線性時不變系統描述線性時不變系統描述1.連續時間系統與離散時間系統對比

LTI連續系統

LTI離散系統變量tk函數輸入f(t);輸出y(t)輸入f(k)；輸出y(k)基本信號求導微分差分系統描述微分方程差分方程LTI（LinearTimeInvariant）系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微(差)分方程。這種方法是在時域內進行的，比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。變量和函數：線性時不變系統描述v連續時間系統離散時間系統基本信號：線性時不變系統描述

一階差分

微分與差分：線性時不變系統描述一階后向差分一階前向差分：

f(k)=f(k+1)–f(k)和稱為差分算子，無原則區別。本課程主要用后向差分。差分的性質：線性時不變系統描述

常系數線性微分方程與差分方程：

階次線性時不變系統描述

線性時不變系統描述

+

++LR

C

建立并求解線性微(差)分方程線性時不變系統描述

+

+

線性時不變系統描述2.線性時不變系統的特性

LTI連續系統

LTI離散系統經典解零輸入+零狀態卷積線性：可分解性、零狀態線性和零輸入線性

微分方程經典解請問同學們是否預習了我發布的微分方程經典解知識？是否需要老師講解？已預習，但有些知識點不明白，需要講解。已預習，已掌握，不需要講解。沒預習，需要講解。沒預習，但該知識掌握好，不需要講解。ABCD提交投票最多可選1項微分方程經典解1.n階線性時不變系統的描述

方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。

若系統為時不變的，則a，b均為常數，此方程為常系數的n階線性常微分方程。微分方程經典解齊次解：2.求解微分方程經典法微分方程的經典解：完全解=齊次解+特解。

由特征方程→求特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。

微分方程經典解

解：系統的特征方程為

特征根

對應的齊次解為

重根微分方程經典解特解：

F（常數）（特征根均不為0）

P（常數）

（有r重0特征根）

微分方程經典解

微分方程經典解代入微分方程可得

全解為:

將初始條件代入，得

微分方程經典解解得:

最后得微分方程的全解為:

微分方程經典解3.響應的劃分自由響應＋強迫響應(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態響應(Zero-input+Zero-state)暫態響應+穩態響應 (Transient+Steady-state)

例2：描述某系統的微分方程為

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

例2：描述某系統的微分方程為

主觀題10分0-到0+的問題0-到0+的問題1.起始點的跳變

0+狀態

是不是等于

0-到0+的問題一個具體的電網絡，系統的狀態就是系統中儲能元件的儲能情況。

一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發生突變。

0-到0+的問題當系統用微分方程表示時，系統的到狀態有沒有跳變取決于微分方程右端是否包含及其各階導數項。

0-到0+的問題2.沖激函數匹配法配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數應該平衡(其它項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其它項）

也應該包含且僅有271,01,10，00,1ABCD提交單選題1分0-到0+的問題

利用系數匹配法分析：

(1)

0-到0+的問題

比較等式兩邊沖激項系數，有

0-到0+的問題

零輸入響應和零狀態響應零輸入響應和零狀態響應

1.零輸入、零狀態概念

0-到0+的問題零輸入響應和零狀態響應

零狀態響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有對于零輸入響應，由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)零輸入響應和零狀態響應

全解=齊次解+特解

2.零輸入+零狀態求解零輸入響應和零狀態響應

該齊次方程的特征根為–1，–2，故

零輸入響應和零狀態響應

0-到0+

零輸入響應和零狀態響應

不難求得其齊次解為，其特解為常數3，

于是有代入初始值求得

零輸入響應和零狀態響應從零狀態或零輸入求解的過程依然是經典解的求解方法

全解=齊次解+特解(由方程右邊的形式決定)

3.對線性系統的進一步理解經典解零狀態+零輸入沖擊響應和階躍響應沖擊響應和階躍響應1.沖擊響應定義：系統在單位沖激信號作用下產生的零狀態響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用

表示。

沖擊響應和階躍響應沖擊響應的數學模型：對于線性時不變系統，可以用一高階微分方程表示令

則

沖擊響應和階躍響應

①與特征根有關②與n，m相對大小有關

由于及其導數在時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統的沖激響應形式與齊次解的形式相同。

沖擊響應和階躍響應例1：求系統

的沖激響應解：將

求特征根

中不包含沖激項沖激響應

兩種求待定系數方法：

奇異函數項相平衡法沖擊響應和階躍響應

設

∴

代入，

確定系數

得

沖擊響應和階躍響應法二：用奇異函數項相平衡法求待定系數

將

代入原方程

根據系數平衡，得

沖擊響應和階躍響應法三：線性時不變性質法求系統

的沖激響應解：設滿足簡單方程

則由系統的線性時不變特性

沖擊響應和階躍響應1.階躍響應定義：系統在單位階躍信號作用下產生的零狀態響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用

表示。

我們也可以根據線性時不變系統特性，利用階躍信號和沖擊信號的關系求階躍響應。

沖擊響應和階躍響應

階躍響應求解1）經典解2）線性性質求解經典解=齊次解+特解卷積積分(1)卷積積分1.信號的時域分解與卷積積分任意信號的時域分解：

卷積積分任意信號作用下的零狀態響應：LTI系統f(t)

根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：

卷積積分卷積積分的定義：已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分

為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。

卷積積分階躍函數確定積分限：2.卷積積分的計算由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。

1、列寫KVL方程：2、沖擊響應為：3、

+_R=1ΩL=1Hi(t)u(t)卷積積分

4、定積分限：

?

?

卷積積分

2

0

200

卷積積分(2)卷積積分圖解法求解：用圖解法直觀，尤其是函數式復雜時，用圖形分段求出積分限尤為方便準確，用解析式法作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。

注意：t為參變量。

卷積積分

例1.已知

,

τ0-111f1(τ)f2(-τ)

0-3τt-3f2(t-τ)

0τtt0-111f1(t)f2(t)

03t左+，右-？卷積積分浮動坐標：下限上限t-3t-0-11f2(t-

)f1(

)τt：移動的距離t=0f2(t-

)

未移動t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移

0-11f1(τ)

卷積積分兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0

0-11f1(τ)τ1卷積積分

0-11f1(τ)τ1

兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t

，t

為移動時間;

時卷積積分

11-10t-3t

時卷積積分

11-10t-3t

時卷積積分

11-10t-3t

時

即卷積積分

其它t

11-10t03t2-10124t卷積積分的性質卷積積分的性質1.代數性質交換律：

證：

得：卷積積分的性質

分配率：

結合率：

卷積積分的性質系統并聯

系統并聯，框圖表示：

結論：子系統并聯時，總系統的沖激響應等于各子系統沖激響應之和。(分配率)

卷積積分的性質

系統并聯，框圖表示：結論：時域中，子系統級聯時，總的沖激響應等于子系統沖激響應的卷積。

系統級聯(結合率)

卷積積分的性質2.與沖激函數或階躍函數的卷積

證：

證：

卷積積分的性質3.卷積的微積分性質

證：

上式

證：

上式

在

的前提下，

卷積積分的性質4.卷積的移位性質若

則

求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分函數比較有效。如指數函數，多項式函數等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質。三者常常結合起來使用。卷積積分的性質例1：

如圖，

求解：

由于

依據時移特性，有

LTI離散系統響應1.經典解法LTI離散系統響應

齊次解：

齊次方程

特征方程

即LTI離散系統響應根據特征根，齊次解的兩種情況1.無重根

2.有重根

n個待定系數LTI離散系統響應特解：特解的形式與差分方程右邊的形式(激勵)類似

F（常數）

P（常數）（特征根均不為0）

（有r重0特征根）

LTI離散系統響應

齊次解

代入初始條件解得：

全解：

2.零輸入+零狀態LTI離散系統響應

零輸入響應：輸入為零，差分方程為齊次方程零狀態響應：初始狀態為0，即齊次解形式：

求解方法經典法：齊次解+特解卷積法

初始條件：離散系統經典解

LTI離散系統響應

特征根:

LTI離散系統響應

LTI離散系統響應

分別求出齊次解和特解，得代入初始值遞推得

例2：描述某系統的微分方程為

單位序列響應和階躍響應單位序列響應和階躍響應1.單位序列響應系統

定義：單位序列響應和階躍響應

根據線性時不變性，

單位序列響應和階躍響應2.單位階躍響應系統

定義：單位序列響應和階躍響應

單位階躍響應求解1）經典解2）線性性質求解經典解=齊次解+特解

單位序列響應和階躍響應兩個常用的求和公式：

單位序列響應和階躍響應

由

卷積和的定義與計算卷積和的定義與計算1.卷積和f(-1)f(k)f(1)f(0)f(2)f(i)………-1012ik序列的時域分解：

卷積和的定義與計算任意序列作用下的零狀態響應：LTI系統

根據h(k)的定義：

由時不變性：

由齊次性：由疊加性：

卷積和的定義與計算

卷積和的定義：

注意：求和是在虛設的變量

i下進行的，i為求和變量，k

為參變量。結果仍為k

的函數。

卷積和的定義與計算

2.卷積和的計算由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積和的累加限會有所變化。卷積和中累加限的確定是非常關鍵的。

卷積和的定義與計算卷積的作用：解法一：經典解=齊次解+特解初始值特解形式由差(微)分方程右邊的形式決定解法二：全解=零輸入+零狀態齊次解+特解齊次解解法三：全解=零輸入+零狀態卷積和(積分)齊次解線性性質

線性系統信號分解

LTI系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微(差)分方程。卷積和的計算與性質卷積和的計算與性質卷積過程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉平移：由f2(i)反轉→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。

圖解法求解：卷積和的計算與性質

解：

f2(2–i)iiii