第九章不等式及不等式組

第一課時不等式及其解集

課型：新授

課時：1課時

主備人：初二數學組

學習目標：

1、了解不等式的概念，能用不等式表示簡單的不等關系。

2、知道什么是不等式的解，什么是解不等式，并能判斷一個數是否是一個不等

式的解。

3、理解不等式的解集，能用數軸正確表示不等式的解集，對于一個較簡單的不

等式能直接說出它的解集。

學習重點：不等式的解集的表示。

學習難點：不等式解集的確定。

學習過程：

一、自主學習

數量有大小之分，它們之間有相等關系,也有不等關系，請你用恰當的式子表

示出下列數量關系：

(Da及1的和是正數；(2)y的2倍及1的和大于3；

(3)x的一半及x的2倍的和是非正數；(4)c及4的和的30%不大于-2；

(5)x除以2的商加上2至多為5；(6)a及b兩數的和的平方不可能大

于3。

解：(1)__________________(2)__________________

(3)(4)

(5)(6)

二、合作探究：

1、像上面那樣，用符號來表示關系的式子叫做不等式不等號

有________

2、當x=78時，不等式x>50成立，那么78就是不等式x>50的解。

及方程類似，我們把使不等式_____的叫做不等式的解c

完成P115思考中提出的問題。

3、一個含有未知數的不等式中，不等式的解，組成這個不等式的

求不等式的的過程叫做解不等式。

4、你能畫出數軸并在數軸上表示出下列不等式的解集嗎？

(1)x>3(2)x<

2(3)yAl

三、鞏固運用：

1、對于下歹！J各式中：①3>2；②xWO；(3)a<0；④x+2=5；⑤2x+xy+y；⑥a*2+1

>5；

@a+b>Oo不等式有(只填序號)

2、下列哪些數值是不等式x+3>6的解？那些不是？

一4,一2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12。

你還能找出這個不等式的其他解嗎？這個不等式有多少個解?

3、用不等式表示。

(I)a及5的和是正數;(2)b及

15的和小于27；

(3)x的4倍大于或等于8；(4)d及e的

和不大于Oo

4、直接寫出下列不等式的解集，并把解集在數軸上表示出來:

1)x+2>6；(2)2x<

10；(3)x-2^0.5.

四、反思總結:

五、達標檢測

1、下列數學表達式中，不等式有()

①-3<0；②4x+3y>0；③x=3；④xW2；⑤x+2>y+3

(A)1個(B)2個(C)3個(D)4

個

2、當x=-3時，下列不等式成立的是()

(A)x-5<-8(B)2x+2>0(C)3+x<

0(D)2(l-x)>7

3、用不等式表示:

學習重點：不等式的性質和解法.

學習難點：不等號方向的確定.

學習過程：

一、自主學習

1、等式的基本性質有哪些？

2、不等式又有哪些基本性質？

二、合作探究:

1、用>或<符號填空：

(1)5>3,5+2______3+2,5-23-2

(2)-K3,-1+2__3+2,-1-33-3

(3)6>2,6X5—___2X5,6X(-5)2X(-5)

(4)-2<3,(-2)X6______3X6,(-2)X(-6)3X(-6)

(5)—4>—6(—4):2(—6)4-2,(—4)X(—2)(—6)

X(-2)

2、從以上練習中，你發現了什么規律？

(1)當不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(正數或負數)時，不等號的方

向。

(2)當不等式的兩邊同時乘上或除以同一個正數時，不等號的方向

(3)當不等式的兩邊同時乘上或除以同一個負數時，不等號的方向

(4)當不等式的兩邊同時乘上0時，不等式o

請你再用幾個例子試一試，還有類似的結論嗎？請把你的發現告訴同學們并及

他們交流：

你能總結出不等式的性質了嗎？

不等式性質

1：O

用數學式子表示為：O

不等式性質

2：o

用數學式子表

為：。

不等式性質

3：o

用數學式子表示為：O

3、說出不等式性質及等式性質的相同之處及不同之處嗎？

三、鞏固運用：

例1利用不等式的性質，填”>"，：<”

⑴若a>b,則2a+l2b+l；(2)若-1.25y<10,則y-8；

⑶若a<b且c>0,則ac+cbc+c；(4)若a〉O,b〈O,c〈O,則(a-b)c0。

例2利用不等式性質解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來。

2

(l)x7>26；⑵3x〈2xi1；⑶3x>50；

(4)-4x>3o

例3某長方體形狀的容器長5cm,寬3cm,高10cm。容器內原有水的高度為3cm,

現準備向它繼續注水。用V(單位：。加)表示注入水的體積，寫出V￥J取值范

甬。

四、反思總結：

五、達標檢測

1、解不等式，并在數軸上表示解集：

(1)x+5<-1(2)4x>3x-5

2、用不等式表小卜列語句并寫出解集：

(1)x及3的和不小于6；(2)y及1的差不大于0。

3、請你當裁判：

小紅學完不等式的性質后,說若a>b,則有2a>2b,3a>3b,4a>4b,5a>5b,……,所

以ac〉bc,你同意你的看法嗎？

4、判斷對錯，并說明理由

(1)Va<b.??a-b<b-b

(2)Va<b??.

(3)Va<b，-2a<-2b

(4)V-2a>0a>0

(5)V-a<0Z.3a<0

六、課后預習：預習課本P122—123

第三課時一元一次不等式(1)

課型：新授

課時：1課時

主備人：初二數學組

學習目標：

1、了解一元一次不等式的概念。

2、會解一元一次不等式，并能在數軸上表示其解集。

學習重點：掌握解一元一次不等式的步驟。

學習難點：對一元一次不等式解法的理解。

學習過程：

一.自主學習

1、解下列一元一次方程：

(1)4x-3=5x+7(2)3(2xT)=4⑶

—5x—2=3(x-1)

2、解一元一次方程的步驟是什么？

二、合作探究：

1、觀察下面的不等式：

2

x-7>26,3x<2x+l,3x>50,-4x>3。它們有哪些共同特征?

像上面那樣，只含有一個未知數，并且未知數的次數是—的不等式，叫做一

元一次不等式。

2、一元一次方程和一元一次不等式的聯系及區別？

三、鞏固運用：

1、解一元一次不等式及解一元一次方程的區別：

(1)在解一元一次不等式時去分母和系數化為1時，如果乘數或除數是負數，

要把不等號改變方向；

(2)不等式的解集含有無限多個數，而一元一次方程只有一個解；

(3)解一元一次不等式，是根據不等式的性質，將不等式化為

或的形式，而解一元一次方程，是根據等式的性質將方程逐

步化為文=。的形式。

2、例1解下列不等式，并在數軸上表示解集：

(1)2(l+x)<3⑵

練習：1、解下列不等式，并在數軸上表示解集：

(1)5x+15>4x-l(2)2(x+5)<3(x-5)

x-1

(3)<(4)

2、教材P124練習2

四、反思總結：

五、達標檢測

1、解下列不等式，并在數軸上表示解集：

\+x

(1)1-<丁(2)26-3(x-2)>2(x-9)+38

2、求不等式3(1-x)<2(x+9)的負整數解。

3、x取何值時，代數式3x7的值

⑴大于3x(2)不小于2

六、課后預習：預習課本P124—125

第四課時一元一次不等式(2)

課型：新授

課時：1課時

主備人：初二數學組

學習目標：

1、會利用一元一次不等式解決實際問題，掌握分析技巧。

2、經歷探索實際問題的過程，培養數學建模能力。

學習重點：會用一元一次不等式解決簡單的實際問題。

學習難點：尋找實際問題中的不等關系，建立數學模型。

學習過程：

一.自主學習

1、解一元一次不等式的步驟是什么？

2、解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來

x-\

⑴3x<2/+1⑵7<+1

二、合作探究：

列一元一次方程解應用題的步驟是什么？你能類比得到列一元一次不等式解應

用題的步驟嗎？

列一元一次不等式解應用題的一般步驟：

審題一設未知數一找不等關系一列出不等式一解這個不等式求出解集一檢驗所

求的解集是否正確，是否符合實際情況一寫出答案。

三、鞏固運用：

例2、去年某市空氣質量良好（二級以上）的天數及全年天數（365）之比達到

60%如果明年這樣的天數要超過70%,那么明年空氣質量良好的天數要比去年至

少增加多少？

（可依據哪個數量關系列不等式？此題的數量關系

是：）

例3、甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方

案：在甲店累計購買100元商品后，再購買的商品按原價的90%收費；在乙店累

計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95馴攵費.顧客怎樣選擇商店購物能

獲得更大優惠？

這個問題較復雜，從何處入后考慮它呢？

甲商店優惠方案的起點為購物款達元后；

乙商店優惠方案的起點為購物款過元后.

我們是否應分情況考慮？可以怎樣分情況呢？

(1)如果累計購物不超過50元，則在兩店購物花費有區別嗎？

(2)如果累計購物超過50元而不超過100元，則在哪家商店購物花費??？為

什么？

(3)如果累計購物超過100元，那么在甲店購物花費小嗎？

四、反思總結：

五、達標檢測

1.某公司要招甲、乙兩種工作人員30人，甲種工作人員月薪600元，乙種工

作人員月薪1000元.現要求每月的工資不能超過2.2萬元，問至多可招乙種工

作人員多少名？

2,某校校長暑假將帶領該校市級優秀學生乘旅行社的車去A市參加科技夏令營,

甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優惠”.乙旅行社

說：“包括校長在內全部按全票的6折優惠”，若全票價為240元.

⑴設學生數為x,甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙.分別計算兩家旅

行社的收費(建立表達式)；

⑵當學生數是多少時，兩家旅行社的收費一樣？

(3)就學生數x討論哪家旅行社更優惠.

3.某體育用品商場采購品名廠家批發價(元/只)商場零售價(元/只)

員要到廠家批發購進籃籃球130160

球和排球共100只，付款排球100120

總額不得超過11815

元.已知兩種球廠家的批發價和商場的零售價如右表，試解答下列問題：

(1)該采購員最多可購進籃球多少只？

(2)若該商場把這100只球全部以零售價售出，為使商場獲得的利潤不低于2580

元，則采購員至少要購籃球多少只，該商場最多可盈利多少元？

六、課后預習：預習課本P127-729

第五課時一元一次不等式組

課型：新授

課時：1課時

主備人：初二數學組

學習目標：

1、理解一元一次不等式組及其解的意義；

2、初步感知利用一元一次不等式解集的數軸表示求不等式組的解和解集的方

法。

3、能運用不等式組解決簡單的實際問題。

學習重點：解一元一次不等式組

學習難點：運用一元一次不等式組解決實際問題

學習過程：

一.自主學習

1、動手解一解下列不等式，并在數軸上表示

①2.x-1>—X;

②0.5x<3；

③3x-2<x+I；

④x+5>4x+lo

2、將上面內容進行組合，按要求作答①分別解出不等式；②將結果在數軸上表

示出來；③取公共部分

(1)(2)

二、合作探究：

結合一、2思考：

(1)你能為它取個名字嗎？

(2)你能將它們的解集在數軸上表示出來嗎？

(3)哪一部分是它的最后解集呢？

歸納：叫做一元一次不等式組，

組成不等式組的解集。

三、鞏固運用：

例1、解下列不等式組，并在數軸上標出解集。

1)(2)

例2、x取哪些整數值時,不等式5x+2>3(xT)及Lx-1?7-3X都成立?

22

四、反思總結：

五、達標檢測

1、解下列不等式組：

(1)(2)(3)

2、解不等式組：，并寫出不等式組的正整數解

3、(1)如果一元一次不等式組的解集為x>5,那么你能求出a的取值范圍嗎?

(2)如果一元一次不等式組的解集為x<3,那么你能求出a的取值范圍嗎？

4、某校今年冬季燒煤取暖時間為四個月，如果每月比計劃多燒5噸煤，那么取

暖用煤總量將超過100噸；如果每月比計劃少燒5噸煤，那么取暖用煤總量不

足68噸。該校計劃每月燒煤多少噸？

六、課后預習

第六課時利用不等關系分析比賽

課型：新授

課時：1課時

主備人：初二數學組

學習目標：

1、了解部分體育比賽項目判定勝負的規則，復習并鞏固不等式的相關知識；

2、以體育比賽問題為載體，探究實際問題中的不等關系，進一步體會利用不等

式解決問題的基本過程；

3、在利用不等關系分析比賽結果的過程中，提高分析問題、解決問題的能力，

發展邏輯思維能力和有條理表達思維過程的能力；

4、感受數學的應用價值，培養用數學眼光看世界的意識，引導學生關注生活、

關注社會。

學習重點：利用不等關系分析預測比賽結果

學習難點：在開放的問題情境中促使學生的思維從無序走向有序；在分析、解

決問題的過程中發展學生用數學眼光看世界的主動性

學習過程

一.自主學習

1、什么叫一元一次不等式（組）？

2、怎樣求解一元一次不等式（組）？列一元一次不等式（組）解應用題的步驟

是什么？

二、合作探究：

某射擊運動員在一次比賽中前6次射擊共中52環，如果他要打破89環（10

次射擊）的紀錄，第7次射擊不能少于多少環？

（1）如果第7次射擊成績為8環，最后三次射擊中要有幾次命中10環才

能破紀錄？

（2）如果第7次射擊成績為10壞，最后三次射擊中是否必須至少有一次

命中10環才能破紀錄？

三、鞏固運用：

有A,B,C,D,E五個隊分同一小組進行單循環賽足球比賽，爭奪出線權.比

賽規則規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，小組中名次在前

的兩個隊出線，小組賽結束后，A隊的積分為9分.你認為A隊能出線嗎？請說

明理由。

（學生充分發表意見，在辯論中發現此問題不能一概而論，需要考慮其他

隊的情況，于是形成問題假設：

⑴如果小組中有一個隊的戰績為全勝，A隊能否出線？

⑵如果小組中有一個隊的積分為10分，A隊能否出線？

⑶如果小組中積分最高的隊積9分，A隊能否出線？）

四、反思總結：

五、達標檢測

1、足球比賽的計分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分一個

隊打14場比賽負5場共得19分.那么這個隊勝了幾場？

2、某次籃球聯賽中，火炬隊及月亮隊要爭出線權.火炬隊目前的戰績是17勝

13負（其中有一場以4分之差負于月亮隊），后面還要比賽6場（其中包括再及

月亮隊比賽1場）；月亮隊目前的戰績是15勝16負，后面還要比賽5場.為確

保出線，火炬隊在后面的比賽中至少要勝多少場？

（在分析解決前述問題的過程中，自然會引發一些爭論，提出一些問期假設，

如：

（1）如果火炬隊在后面對月亮隊1場比賽中至少勝月亮隊5分，那么它在后面

的其他比賽中至少勝幾場就一定能出線？

（2）如果月亮隊在后面的比賽中3勝（包括勝火炬隊1場）2負，那么火炬隊在

后面的比賽中至少要勝幾場才能確保出線？

⑶如果火炬隊在后面的比賽中2勝4負，未能出線，那么月亮隊在后面的比

賽中戰績如何幾

(4)如果火炬隊在后面的比賽中勝3場，那么什么情況下它一定出線？)

第七課時復習不等式及不等式組

課型：復習課

課時：2課時

主備人：初二數學組

一、知識點：

1、不等式和一元一次不等式的含義。

①如：一3>—5,b+lW3,2x<y,—1<x^3,xWl等，含有的式子

可稱作不等式；②如：y—3>-5,b+lW2b—3,2x+l<4等，是不等式并只

含有—未知數，同時未知數的次數是—，則可稱為一元一次不等式。

2、不等式的解、解集、解不等式的概念。

舉例：判斷下列哪些是不等式x+4>7的解？哪些不是不等式的解？

-4,-3.5,1,2.3,3,0,17,4、7,11。

2

分析：由3+3=6可知：(1)當x>3時，不等式x+4>7成立；(2)當x<3

或x=3時，不等式x+3>6不成立。也就是說，任何一個大于3的數都是不等

式x+4>7的解（如題目中的x=7就是不等式x+4>7其中的1個解）。這樣的

解有無數個，因此x>3表示了能使不等式成立的未知數“x”的取值范圍，我

們把它叫做不等式x+4>7的解的集合，簡稱解集。

而求不等式的解或解集的過程叫做o

3、不等式的三個性質：（思考：及等式基本性質對比有何異同？）

不等式性質］：______________________________________________________

不等式性質2：______________________________________________________

不等式性質3：______________________________________________________

4、不等式解集的數軸表示。..........................n.

-2~-1~~01234^-2-101234

舉例：（注意數軸看作由無1M?

1111111.I______________I________I_________I___________IJI

-2-101234^-2-101234

數個點組成，每一個點都及孤W3

一個數對應，注意空心點和實心點的用法。）

5、解一元一次不等式的一般步驟：（及解一元一次方程類似）

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（注

意不等號開口的方向）。

6、由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集的四種情形:

不等式組（其中：a不等式組的

在數軸上表示口訣

<b）解集

x)a—]

x>b同大取大

J〉b)---------(

at

'x〈a

)---------<)---------------?x<a同小取小

x(b2b

x)a/////////___大小小大中間

a<x<b

x{b______>

ab找

—

x(a大大小小是

無解

x)b

無解

解題的關鍵：不等式組中的兩個不等式的解集有無公共部分，且公共部分是什

么。

7、列一元一次不等式(組)解應用題的步驟

(步驟及列一元一次方程解應用題類似，關鍵是設元和找出題目中各數量存在

的不等關系。)

二、基礎訓練：

1.用恰當的不等號表示下列關系：

①x的3倍及8的和比y的2倍小：

②老師的年齡a不小于你的年齡b小：

2.已知a>b用”>“或"〈”連接下列各式;

ab

(1)a-3--b~3,(2)2a——2b,(3)-—————(4)4a~3一4b~3(5)a-b—0

oo

3

3.4的及12的差不小于6,用不等式表示為.

4.當'____時，代數式的值至少為L

5.不等式6—12x<0的解集是.

6.當x時，代數式的值是非正數.

7.不等式組的解為.

8.若方程x+3=3x-〃z的解是正數，則團的取值范圍是

9.若點P(1-in,m)在第二象限，則(川-1)的解集為.

10.從小明家到學校的路程是2400米，如果小明早上7點離家，要在7點30

分到40分之間到達學校，設步行速度為x米/分，則可列不等式組為

，小明步行的速度范圍是.

三、典型例題：

【例1】下列不等式，那些總成立？那些總不成立？那些有時成立而有時不成

立？

(1)-9.4<2,(2)3>0,(3)b+5<0,(4)|x|>0,(5)^2+1<0,(6)

5+x>5—Xo

分析：主要考慮未知數的取值，特別是正數、負數和零。

a

【例2】若〃<”<0,見下列式子：①〃+1<〃+2,②]>1,③。+。<。力，

④￡〈不中，正確的有()。A、1個B、2個C、3

個D、4個

分析由。<b<0得，。、〃同為負數并且I〃I>|〃I。如取。=一2,匕二一1代

入式子中。

【例3】不等式2X-7W5的正整數解有()°A、7個B、6個C、

5個D、4個

分析：先求出不等式的解：工46,再從中找出符合條件的正整數。

【例4】如果的值是非正數，則x的取值范圍是()。

A、“〈lB、x》lC、*W—1D、"2—1

分析：非正數也就是：0和負數，即《0。

【例5】不等式組的解集是()oA-V>2B-v<2OW1D2<

人

分析：先求出每一個不等式的解集，再看兩個解集的公共部分是什么。

①

②1

解不等式①得：x>—2,解不等式②得：

解集在數軸表示如下：

1

1"1

?,?原不等式組的解集為：一5<（大小小大中間

找）。

【例6】不等式組無解，貝必的取值范圍是（）o

A、k=2B、%>2C、D、仁2

分析：根據大大小小是無解，可得人是較大的數，2是較小的數（但我可以等于2）

即：上22。

【例7】不等式組的整數解是：o

\_

分析：先求出不等式組的解集一萬<再從中選出整數：o和1。

四、鞏固運用：

1>下列式子：?—3<0,②4x+3y>0,③x=3,④，一）'+1,⑤xW5,@x-3

<y+2,其中是不等式的有（）。A、5個B、4個C、3個

D、2個

2、有理數。、匕在數軸上位置如圖所示，用不等式表示：

①。+〃0,②ab0,?\a\|^|o0~

3、若&>b,則下列式子一定成立的是（）o

A、。+3>匕+5B、a—9〉b—9C、-10〃>—10bD、aC2>bC

2

4、下列結論：①若"<b,則0/<be.②若>be9則。>。；③若〃>力且

若

則。c>bd.④若<bc\]j\\\a<bo正確的有()。A、4個B、3個C、

2個D、1個

5、若0<。<1,則下列四個不等式中正確的是()。

J_

A、"1<。，B、"a<1,C、a<〃<1,D、1<。。

6、如果不等式(〃+1)A->(〃+1)的解為1<1,則必須滿足〃o

7、求下列不等式的解集，并把解集在數軸上表示出來。

(1)2^-5>5-^-11(2)31一2(1—2])21

(3)4x—7>3X~1(4)2(工-6)<3一工

7、解不等式組

①②③

8、關于x的方程5工-2m=~47的解x滿足2<x<10,求〃，的取值范圍

9、當關于八）'的二元一次方程組的解x為正數，為負數，則求此時〃?的取值

范圍？

10、不等式的解集為x>2,求〃z的值。

11、某商品的進價為500元，標價為750元，商家要求利潤不低于5%的售價打

折，至少可以打幾折？

12、學校計劃組織部分三好學生去某地參觀旅游，參觀旅游的人數估計為10-25

人，甲、乙兩家旅行社的服務質量相同，且報價都是每人200元，經過協商，

兩家旅行社表示可給予每位游客七五折優惠；乙旅行社表示可免去一位游客的

旅游費用，其余游客八折優惠。學校應怎樣選擇，使其支出的旅游總費用較少？

第九章不等式及不等式組檢測題

（滿分100分,時間60分鐘）

一、填空題（共10小題，每題3分，共30分）

L“x的一半及2的差不大于-1”所對應的不等式是.