2024-2025學年福建省福州市高一下學期3月月考數學檢測試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】根據向量平行的坐標表示運算求解即可.【詳解】若，則，解得.故選：B.2.向量，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】因為，，，所以，即.故選.3.在中，角，，所對的邊為，，，，，，那么的大小是（）A. B.4 C. D.3【正確答案】D【分析】運用余弦定理進行求解即可.【詳解】因為，，，所以有，或舍去，故選：D4.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據題意，結合小范圍可以推出大范圍，而大范圍推不出小范圍，即可求解.【詳解】為等腰三角形，即充分性成立為等腰三角形或或，不一定得到，即必要性不成立，“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件，故選：A5.已知向量，，且．則在方向上的投影向量的坐標是（）A. B. C. D.．【正確答案】A【分析】根據向量數量積的運算及向量的坐標運算可得數量積的值，再根據投影向量的運算公式求解即可得答案.【詳解】因為，，則，所以，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.6.在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先利用求出，再利用余弦定理求，進而可得.【詳解】由已知，可得，，，.故選：D.7.在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，設，，再用含參的方式用表示，得到關于參數的方程組求得，最后應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題意，設，，則，所以，，得，所以（當且僅當時等號成立）.故選：D8.圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】把轉化為，由余弦定理、數量積的定義得，討論的位置得，結合銳角三角形恒成立，即可得范圍.【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內部，如下圖示，又，而，若外接圓半徑為r，則，故，且，即，由，對于且在圓上，當為直徑時，當重合時，所以，綜上，，銳角三角形中，則，即恒成立，所以，則恒成立，綜上，.故選:C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則與的夾角為鈍角B.的最小值為2C.與垂直的單位向量只能為D.若，則【正確答案】AB【分析】求出與夾角的余弦值可判斷；向量的?？膳袛啵粏挝幌蛄靠膳袛啵幌蛄磕Ｏ嗟攘谐龇匠糖蠼饪膳袛?【詳解】對，當時，，因為，所以與的夾角是鈍角，故正確；對，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故正確；對，設與垂直的單位向量為，則，解得或與垂直的單位向量為或，故錯誤；對，若，可得：，解得，故錯誤.故選.10.已知的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，則C.若，則是銳角三角形D.若，則是鈍角三角形【正確答案】ABD【分析】A利用余弦定理即可；B利用正弦定理即可；C數量積運算可得A為銳角，但無法保證其余角也為銳角；D先利用正弦定理得出，再利用余弦定理即可.【詳解】對于A，由余弦定理得，得，得，故A正確；對于B，由及正弦定理，得，解得，故B正確；對于C，因為，所以，所以，所以A為銳角，但無法確定B和C是否為銳角，故C錯誤；對于D，因為的三個角滿足，所以由正弦定理化簡得，設，，，c為最大邊，由余弦定理得，所以C為鈍角，所以是鈍角三角形，故D正確；故選：ABD11.中，內角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上的中點，則的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用平面向量數量積公式及三角形面積公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范圍結合正弦定理可判定C，利用平面向量中線的性質及數量積公式結合余弦定理、基本不等式可判定D.【詳解】對于A，因，所以，則，因為，所以，故A正確；對于B，因為，則，，故只有一解，故B正確；對于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯誤；對于D，若D為邊上的中點，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當且僅當時取得等號，所以，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是________.【正確答案】，，【分析】利用共線向量的充要條件化簡求解即可.【詳解】因為，所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.故，，13.已知向量滿足，則________．【正確答案】【分析】根據數量積的運算律求得，再根據向量模的計算公式，即可求得答案.【詳解】由，得，有，則，故答案：14.如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機距離地面的高度PQ為__________m．【正確答案】200【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【詳解】根據題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故200四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.平面內給定三個向量，，．（1）求滿足的實數m，n．（2）若滿足，且，求的坐標．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由向量的坐標運算列方程組，解出即可；（2）設，由向量共線的坐標表示和模長計算解出即可.【小問1詳解】由題意可得，解得【小問2詳解】設，由題意可得，因為，則，①又，所以，②由①②解得或，所以的坐標為或.16.在中，有.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出的面積.【小問1詳解】解：由題意可得，，故.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.17.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點．設向量，．（1）求的值；（2）用，表示和；（3）證明：．【正確答案】（1）；（2），；（3）證明見解析【分析】（1）利用數量積公式以及求解即可；（2）由向量的加減法進行運算即可用，表示和；（3）利用向量的垂直和數量積的關系證明即可.【詳解】（1）（2）又為中點（3）又所以本題主要考查了用基底表示向量，利用數量積求模以及利用向量證明線段垂直，屬于中檔題.18.已知在銳角中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，.（1）求角；（2）若，D為中點，，求b；（3）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由正弦定理可得，根據三角形內角和定理和兩角和的三角函數即可求解；（2）由已知可得，兩邊完全平方即可求解；（3）由正弦定理可得，，借助三角恒等變換及三角函數的圖象與性質即可求解.【小問1詳解】因為，根據正弦定理，得，所以，所以，即，因為，所以，又，所以；【小問2詳解】因為D為中點，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），故；【小問3詳解】由正弦定理：，所以，，因為，所以，所以，所以，因為銳角三角形，所以，所以，，所以，所以，所以的取值范圍為.19.在直角梯形中，已知，，，，對角線交于點，點在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為原點，、分別為、軸建立平面直角坐標系，根據題中條件求出點、的坐標