8.6.3平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質

第八章

8．6空間直線、平面的垂直學習目標1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質定理，并加以證明．2.能用平面與平面垂直的性質定理解決一些簡單的空間線面位置關系問題，培養直觀想象核心素養．問題導思問題1.教室黑板所在平面與地面垂直．(1)黑板所在平面內的直線是否都垂直于地面？提示：不都垂直于地面．(2)黑板上任意畫一條線與地面垂直嗎？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直).(3)怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？提示：只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可．新知構建平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的______，那么這條直線與另一個平面______符號語言α⊥β，α∩β＝a，______，______?b⊥α圖形語言交線垂直b?βb⊥a微提醒對面面垂直的性質定理的再理解(1)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．(2)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．例1

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．求證：(1)BG⊥平面PAD；證明：因為四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明：由(1)可知BG⊥AD，因為△PAD為正三角形，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.規律方法利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，應注意以下三點1．兩個平面垂直．2．直線必須在其中一個平面內．3．直線必須垂直于兩平面的交線．

對點練1．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，因為BC＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C?平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因為B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.返回綜合應用例2應用一空間垂直關系的綜合應用

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；證明：因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA?平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；證明：因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明：因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.規律方法1．線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化是解垂直關系綜合問題的常規思路．2．垂直關系證明的核心是線面垂直，準確確定要證明的直線是關鍵，再利用線線垂直證明．

對點練2．如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；證明：因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，所以BC⊥AM.由四邊形ACDE是正方形，得AM⊥CE，又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．解：取AB的中點F，連接CF，EF.因為EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，EA?平面ACDE，所以EA⊥平面ABC，因為CF?平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因為EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即為直線EC與平面ABE所成的角．應用二空間位置關系的探索性問題

已知△A′BC為正三角形，CD是A′B邊上的高，E，F分別是A′C，BC的中點，現將△A′DC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如圖所示．(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由．解：AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以EF∥AB，又AB?平面DEF，EF?平面DEF，所以AB∥平面DEF.例3(2)在線段AC上是否存在一點P，使得BP⊥DF？若存在，求出

的值；若不存在，請說明理由．解：在線段AC上存在一點P，使得BP⊥DF.理由如下：易知△BDF為正三角形，過B作BK⊥DF交DC于點K，連接KF，過K作KP∥DA交AC于點P，則點P即為所求，連接BP，如圖．因為平面ADC⊥平面BDC，平面ADC∩平面BDC＝DC，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，因為KP∥AD，所以KP⊥平面BCD，所以KP⊥DF.又BK⊥DF，KP∩BK＝K，所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥BP.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，規律方法解決命題成立條件的探索性問題有三種方法1．先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明．2．先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性．3．把幾何問題轉化為代數問題，探索命題成立的條件.

對點練3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，在棱PD上是否存在點E，使得BP∥平面ACE？若存在，指出點E的位置；若不存在，請說明理由．解：存在，點E為棱PD的中點．連接AE，連接BD，交AC于點F，連接EF，如圖所示．因為底面ABCD為平行四邊形，所以點F為BD的中點．在△PBD中，因為點E，F分別為PD，BD的中點，所以BP∥EF，且EF＝

BP.又因為BP?平面ACE，EF?平面ACE，所以BP∥平面ACE.返回課堂小結知識平面與平面垂直的性質定理．方法轉化法易錯誤區面面垂直性質定理中在其中一個面內作交線的垂線，與另一個平面垂直．隨堂演練1．已知長方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則A．ME⊥平面ABCDB．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能√因為ME?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.故選A.2．已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結論正確的是A．l∥β或l?β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m√直線l⊥平面α，α⊥β，則l∥β或l?β，故A正確；直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，故B，D錯誤；直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則m⊥α或m與α相交(不包含垂直)或m?α或m∥α，故C錯誤．故選A.3．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影點H必在A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部(不包括邊界)√連接AC1(圖略).因為