5道微分方程計算練習題及答案1.二階常微分方程5y''+86y'=0的通解主要內容：本文通過一階微分方程分離變量法、一階齊次微分方程和二階常系數微分方程通解計算，介紹二階常微分方程5y''+86y'=0通解的計算步驟。主要步驟：※.分離變量法由5y''=-86y'有：5d(y')=-86y'dxeq\f(5d(y'),y')=-86dx,兩邊同時積分有：5eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，即：5eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，5lny'=-86x+C00,對方程變形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(86x,5)+eq\f(C00,5)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(86x,5)),再次積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))dx))，即：y=-C01*eq\f(5,86)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))deq-\f(86x,5)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。※.一階齊次微分方程求解因為5(y')'+86y'=0，即：(y')'+eq\f(86,5)y'=0，按照一階齊次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,5)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,5)dx)))dx))+C0)，進一步化簡有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))，繼續對積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))dx))，即：y=-C0*eq\f(5,86)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))deq-\f(86x,5)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。※.二階常系數微分方程求解該微分方程的特征方程為5r2+86r=0，即：r(5r+86)=0，所以r1=-eq\f(86,5)，r2=0。此時二階常系數微分方程的通解為：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。2.微分方程y'=eq\f(5x-8y,8x+6y)的通解計算步驟主要內容：本文通過換元法，介紹計算微分方程y'=eq\f(5x-8y,8x+6y)的通解的計算過程。主要過程：根據題意有：eq\f(dy,dx)=eq\f(5x-8y,8x+6y)，eq\f(dy,dx)=eq\f(5-8*eq\f(y,x),8+6*eq\f(y,x)).設eq\f(y,x)=u，即y=xu，求微分為dy=udx+xdu,有：eq\f(dy,dx)=u+xeq\f(du,dx)，代入微分方程有：u+xeq\f(du,dx)=eq\f(5-8u,8+6u),xeq\f(du,dx)=eq\f(5-8u,8+6u)-u,微分方程右邊通分得到：xeq\f(du,dx)=eq\f((5-8u)-u(8-6u),8+6u)，xeq\f(du,dx)=-eq\f(6u2+16u-5,8+6u)，eq\f((6u+8)du,6u2+16u-5)=-eq\f(dx,x),兩邊同時取積分得：eq\i(,,eq\f((6u+8)du,6u2+16u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x)),eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f((u+16)du,6u2+16u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x))，eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f(d(6u2+16u-5),6u2+16u-5))=-ln|x|，eq\f(1,2)ln|6u2+16u-5|+ln|x|=c1，xeq\r(6u2+16u-5)=ec1，x2(6u2+16u-5)=C，將u=eq\f(y,x)代入方程得微分方程的通解為：x2[6(eq\f(y,x))2+16eq\f(y,x)-5]=C,6y2+16xy-5x2=C。3.微分方程y'=(9x5-5)y4的計算主要內容：本文通過分離變量微分方程計算法，介紹微分方程y'=(9x5-5)y4的主要計算步驟。主要步驟：因為y'=(9x5-5)y4，所以eq\f(dy,dx)=(9x5-5)y4,由微分方程分離變量計算有：eq\f(dy,y4)=(9x5-5)dx,兩邊同時取積分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y4))=eq\i(,,(9x5-5)dx)eq\i(,,y-4dy)=eq\i(,,(9x5-5)dx)-eq\f(y(-3),3)=9eq\i(,,x5)dx-5eq\i(,,)dx-eq\f(y(-3),3)=eq\f(3,2)*x6-5x+C1，兩邊同時乘以6，則有：-2*y(-3)=9x6-30x+C將方程變形為：y3(9x6-30x+C)+2=0。4.微分方程y'=(13x8+13)y9的計算主要內容：本文通過分離變量微分方程計算法，介紹微分方程y'=(13x8+13)y9的主要計算步驟。主要步驟：因為y'=(13x8+13)y9，所以eq\f(dy,dx)=(13x8+13)y9,由微分方程分離變量計算有：eq\f(dy,y9)=(13x8+13)dx,兩邊同時取積分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y9))=eq\i(,,(13x8+13)dx)eq\i(,,y-9dy)=eq\i(,,(13x8+13)dx)-eq\f(y(-8),8)=13eq\i(,,x8)dx+13eq\i(,,)dx-eq\f(y(-8),8)=eq\f(13,9)*x9+13x+C1，兩邊同時乘以72，則有：-9*y(-8)=104x9+117x+C將方程變形為：y8(104x9+117x+C)+9=0。5.微分方程28ydx+(4x2-19x)dy=0的通解計算主要步驟：解：由微分方程的分離變量積分法來求通解。因為28ydx+(4x2-19x)dy=0，所以(4x2-19x)dy=-28ydx，即：(4x2-19x)eq\f(dy,dx)=-28y，進一步變形為：eq\f(dy,y)=28eq\f(dx,19x-4x2),兩邊同時對x積分得：eq\i(,,eq\f(dy,y))=28eq\i(,,eq\f(dx,19x-4x2))=28eq\i(,,eq\f(dx,x(19-4x))),ln|y|=eq\f(28,19)(eq