二面角的求法教學設計?一、教學目標1.知識與技能目標讓學生系統(tǒng)回顧二面角的概念，能準確找出二面角的平面角。熟練掌握求二面角大小的常用方法，如定義法、三垂線法、向量法等，并能根據(jù)題目條件選擇合適的方法求解二面角。2.過程與方法目標通過典型例題的分析與講解，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的邏輯思維能力和空間想象能力。引導學生總結歸納求二面角的方法，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和知識遷移能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學生體會數(shù)學的嚴謹性和科學性，增強學生學好數(shù)學的信心。

二、教學重難點1.教學重點二面角平面角的概念及常見求法。如何根據(jù)題目條件靈活選擇合適的方法求二面角。2.教學難點二面角平面角的找法，特別是在復雜圖形中準確找出二面角的平面角。向量法中平面法向量的求解及二面角與法向量夾角之間的關系。

三、教學方法1.講授法：系統(tǒng)講解二面角的概念、求法等基礎知識，使學生形成清晰的知識框架。2.討論法：組織學生討論典型例題的解法，鼓勵學生積極思考、發(fā)表見解，培養(yǎng)學生的合作交流能力和思維能力。3.練習法：通過課堂練習和課后作業(yè)，讓學生鞏固所學知識，提高運用知識解決問題的能力。

四、教學過程

（一）導入（5分鐘）1.展示一些含有二面角的實際生活圖片，如建筑物的墻面與地面的夾角、打開的書本的兩個頁面的夾角等，引導學生觀察并思考這些夾角在數(shù)學中的表示二面角。2.提問學生二面角的相關概念，如什么是二面角、二面角的平面角等，回顧舊知，為新課的學習做好鋪墊。

（二）知識回顧（10分鐘）1.二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。記作：二面角αlβ或二面角PABQ等。2.二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

強調(diào)二面角平面角的三個要素：頂點在棱上。兩條邊分別在兩個半平面內(nèi)。兩條邊都與棱垂直。

（三）求法講解（25分鐘）1.定義法例1：如圖，已知三棱錐ABCD的各棱長均為2，求二面角ABCD的大小。分析：取BC的中點E，連接AE、DE。因為三棱錐各棱長均為2，所以△ABC和△DBC都是等邊三角形，則AE⊥BC，DE⊥BC。所以∠AED就是二面角ABCD的平面角。求解：在等邊三角形ABC中，AE=DE=\(\sqrt{3}\)，又AD=2，根據(jù)余弦定理\(\cos\angleAED=\frac{AE^{2}+DE^{2}AD^{2}}{2\cdotAE\cdotDE}=\frac{3+34}{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\)，所以\(\angleAED=\arccos\frac{1}{3}\)，即二面角ABCD的大小為\(\arccos\frac{1}{3}\)。總結：定義法求二面角的步驟：找出二面角的棱。在兩個半平面內(nèi)找（作）出垂直于棱的射線。確定二面角的平面角。求解平面角。

2.三垂線法例2：如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，求二面角BPCD的大小。分析：過B作BE⊥PC于E，連接DE。因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，則BC⊥PB。由PA=AB，可得PB=\(\sqrt{2}\)AB。在Rt△PBC中，利用等面積法可求得BE的長度。又因為BC=CD，PB=PD，所以△PBC≌△PDC，則DE⊥PC，所以∠BED就是二面角BPCD的平面角。求解：設PA=AB=1，則PB=\(\sqrt{2}\)，BC=1，PC=\(\sqrt{3}\)。由\(\frac{1}{2}PB\cdotBC=\frac{1}{2}PC\cdotBE\)，可得BE=\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。同理可得DE=\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。在△BDE中，BD=\(\sqrt{2}\)，根據(jù)余弦定理\(\cos\angleBED=\frac{BE^{2}+DE^{2}BD^{2}}{2\cdotBE\cdotDE}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}2}{2\times\frac{\sqrt{6}}{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{1}{2}\)，所以\(\angleBED=120^{\circ}\)，即二面角BPCD的大小為\(120^{\circ}\)?？偨Y：三垂線法求二面角的步驟：確定二面角的一個半平面α及其中的一條直線a。過另一個半平面β內(nèi)一點A作直線a的垂線AB，垂足為B。過點B作棱l的垂線BC，垂足為C，連接AC，則∠ABC就是二面角的平面角或其補角。求解平面角。

3.向量法例3：如圖，在正方體ABCDA?B?C?D?中，棱長為1，求二面角A?BDC?的大小。分析：以D為原點，分別以DA、DC、DD?所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系。則\(\overrightarrow{DB}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{DA_{1}}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{DC_{1}}=(0,1,1)\)。設平面A?BD的法向量為\(\overrightarrow{n_{1}}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，平面C?BD的法向量為\(\overrightarrow{n_{2}}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)。由\(\begin{cases}\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{DB}=0\\\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{DA_{1}}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x_{1}+y_{1}=0\\x_{1}+z_{1}=0\end{cases}\)，令\(x_{1}=1\)，則\(y_{1}=1\)，\(z_{1}=1\)，所以\(\overrightarrow{n_{1}}=(1,1,1)\)。由\(\begin{cases}\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{DB}=0\\\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x_{2}+y_{2}=0\\y_{2}+z_{2}=0\end{cases}\)，令\(x_{2}=1\)，則\(y_{2}=1\)，\(z_{2}=1\)，所以\(\overrightarrow{n_{2}}=(1,1,1)\)。求解：設二面角A?BDC?的大小為θ，根據(jù)向量法求二面角公式\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\vert\)，\(\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}=1\times1+(1)\times(1)+(1)\times1=1\)，\(\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，則\(\cos\theta=\vert\frac{1}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\vert=\frac{1}{3}\)，所以\(\theta=\arccos\frac{1}{3}\)。總結：向量法求二面角的步驟：建立空間直角坐標系。求出兩個半平面的法向量\(\overrightarrow{n_{1}}\)、\(\overrightarrow{n_{2}}\)。計算\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\vert\)，其中θ為二面角的大小或其補角。根據(jù)計算結果確定二面角的大小。

（四）課堂練習（15分鐘）1.如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC，求二面角ADEP的大小。2.已知正三棱柱ABCA?B?C?的各棱長都為1，M是底面BC邊的中點，N是側棱CC?上的點，且CN=\(\frac{1}{4}\)CC?，求二面角B?AMN的大小。3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M。求二面角ABMC的大小。

學生獨立完成練習，教師巡視指導，及時糾正學生的錯誤，解答學生的疑問。練習結束后，選取部分學生上臺展示解題過程，教師進行點評，強調(diào)解題的關鍵步驟和注意事項。

（五）課堂小結（5分鐘）1.引導學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，包括二面角的定義、平面角的概念以及求二面角的三種常見方法（定義法、三垂線法、向量法）。2.請學生總結每種方法的適用條件和求解步驟，強調(diào)在解題過程中如何根據(jù)題目條件靈活選擇合適的方法。3.鼓勵學生在今后的學習中多做練習，熟練掌握求二面角的方法，提高空間想象能力和邏輯思維能力。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習題中與二面角相關的練習題。2.拓展作業(yè)：如圖，在直三棱柱ABCA?B?C?中，∠BAC=90°，AB=AC=AA?=1，D是棱CC?上的一點，P是AD的延長線與A?C?的延長線的交點，且PB?∥平面BDA?。求二面角AA?DB的大小。已知四棱錐PABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點。求二面角NBMC的大小。