高二數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.10 C. D.132.已知為拋物線上一點，為焦點，點到軸的距離為，則（）A. B. C. D.3若集合，，則（）A. B. C. D.4.把函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.5.已知等差數列的前項和為，且，，，則的公差的取值范圍為（）A. B.C. D.6.函數圖象上的點到直線的距離的最小值為（）A B. C. D.7.已知是偶函數，且在上單調遞增，則（）A. B.C. D.8.已知圓O的半徑為3，弦，D為圓O上一動點，則的最大值為（）A. B.9 C. D.18二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2020至2024年我國國內生產總值及其增長速度如圖所示，則（）A.2020至2024年我國國內生產總值逐年增長B.2020至2024年我國國內生產總值的30%分位數是1234029億元C.2020至2024年我國國內生產總值年增長速度的極差是6.3%D.2020至2024年我國國內生產總值年增長速度的平均數大于5%10.已知正項等比數列的公比為，函數，則（）A.當時，無極值B.當時，的極小值點為C.當是遞增數列時，在上單調遞增D.當是遞減數列時，在上單調遞減11.已知橢圓離心率為，是的焦點，是上一動點，是圓上一動點，則（）A. B.的焦距為C.的最小值為1 D.的最大值為5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______，______．13.已知正方體外接球的表面積與內切球的表面積之差為，則該正方體的棱長為________.14.設計一個五位的信息密碼，每位數字均在中選取，則含有數字，且都只出現一次的信息密碼有________個，含有數字，且只出現一次，與不相鄰的信息密碼有________個.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，平面，且，.（1）證明：（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.16.甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，輸的一方在下一局當裁判．已知各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第一局丙當裁判．（1）若比賽進行三局，求第三局甲不當裁判的概率；（2）若有人獲勝兩局，則比賽結束，用表示比賽結束時比賽的局數，求的分布列與數學期望．17.已知雙曲線經過點，離心率為．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦點分別為、，直線與相交于、兩點．①若的斜率為，求線段的中點的軌跡方程；②若經過點，且，求的方程．18.已知a，b，c分別為鈍角三角形的三個內角A，B，C的對邊，是的角平分線，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若為邊（不包括A，C）上一點，與交于點，且，證明：是的內心.19.定義：若函數與在公共定義域內存在，使得，則稱與為“契合函數”，為“契合點”．（1）若函數和為“契合函數”，求的取值范圍．（2）已知函數和為“契合函數”且有兩個“契合點”．①求的取值范圍；②若，證明：．

高二數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.10 C. D.13【答案】A【解析】【分析】先根據虛數的運算法則化簡，再根據復數的模的計算公式求出化簡后復數的模.【詳解】,所以.故選：A.2.已知為拋物線上一點，為的焦點，點到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設點，則，根據題意求出的值，再利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】對于拋物線，，可得，設點，則，因為點到軸的距離為，即，由拋物線的定義可得.故選：B.3.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用集合的包含關系與運算逐項判斷即可.【詳解】因為，則或，顯然集合、沒有包含關系，則A，B錯誤；又，，故C正確，D錯誤.故選：C.4.把函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函數平移規則即可求解.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，可得：，故選：D5.已知等差數列的前項和為，且，，，則的公差的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數列的前項和公式，將其轉化為關于和的不等式.【詳解】，則，得；，則，則，得，故公差的取值范圍為.故選：A6.函數圖象上的點到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過求與直線平行的切線到該直線的距離求解答案.【詳解】由題意，，令，得（負值已舍去）．因為，所以曲線在點處的切線與直線平行．因為點到直線的距離為，所以所求最小值為．故選：C.7.已知是偶函數，且在上單調遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數在上的單調性，比較、、的大小關系，結合函數的單調性可得出結果.【詳解】因為函數是偶函數，且在上單調遞增，則該函數在上為減函數，因為，所以，，且函數在上為增函數，所以，，因為函數在上為減函數，則，故，且，所以，，故選：D.8.已知圓O的半徑為3，弦，D為圓O上一動點，則的最大值為（）A. B.9 C. D.18【答案】C【解析】【分析】先將進行轉化為模長和投影乘積，再結合幾何圖形的性質求出其最大值.【詳解】設與的夾角為，根據向量數量積的定義可得.要使最大，只需要，也就是在方向的投影最大，如圖所示，D為圓O上一動點(如等位置)，過點作于點，則，所以.已知，則.最大即可.此時,且切于圓.過點作于點，此時的最大值為（為圓的半徑）.將的最大值代入，可得的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2020至2024年我國國內生產總值及其增長速度如圖所示，則（）A.2020至2024年我國國內生產總值逐年增長B.2020至2024年我國國內生產總值的30%分位數是1234029億元C.2020至2024年我國國內生產總值年增長速度的極差是6.3%D.2020至2024年我國國內生產總值年增長速度的平均數大于5%【答案】AC【解析】【分析】由條形圖及折線圖，結合百分位數、極差、平均數的計算逐項判斷即可.【詳解】對于A，由條形圖易知2020至2024年我國國內生產總值逐年增長，正確；對于B：由，可知：第30%分位數是第2個數1173823，錯誤；對于C：，正確；對于D：，錯誤，故選：AC10.已知正項等比數列的公比為，函數，則（）A.當時，無極值B.當時，的極小值點為C.當是遞增數列時，在上單調遞增D.當是遞減數列時，在上單調遞減【答案】ABD【解析】【分析】求導，通過等比數列的性質，確定，，進而逐項判斷即可.【詳解】由題意可知：，，則，對于A：，則，即單調遞增，無極值，A正確；對于B，，則，所以當或時，，當時，，所以在單調遞增；在單調遞減，所以在處取得極小值，B正確；對于C：當是遞增數列時，，若，即，易知的解集為：，所以在單調遞增，故C錯誤；對于D，當是遞減數列時易知，所以的解集為：，即在上單調遞減，D正確，故選：ABD11.已知橢圓的離心率為，是的焦點，是上一動點，是圓上一動點，則（）A. B.的焦距為C.最小值為1 D.的最大值為5【答案】AC【解析】【分析】先利用橢圓的幾何性質，求得，得到，由橢圓的定義，可判定A正確；由橢圓的焦距為，可判定B不正確；由圓的方程，得到圓心坐標為，半徑，設點，求得，得到，結合二次函數的性質和圓的性質，可判定C正確，D不正確.【詳解】由橢圓：的離心率為，可得，解得，所以，則，對于A中，由橢圓的定義，可得，所以A正確；對于B中，橢圓的焦距為，所以B不正確；對于C中，如圖所示，圓，則圓心為，半徑，設點，其中，則滿足，可得，則，當時，取得最小值，，此時，所以C正確；當時，取得最大值，，此時，所以D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______，______．【答案】①.3②.【解析】【分析】根據商數關系及正切的二倍角公式求解即可.【詳解】由，解得，則.故答案為：3；.13.已知正方體外接球的表面積與內切球的表面積之差為，則該正方體的棱長為________.【答案】【解析】【分析】先分別找出正方體外接球半徑、內切球半徑與正方體棱長關系，再根據球的表面積公式求出外接球表面積與內切球表面積，最后根據它們的表面積之差列出方程求解正方體的棱長.【詳解】設正方體的棱長為.正方體外接球的直徑等于正方體的體對角線長.正方體的體對角線長為，所以外接球半徑.正方體內切球的直徑等于正方體的棱長，所以內切球半徑.正方體外接球的表面積.正方體內切球的表面積.已知正方體外接球的表面積與內切球的表面積之差為，則.解得或（棱長不能為負舍去）.故答案為：.14.設計一個五位的信息密碼，每位數字均在中選取，則含有數字，且都只出現一次的信息密碼有________個，含有數字，且只出現一次，與不相鄰的信息密碼有________個.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空先從個數位選擇個數位分別排，剩余的個數位上的數字從剩余的個數字中進行選擇，每個數位有種選擇，結合分步乘法計數原理可得結果；第二空，分當均只出現次，當只出現次出現次或只出現次出現次，當只出現次出現次或只出現次出現次和均出現次，四種情況討論，即可求解.【詳解】先從個數位選擇個數位分別排，剩余的個數位上的數字從中選擇，每個數位有種選擇，由分步乘法計數原理可知，滿足條件的信息碼的個數為，當均只出現次，且與不相鄰，信息碼的個數為，當只出現次出現次或只出現次出現次，且與不相鄰，信息碼的個數為，當只出現次出現次或只出現次出現次，且與不相鄰，信息碼的個數為，當均出現次，且與不相鄰，信息碼的個數為，由分步計數原理知，符合條件的信息碼的個數為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，平面，且，.（1）證明：.（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，進而求證平面，即可；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】由，，可得，所以，又平面，在平面內，所以，且為平面內兩條相交直線，所以平面，在平面內，所以.【小問2詳解】由（1）以為坐標原點，為軸建系，易得：，設平面的法向量為,則，即，設，可得：，即，易知平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則.16.甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，輸的一方在下一局當裁判．已知各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第一局丙當裁判．（1）若比賽進行三局，求第三局甲不當裁判的概率；（2）若有人獲勝兩局，則比賽結束，用表示比賽結束時比賽的局數，求的分布列與數學期望．【答案】（1）（2）分布列答案見解析，【解析】【分析】（1）若比賽進行三局，第三局甲不當裁判，則第二局甲贏，第一局甲也贏，或者第一局甲輸，結合獨立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有、、，求出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【小問1詳解】若比賽進行三局，第三局甲不當裁判，則第二局甲贏，第一局甲也贏，或者第一局甲輸，則甲第三局必定參加比賽，故所求概率為.【小問2詳解】由題意可知，的可能取值有、、，若，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以，，若，則第二、三局均為丙贏，所以，，若，則前三局沒有人累計勝兩局，必須進行第四局，第四局后無論勝負都有人累計獲勝兩局，所以，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，.17.已知雙曲線經過點，離心率為．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦點分別為、，直線與相交于、兩點．①若的斜率為，求線段的中點的軌跡方程；②若經過點，且，求的方程．【答案】（1）（2）①；②或或【解析】【分析】（1）根據已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）①設點、，設點，設直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，進而可得出點的軌跡方程；②分三種情況討論，與軸重合、軸、直線的斜率存在且不為零，前兩種情況直接驗證即可；在第三種情況下，設直線的方程為，設點、，將該直線方程與雙曲線方程聯立，求出線段的中點，分析可知，結合斜率關系可求出的值，綜合可得出直線的方程.【小問1詳解】由題意可得，解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】①設點、，設點，設直線的方程為，聯立可得，則，由韋達定理可得，可得，則，即點的軌跡方程為；②易知點、，若直線與軸重合，則、為雙曲線頂點，顯然，不合乎題意；若直線軸，由對稱性可知，點、關于軸對稱，則；當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，設點、，聯立可得，由題意可得，解得，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，若，則，，，所以，，解得.綜上所述，直線的方程為或或.18.已知a，b，c分別為鈍角三角形的三個內角A，B，C的對邊，是的角平分線，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若為邊（不包括A，C）上一點，與交于點，且，證明：是的內心.【答案】（1）（2）4（3）證明見解析【解析】【分析】（1）（方法一）利用三角降冪公式與和差化積公式，以及和差的余弦公式即可求得；（方法二）由正、余弦定理與和角公式化簡題設條件，推得，求出的值即得；（2）由三角形面積相等推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得；（3）設，，，，，利用正弦定理，結合題設條件，經推理化簡得到即可證明結論.【小問1詳解】（方法一）由題意得，得，則.由，得，即整理得.由，得，因，則.（方法二）由正余弦定理得，得.因，兩式相加，可得，因，則，得.因為鈍角三角形，則，得，因，則.【小問2詳解】由（1）結論和題意得由，可得，化簡得，即.因為，當且僅當時，等號成立.故的最小值為4.【小問3詳解】設，，，，.在和中，由正弦定理得，，可得.在中，由正弦定理得.又由，得，則，得.因為，所以，即.由，可得在中，，在和中，由正弦定理得，得，故，即化簡得，即，則是的角平分線，故是的內心.19