工程數(shù)學(xué)概率綜合練習(xí)題?一、單選題1.設(shè)事件\(A\)與\(B\)相互獨(dú)立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.\(0.9\)B.\(0.7\)C.\(0.5\)D.\(0.2\)答案：B解析：因?yàn)閈(A\)與\(B\)相互獨(dú)立，所以\(P(A\capB)=P(A)P(B)=0.4\times0.5=0.2\)。根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)=0.4+0.50.2=0.7\)。

2.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P(1\ltX\leq3)\)等于（）（\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.6826\)B.\(0.8413\)C.\(0.9544\)D.\(0.9974\)答案：A解析：由\(X\simN(1,4)\)，可得\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)。\(P(1\ltX\leq3)=P(12\ltX\leq1+2)=P(\mu\sigma\ltX\leq\mu+\sigma)\)。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，\(P(\mu\sigma\ltX\leq\mu+\sigma)=0.6826\)。

3.設(shè)離散型隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=Ck\)，\(k=1,2,3\)，則\(C\)等于（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)答案：A解析：因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的所有概率之和為\(1\)，即\(\sum_{k=1}^{3}P(X=k)=1\)。所以\(C\times1+C\times2+C\times3=1\)，\(6C=1\)，解得\(C=\frac{1}{6}\)。

4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(E(X)\)等于（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：B解析：根據(jù)期望的定義\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)。\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。

5.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則（）A.\(D(XY)=D(X)D(Y)\)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(X\)與\(Y\)獨(dú)立D.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)答案：D解析：已知\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0\)。再根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=0\)，所以\(X\)與\(Y\)不相關(guān)。但僅由\(E(XY)=E(X)E(Y)\)不能得出\(X\)與\(Y\)獨(dú)立，\(D(XY)=D(X)D(Y)\)和\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)也不一定成立。

二、填空題1.設(shè)事件\(A\)與\(B\)互不相容，\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(\overline{A\cupB})\)等于______。答案：\(0.2\)解析：因?yàn)閈(A\)與\(B\)互不相容，所以\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8\)。則\(P(\overline{A\cupB})=1P(A\cupB)=10.8=0.2\)。

2.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于______。答案：\(2\)解析：由泊松分布的概率公式\(P(X=k)=\frac{e^{\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，已知\(P(X=1)=P(X=2)\)。即\(\frac{e^{\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{\lambda}\lambda^{2}}{2!}\)，化簡(jiǎn)可得\(\lambda=2\)。

3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x^{2},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，則\(P(0.5\ltX\lt1.5)\)等于______。答案：\(0.75\)解析：\(P(0.5\ltX\lt1.5)=F(1.5)F(0.5)\)。因?yàn)閈(F(1.5)=1\)，\(F(0.5)=0.5^{2}=0.25\)，所以\(P(0.5\ltX\lt1.5)=10.25=0.75\)。

4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則\(Z=X+Y\)服從______分布（寫(xiě)出分布名稱及參數(shù)）。答案：\(N(1,2)\)解析：若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)。已知\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，所以\(Z=X+Y\)服從\(N(1,2)\)分布。

5.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)為來(lái)自總體\(X\)的樣本，樣本均值為\(\overline{X}\)，樣本方差為\(S^{2}\)，則\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從______分布（寫(xiě)出分布名稱及參數(shù)）。答案：\(\chi^{2}(n1)\)解析：根據(jù)抽樣分布的性質(zhì)，\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從自由度為\(n1\)的\(\chi^{2}\)分布，即\(\chi^{2}(n1)\)。

三、解答題1.已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，\(P(B|A)=0.8\)，求\(P(A\cupB)\)。解：根據(jù)條件概率公式\(P(B|A)=\frac{P(A\capB)}{P(A)}\)，可得\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)=0.8\times0.5=0.4\)。再根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)=0.5+0.60.4=0.7\)。

2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{7}{12}\)，求\(a\)和\(b\)的值。解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)\(\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，可得\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)。\([\frac{1}{2}ax^{2}+bx]_{0}^{1}=1\)，即\(\frac{1}{2}a+b=1\)①。又因?yàn)閈(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\frac{7}{12}\)。\(\int_{0}^{1}(ax^{2}+bx)dx=\frac{7}{12}\)，\([\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}]_{0}^{1}=\frac{7}{12}\)，即\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{7}{12}\)②。聯(lián)立①②，由①得\(b=1\frac{1}{2}a\)，代入②可得：\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}(1\frac{1}{2}a)=\frac{7}{12}\)\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}\frac{1}{4}a=\frac{7}{12}\)\(\frac{4a+63a}{12}=\frac{7}{12}\)\(a+6=7\)解得\(a=1\)，則\(b=1\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}\)。

3.設(shè)二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0\ltx\lt1,0\lty\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，求：（1）常數(shù)\(k\)；（2）\(P(X\ltY)\)；（3）\(X\)與\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)。解：（1）由\(\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)，可得：\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxy\dxdy=1\)\(k\int_{0}^{1}y\dy\int_{0}^{1}x\dx=1\)\(k\times[\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{1}\times[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1}=1\)\(\frac{k}{4}=1\)，解得\(k=4\)。（2）\(P(X\ltY)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}4xy\dxdy\)\(=\int_{0}^{1}4y[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{y}dy\)\(=\int_{0}^{1}2y^{3}dy\)\(=[\frac{1}{2}y^{4}]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)。（3）\(X\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_X(x)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)。當(dāng)\(0\ltx\lt1\)時(shí)，\(f_X(x)=\int_{0}^{1}4xy\dy=4x[\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{1}=2x\)；當(dāng)\(x\notin(0,1)\)時(shí)，\(f_X(x)=0\)。所以\(f_X(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)。\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_Y(y)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)。當(dāng)\(0\lty\lt1\)時(shí)，\(f_Y(y)=\int_{0}^{1}4xy\dx=4y[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1}=2y\)；當(dāng)\(y\notin(0,1)\)時(shí)，\(f_Y(y)=0\)。所以\(f_Y(y)=\begin{cases}2y,&0\lty\lt1\\0,&其他\end{cases}\)。

4.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\thetax^{\theta1},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\theta\gt0\)為未知參數(shù)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)為來(lái)自總體\(X\)的樣本，求\(\theta\)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。解：（1）求矩估計(jì)量：\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot\thetax^{\theta1}dx=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}dx=\frac{\theta}{\theta+1}\)。令\(\overline{X}=E(X)\)，即\(\overline{X}=\frac{\theta}{\theta+1}\)，解得\(\theta=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)。所以\(\theta\)的矩估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)。（2）求極大似然估計(jì)量：似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\prod_{i=1}^{n}\thetax_i^{\theta1}=\theta^{n}(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)。取對(duì)數(shù)\(\lnL(\theta)=n\ln\theta+(\theta1)\sum_{i=1}^{n}\lnx_i\)。對(duì)\(\lnL(\theta)\)求關(guān)于\(\theta\)的導(dǎo)數(shù)并令其為\(0\)：\(\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\lnx_i=0\)解得\(\theta=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnx_i}\)。所以\(\theta\)的極大似然估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnX_i}\