第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶八中高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|52x?1∈Z},B={x|log2A.{0,1,3} B.{1,3} C.(0,3) D.(1,3)2.設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是(

)A.a≠0且b=0 B.a≠0且b≠0 C.a=0 D.a=0且b≠03.已知直線l：3x+4y?16=0，點(diǎn)P為圓C：(x?2)2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)PA.1 B.2 C.3 D.44.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=4,A.47 B.53 C.57 D.645.如圖所示，點(diǎn)O為正八邊形的中心，已知|OA|=1，點(diǎn)P為線段BC，CD上一動(dòng)點(diǎn)，則AP?ABA.[1,2]

B.[2?2,2]6.銳角△ABC中的角A，B，C滿足6cosA+3tanB+3A.π6 B.π4 C.π37.小明工作日每天往返于家和公司辦公室，有兩把雨傘用于上下班，如果上班時(shí)天下雨，他將拿一把去辦公室，如果下班時(shí)天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為14，不下雨的概率均為34，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為(

)A.316 B.15128 C.391288.如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為2，點(diǎn)P，M，N分別為棱AA1，AB，A1A.直線C1Q與直線CP始終異面

B.直線C1Q與直線CP可能垂直

C.直線C1Q與直線BP可能垂直

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=ax+1x+1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.f(x)=?x+1x+1 B.?x∈{x|x≠?1}，f(1x)=?f(x)

C.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù) 10.已知點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線C：x24?y2A.雙曲線C與雙曲線y22?x24=1有相同的漸近線

B.若|PF1|=2|PF2|，則△PF1F2的周長為12+211.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,ean+1=1eanA.an+an+1≥ln2 B.S2025<701

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(x?1)6=a0+13.若直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?1的切線，也是曲線g(x)=ex?2的切線，則14.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)為平面上兩點(diǎn)，定義d(A,B)=|x1?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥平面ABC且AC=BC=B1C=2，D，E分別是AC，B1C1的中點(diǎn)．16.(本小題15分)

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(b?3c)?sin(A+C)=(a?c)?(sinA+sinC)．

(1)求A；

(2)若BC=2，在AC邊上存在一點(diǎn)D，使得AD=22，BD=2，∠ACB的平分線交AB17.(本小題15分)

已知F1、F2是離心率e=32的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓C上一點(diǎn)，且BF1?BF2的最小值為?2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P(x0,y0)為第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為18.(本小題17分)

信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念，它刻畫了隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的不確定性的大小.一般地，當(dāng)信息熵越大時(shí)，不確定性越大.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)A的所有可能結(jié)果為a1,a2,……,an(n∈N?)，且P(ai)=pi>0(i=1,2,?,n)，i=1npi=1，定義隨機(jī)試驗(yàn)A的信息熵H(A)=?i=1npilog2pi．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2?1)x2+bx+1．

(1)當(dāng)a=?3，b=4，x>1時(shí)，求證：f(x)>0；

(2)當(dāng)b=0時(shí)，若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3(x1<x2參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.AC

12.?20

13.2

14.15415.解：(1)證明：取A1B1的中點(diǎn)M，連接ME，AM，

在三棱柱ABC?A1B1C1，AA1//CC1且AA1=CC1，

∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，

∴AC//A1C1且AC=A1C1，

∵D，E分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，

∴ME//A1C1且ME=12A1C1，AD//A1C1且AD=12A1C1，

∴ME//AD且ME=AD，

∴四邊形ADEM為平行四邊形，∴DE//AM，

∵DE?面ABB1A1，AM?面ABB1A1，

∴DE//平面ABB1A1．

(2)∵B1C⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=BC=B1C=2，

如圖，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CB1的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、B1(0,0,2)、D(1,0,0)、C1(0,?2,2)、E(0,?1,2)，

∵B1A1=BA=(2,?2,0)，

則CA1=CB1+B1A1=(0,0,2)+(2,?2,0)=(2,?2,2)，

∴A1(2,?2,2)，

∴DE=(?1,?1,2)，DA1=(1,?2,2)，DA=(1,0,0)，

設(shè)平面A1DE的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m⊥DEm⊥DA1，則m?DE=?x1?y1+2z1=0m?DA1=x1?2y1+2z1=0，

可得y1=2x1z1=32x117.解：(1)易知F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，

此時(shí)BF1?BF2=(BO+OF1)?(BO+OF2)

=(BO+OF1)?(BO?OF1)=|BO|2?c2≥b2?c2，

當(dāng)且僅當(dāng)B為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)锽F1?BF2的最小值為?2，

所以b2?c2=?2，①

因?yàn)闄E圓C的離心率e=32，

所以ca=32，②

又a2=b2+c2，③

聯(lián)立①②③，

解得a=2，b=1，

則橢圓C的方程為x24+y

18.解：(1)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)A的所有可能結(jié)果為a1,a2,……,an(n∈N?)，

且P(ai)=pi>0(i=1,2,?,n)，i=1npi=1，

定義隨機(jī)試驗(yàn)A的信息熵H(A)=?i=1npilog2pi.：H(A)=?12log212?12log212=1，

設(shè)質(zhì)地不均勻的硬幣正面朝上的概率為p(0<p<1,p≠12)，

則H(B)=?plog2p?(1?p)log2(1?p)，

設(shè)g(t)=?t?log2t?(1?t)?log2(1?t)，t∈(0,1)，g′(t)=log2(1?t)?log2t，

∴由g′(t)<0得12<t<1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

由g′(t)>0得0<t<12，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

故g(t)max=g(12)=1，則H(A)>H(B)．

當(dāng)正面與反面等概率出現(xiàn)時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的不確定性最大，此時(shí)信息熵最大．

(2)證明：記n次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為pn，

由全概率公式得，pn+1=23pn+(1?pn)×13，即pn+1=13pn+13，

所以pn+1?12=13(pn?12)，

則數(shù)列{pn?12}是首項(xiàng)為p1?12=16，公比為13的等比數(shù)列，

所以pn?12=16×(13)n?1=12(13)n，所以pn=12+12(13)n．

此時(shí)H(An)=?pnlog2pn?(1?pn)log2(1?pn)，

當(dāng)n增加時(shí)，p