中山市2023-2024學年第二學期學業水平二模試卷九年級數學考試時間：120分鐘；一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1.下列各數中最大的數是（）A.10 B. C. D.答案：A解：，所給的各數中最大的數是10．故選：A．2.下列垃圾分類的標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A可回收物 B.廚余垃圾C.有害垃圾 D.其它垃圾物答案：C解：A．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．3.下列收集數據的方式合理的是（）A.為了解殘疾人生活、就業等情況，在某網站設置調查問卷B.為了解一個省的空氣質量，調查了該省省會城市的空氣質量C.為了解某校學生視力情況，抽取該校各班學號為5的整數倍的同學進行調查D.為了解某校學生每天的平均睡眠時間，對該校學生周末的睡眠時間進行調查答案：C解：A、為了解殘疾人生活、就業等情況，在某網站設置調查問卷，調查范圍較小，不具有代表性，選項不符合題意；B、為了解一個省空氣質量，調查了該省省會城市的空氣質量，調查范圍較小，不具有代表性，選項不符合題意；C、為了解某校學生視力情況，抽取該校各班學號為5的整數倍的同學進行調查，調查具有廣泛性、代表性，選項符合題意；D、為了解某校學生每天的平均睡眠時間，對該校學生周末的睡眠時間進行調查，調查范圍較小，不具有代表性，選項不符合題意；故選：C．4.下列計算正確的是（）A. B.C. D.答案：B解：，故選項A錯誤，不符合題意；，故選項B正確，符合題意；，故選項C錯誤，不符合題意；，故選項D錯誤，不符合題意；故選：B．5.已知點在第三象限，則的取值范圍是（）A B. C. D.答案：D解：由題意得：，解得：，故選：D．6.如圖，BE平分∠DBC，點A是BD上一點，過點A作AE∥BC交BE于點E，∠DAE=56°，則∠E的度數為（）A.56° B.36° C.26° D.28°答案：D解：∵AE∥BC,∠DAE=56°，∴∠DBC=56°，∠E=∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠EBC=∠DBC=28°，∴∠E=28°，故選D.7.如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數為（）A. B. C. D.答案：C解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點，∴，∴；故選C．8.若與的函數的圖象與坐標軸只有兩個交點，則滿足條件的的值有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案：B解：當，即時，函數為，與坐標軸只有兩個交點，當時，，拋物線與軸有兩個交點，函數的圖象與坐標軸只有兩個交點，圖象經過原點，此時，故符合題意的的值有2個．故選：B．9.如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（）A.200tan70°米 B.米 C.200sin70°米 D.米答案：B解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴，∴，即河寬米，故選：B．10.如圖，在正方形中，，O是的中點，，連接，將線段逆時針旋轉得，連接，則線段長的最小值為（）A.8 B. C. D.答案：A解：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，，，，，在與中，，，，正方形中，，是邊的中點，，，，，，線段長的最小值為．故選：A．二．填空題（共5小題，每題4分，共20分）11.根據唐玄奘《大唐西域記》中記載，“一剎那”大概是0.013秒，用科學記數法表示0.013是__________．答案：故答案為：12.計算：________．答案：解：，∵，∴，故答案為：．13.如圖，、是線段的兩個黃金分割點，．則線段_______．答案：解：∵點C、D是線段AB的兩個黃金分割點，∴AD=BC=AB==，∴CD=AD+BC-AB==，故答案為：．14.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM的長為__．答案：3連接OB，∵六邊形ABCDEF是⊙O內接正六邊形，∴∠BOM==30°，∴OM=OB?cos∠BOM=6×=3，故答案為3．15.如圖，反比例函數的圖象與矩形的邊交于點G，與邊交于點D，過點A，D作，交直線于點E，F，若，，則的值為_______；四邊形的面積為_______．答案：①.②.15解：延長交x軸于K，作于H，設，則，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴；∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴=；故答案為：15．三．解答題（共9小題，16-20每題6分，21-22每題8分，23題10分，24題12分。共70分）16.計算：．答案：解：．17.先化簡代數式，然后從﹣3＜x≤1的范圍內選取一個合適的整數作為x的值，代入求代數式值．答案：，當時，．解：，∵，，∴，，當時，原式．18.文美書店決定用不多于20000元購進甲乙兩種圖書共1200本進行銷售．甲、乙兩種圖書的進價分別為每本20元、14元，甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1．4倍，若用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數比用1400元購買乙種圖書的本數少10本．（1）甲乙兩種圖書的售價分別為每本多少元？（2）書店為了讓利讀者，決定甲種圖書售價每本降低3元，乙種圖書售價每本降低2元，問書店應如何進貨才能獲得最大利潤？（購進的兩種圖書全部銷售完．）答案：（1）甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元；（2）甲種圖書進貨533本，乙種圖書進貨667本時利潤最大．解：（1）設乙種圖書售價每本元，則甲種圖書售價為每本元．由題意得：，解得：．經檢驗，是原方程的解．所以，甲種圖書售價為每本元，答：甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元．（2）設甲種圖書進貨本，總利潤元，則．又∵，解得：．∵隨的增大而增大，∴當最大時最大，∴當本時最大，此時，乙種圖書進貨本數為（本）．答：甲種圖書進貨533本，乙種圖書進貨667本時利潤最大．19.如圖，在平行四邊形中，于，于，與、分別相交于、．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是菱形．答案：（1）見解析；（2）見解析證明：（1），，．四邊形是平行四邊形，．．（2），．，，，∴，，．四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．20.小亮和同學們想用一些測量工具和所學的幾何知識測量學校旗桿的高度，檢驗自己掌握知識和運用知識的能力，如圖，在陽光下，小亮站在水平地面的D處，此時小亮身高的影子頂端與旗桿的影子頂端E重合，這時小亮身高CD的影長DE＝1米，一段時間后，小亮從D點沿BD的方向走了2.6米到達G處，此時小亮身高的影子頂端與旗桿的影子頂端H重合，這時小亮的影長GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，點G、E、D均在直線BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，請你根據題中提供的相關信息，求出旗桿的高度．答案：12m解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴，即①，∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴，即②，由①②得，解得BD＝6.5，∴，解得AB＝12．答：旗桿的高度為12m．21.某中學舉行“校園電視臺主持人”選拔賽，將參加本校選拔賽的40名選手的成績分成五組，并繪制了下列不完整的統計圖表．分數段頻數頻率20.050.2120.31440.1（1）表中______，______．（2）請在圖中補全頻數分布直方圖；（3）選拔賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，學校從中隨機確定2名選手參加全市決賽，請用列舉法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．答案：（1）8，0.35（2）見詳解（3）【小問1詳解】解：，，故答案為：8，0.35；【小問2詳解】解：補全頻數分布直方圖如下：【小問3詳解】解：由題意可知，成績在94.5分以上的選手中，男生和女生各占一半，選手有4人，有2名男生，2名女生，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好是一名男生和一名女生的結果有8種，恰好是一名男生和一名女生的概率為．22.如圖，在中，，為的直徑，與相交于點D，過點D作于點E，延長線交于點F．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．答案：（1）見解析；（2）．【小問1詳解】證明：，，，，，．，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，則，四邊形是矩形，，，，,，，，，，，．23.如圖①，直線PQ同側有兩點M，N，點T在直線PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，則稱點T為M，N在直線PQ上的投射點．（1）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D為斜邊AB中點，E為AC的中點．求證：點D為C，E在直線AB上的投射點；（2）如圖③，在正方形網格中，已知點A，B，C三點均在格點上，請僅用沒有刻度的直尺在AC上畫出點P，在BC上畫出點Q，使A，P在BC上的投射點Q滿足CQ＝2BQ；（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC邊上是否分別存在點D，E，使點D為E，C在AB上的投射點，點E為A，D在BC上的投射點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．答案：（1）證明見解析；（2）畫圖見解析；（3）存在，．（1）∵在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，∴CD＝BD＝BC，又∵∠B＝60°，∴∠BDC＝60°，∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE∥AC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∴∠ADE＝∠BDC，∴點D為C，E在直線AB上的投射點；（2）如圖③，作法：1、在格點上取點G，H，連接HG交BC于Q，（理由：△BQG∽△HQC）2、作點A關于BC的對稱點A'，連接A'Q并延長交AC于P，（∠AQB＝∠A'QB＝∠PQC）即：點P就是所求作的點；（3）存在，如圖④，作點C關于AB的對稱點C′，連接BC'，AC'，則四邊形ACBC′為正方形，作點A關于BC的對稱點A′，連接A'C'交AB于D，交BC于E，即：點D，E是所求作的點，∴C′，D，E，A在同一直線上，CA′＝CA＝C′A＝C′B＝BC，CD＝C′D，∴△C′BE≌△A′CE，∴BE＝BC＝C′A，∵AC′∥BC，∴△BDE∽△ADC′，∴，∴．24.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OA．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）如圖1，點D是該拋物線的頂點，點P(m，n)是第二象限內拋物線上的一個點，分別連接BD、BC、BP，當∠PBA＝2∠CBD時，求m的值；（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點M，過M點的直線l與射線AB，AC分別于E，F，已知當直線l繞點M旋轉時，＋為定值，請直接寫出該定值．答案：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）－；（3）（1）設OA＝a（a＞0），∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝OC＝3a，∴A（﹣a，0），B（3a，0），C（0，﹣3a），∴該拋物線的對稱軸為x＝＝a，∴b＝﹣2a①，將A（﹣a，0），C（0，﹣3a），代入得，，①②③聯立解得：，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖，D（1，－4），∠BCD＝90°，作BC的中垂線GH，則CD∥GH，H為BD中點連接CH，過C作CN⊥BD于點N．CH＝BH＝BD＝，CN