；

.邑

(3)若點M為對稱軸上一點，是否存在以M,8,C為頂點的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件

的M點坐標；若不存在，請說明理由.

50.(2024?荊州模擬)如圖，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點3、點C,經過8,C兩點的拋物線

>'=-X2+心+〃與A軸的另一個交點為A，頂點為P.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使以C,P,Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出

所有符合條件的點。的坐標：若不存在，請說明理由.

(3)將該拋物線在x軸上方的部分沿x袖向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸

下方的部分組成一個“M”形狀的圖象，若直線y=x+0與該"M"形狀的圖象部分恰好有三個公共點,

51.(2024?平涼一模)如圖，拋物線y=辦2+云+。經過點A(-2,O),點5(4,0)，交)，軸于點C(0.4).連接AC,

BC.。為。8上的動點，過點。作EO_Lx軸，交拋物線于點￡,交BC于點G.

(D求這條拋物線的函數表達式：

(2)過點石作樣_L8C,垂足為尸，設點。的坐標為(皿0),請用含〃?的代數式表示線段囪的長，并求

出當機為何值時EG有最大值，最大值是多少？

(3)點。在運動過程中，是否存在一點G,使得以O,D,G為頂點的三角形與A4OC相似.若存在，

請求出此時點G的坐標；若不存在，請說明理由.

52.(2023?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=-一V+bx+c與x軸分別交于點A(-2,0),4(4,()),

與y軸交于點C,連接8C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是第一象限內拋物線上的一個動點，過點?作直線/JLx軸于點交BC于點N,

連接CM,PB，PC.APC8的面積記為5，ABCM的面積記為S2,當SyS2時，求〃?的值；

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線上，直線MQ與直線8c?交于點”，當△〃的與MCM相似M，請

直接寫出點。的坐標.

備用圖

53.(2024?在平區一模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=」/+云+c與x軸分別相交于4-2,0),

4

8(8,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點。是第一象限內該拋物線上的動點，過點。作x軸的垂線交AC于點E,交匯軸于點尸.

①求QE+M的最大值；

②若6是AC的中點，以點C,D,E為頂點的三角形與AAOG相似，求點。的坐標.

54.（2024?海勃灣區校級模擬）如圖（1）,在平面直角坐標系中，拋物線廣加+以-4（〃工0）與.r釉交于A,

8兩點（點A在點8的左側），與），軸交于點C,點A的坐標為（-1,0）,且OC=O8,點。和點。關于拋物

線的對稱軸對稱.

（1）分別求出。，〃的值和直線AD的解析式；

（2）直線4）下方的拋物線上有一點P,過點P作PHLAD于點H,作PM平行于y軸交直線4）于點M,

交；軸于點V,求AT"做的周長的最大值；

（3）在（2）的條件下，如圖2,在直線石尸的右側、x軸下方的拋物線上是否存在點N,過點N作NG_Lx

軸交x軸于點G,使得以點石、N、G為頂點的三角形與A4OC相似？如果存在，請直接寫出點G的坐標；

圖⑴圖(2)備用圖

55.（2024?涼州區一模）在平面直角坐標系xO.y中，已知拋物線y=ar?-3ax+c與x軸分別交于八（一1,0）,

B兩點、,與），軸交于點C（0,-2）.

即圖2

（I）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接4）,BC交于點、E,求絲的最大值；

AE

（3）如圖2,連接AC,BC,過點O作直線"/8C,點尸，Q分別為直線/和拋物線上的點，試探究：在

第一象限是否存在這樣的點。，使△PQASACAS.若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

56.（2024?香洲區校級一模）已知拋物線），=?+云+4（。＞0）與x軸交于點A（l,0）和8（4,0）,與），軸交于

點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖I,點尸是線段8c上的一個動點（不與點8,C重合），過點尸作大軸的垂線交拋物線于點Q,

聯結OQ