第25頁/共25頁2023年遼寧省教研聯盟高三第二次調研測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．本試卷共22題，共150分，共8頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合、，利用集合的包含關系和交集、并集的定義可判斷各選項.【詳解】由解得，故，由于，所以，ABD錯誤，C正確.故選：C.2.已知z復數滿足（其中i為虛數單位），則的值為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據復數乘方運算規則以及共軛復數的定義求解.【詳解】，；故選：B.3.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排4人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（）．A.14種 B.16種 C.18種 D.20種【答案】C【解析】【分析】可以按照元素甲分類討論，特殊元素和特殊位置優先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的4人中選取3人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下5人中選取4人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據分類加法計數原理，共有種可能.故選：C.4.“”是“函數是奇函數”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】函數為奇函數，解得，判斷與的互推關系，即可得到答案.【詳解】當函數為奇函數，則，解得.所以“”是“函數為奇函數”的充分不必要條件.故選：A.5.已知單位向量，滿足，若向量，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出及，利用向量余弦夾角公式計算，再利用平方關系求出.【詳解】因為，是單位向量，所以，又因為，，所以，，所以，因為，所以.故選：A.6.已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（）．A.點在l上 B.點在圓O上C.點在圓O內 D.點在圓O外【答案】D【解析】【分析】根據l與圓O相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，列出不等式，再判斷點與直線和圓的關系.【詳解】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，則有，故，把代入，所以點不在直線l上，故A錯誤；又，則點在圓O外，故D正確.故選：D．7.已知雙曲線的焦點關于漸近線的對稱點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對稱性的性質及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結合雙曲線的定義及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】關于漸近線的對稱點在雙曲線上，如圖所示，則.所以是的中位線，所以,.所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進而,所以離心率.故選：C.8.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先構造函數，求導確定函數單調性，即可判斷的大小.【詳解】令，則，顯然當時，是減函數，又，，即，，即，時，，故是減函數，，即，，可得，即.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的命題是（）．A.數據1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位數是7B.若隨機變量，則C.在回歸分析中，可用相關系數R的值判斷模型的擬合效果，越趨近于1，模型的擬合效果越好D.若隨機變量，，則【答案】CD【解析】【分析】根據統計學的相關知識逐項分析.【詳解】對于A，一共是10個數，，即分位數就是第7個數和第8個數的平均值，即，錯誤；對于B，，，錯誤；對于C，表示變量之間相關的程度，越大表示相關程度越高，擬合效果越好，正確；對于D，，根據正態分布的對稱性，，，正確；故選：CD.10.函數的部分圖像如圖所示，，，則下列選項中正確的有（）．A.B.C.將的圖像右移個單位所得函數為奇函數D.的單調遞增區間【答案】BC【解析】【分析】根據圖象得到最小正周期，得到，由結合的范圍求出，由求出，判斷AB選項，由左加右減得到平移后的解析式，結合函數奇偶性得到C正確；由整體法得到函數的單調遞增區間.【詳解】根據圖象可得，解得，因為，所以，解得，，因為，所以，因為，所以，故，解得，故，所以，解得，A錯誤，B正確；C選項，，將的圖像右移個單位得到，定義域為R，因為，所以將的圖像右移個單位所得函數為奇函數，C正確；D選項，，解得，故的單調遞增區間，D錯誤.故選：BC11.“內卷”是一個網絡流行詞，一般用于形容某個領域中發生了過度的競爭，導致人們進入了互相傾軋、內耗的狀態，從而導致個體“收益努力比”下降的現象．數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分E，F，G，H作第二個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點M，N，P，Q作第3個正方形，以此方法一直循環下去，就可得到陰影部分圖案，設正方形邊長為，后續各正方形邊長依次為，，…，；如圖（2）陰影部分，設直角三角形面積為，后續各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法正確的是（）．A.數列是以4為首項，為公比的等比數列B.從正方形開始，連續3個正方形的面積之和為C.使得不等式成立的的最大值為4D.數列的前n項和【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，，都是等比數列，從而可求，的通項公式，再對選項逐個判斷即可得到答案．【詳解】對于A選項，由題意知，且，所以，又因為，所以數列是以4為首項，為公比的等比數列，故A正確；對于B選項，由上知，，，，，所以，故B正確；對于C選項，，易知是單調遞減數列，且，，故使得不等式成立的的最大值為3，故C錯誤；對于D選項，因為，且，所以，所以，故D正確；故選：ABD．12.已知為等腰直角三角形，，其高，E為線段的中點，將沿折成大小為的二面角，連接，形成四面體，動點P在內（含邊界），且平面，則在變化的過程中（）．A.B.E點到平面的距離的最大值為C.點P在內（含邊界）的軌跡長度為D.當時，與平面所成角的正切值的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】作圖，根據圖中的幾何關系以及有關定義構造三角形逐項求解.【詳解】依題意作下圖：，，又，平面BCD，平面BCD，平面BCD，平面BCD，，A正確；取AD的中點F，CD的中點G，連接；平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，，平面平面ABC，又平面ABC，平面ACD，平面平面，點在線段GF上，P點在內軌跡的長度，C錯誤；過E點作CD的垂線EH得垂足H，平面BCD，平面BCD，平面ACD，平面ACD，平面ACD，即線段EH的長度就是E點到平面ACD的距離，，B正確；對于D，如圖過B點作CD的垂線得垂足I，則有平面ACD，過I點作GF的垂線得垂足P，平面BPI，平面BPI，平面BPI，，又，BP與平面ACD所成的角就是，在等腰直角三角形GPI中，，，，當時，，I點與G點重合，P點與G點重合，此時平面ACD，不存在；令，，是減函數，當時取最小值，即，D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.若實數，且，則______.【答案】0【解析】【分析】由，可得，據此可得答案.【詳解】因，則，，又由換底公式推論可得，設，則，故，由換底公式，則.故答案為：014.在二項式的展開式中，若所有項的系數之和等于64，那么在這個展開式中，項的系數是__________．（用數字作答）【答案】135【解析】【分析】根據給定條件，利用賦值法求出n值，再求出二項式展開式的通項即可求解作答.【詳解】在中，令得所有項的系數之和為，依題意，，解得，因此的展開式的通項為，令得：，所以項的系數是135.故答案為：13515.點A，B是拋物線上的兩點，F是拋物線C的焦點，若，中點D到拋物線C的準線的距離為d，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由拋物線幾何性質可得，再由勾股定理和基本不等式可得.【詳解】在中，，，由拋物線幾何性質可得，所以，即，，當且僅當時等號成立.故答案為：.16.已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交軸于兩點，則_________，的取值范圍是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據題意，分和，結合導數的幾何意義得函數的圖象在點和點的兩條切線分別為和，再結合題意得，進而得第一個空的答案，再求坐標，結合距離公式求和化簡整理得，最后求范圍即可得答案.【詳解】解：當時，，故，所以函數的圖象在點處的切線斜率為，切線方程，所以，當時，，，所以函數的圖象在點處的切線斜率為，切線方程為所以，因為函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，、所以，即，所以，，，所以，由于，所以，所以，因為，所以，所以所以的取值范圍是故答案為：；.四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列的通項公式為，等比數列滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）記，的前n項和分別為，，求滿足（）的所有數對．【答案】（1）（2）滿足條件所有數對為【解析】【分析】（1）根據的通項公式求出，從而得到，求出公比，得到通項公式；（2）利用等差數列和等比數列前項和公式列出方程，，變形后得到，根據且為整數，求出相應的值，得到滿足條件所有數對.【小問1詳解】由，所以，故，所以等比數列的公比為，故，所以，即等比數列{}的通項公式為；【小問2詳解】由已知得：，由（1）可知，由，所以，即，故，因為m正整數，，所以，，故滿足條件所有數對為．18.在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且_____________．（1）求角A大小；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選①時結合正弦定理進行邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡即得，結合范圍即得結果；選②，先利用二倍角公式化簡求解，再利用誘導公式即得，結合范圍即得結果；選③，先展開化簡，結合正弦定理進行角化邊，再利用余弦定理求得，結合范圍即得結果；（2）結合，，利用余弦定理得到，先利用基本不等式即求得最值，再利用面積公式即求得結果.【詳解】解：（1）選①，由正弦定理得，得，即，即，又，所以，所以，又，從而得；選②，因為，所以，，又因為，所以；選③，因為，所以，即，所以由正弦定理得，由余弦定理知，因為，所以；（2）由（1）得，又，由余弦定理，所以，當且僅當時取得等號，故，當且僅當時取得等號，所以面積的最大值為．【點睛】方法點睛：求解三角形中有關邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關系與不等關系，然后利用函數或基本不等式求解.19.如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，平面ABCD為等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.（1）求證：△PAD為直角三角形；（2）若，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于H，連BD，證明，再結合面面垂直的性質、線面垂直的性質、判定推理作答.（2）在平面內過點P作，以P為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【小問1詳解】在等腰梯形中，作于H，連BD，如圖，則，且，則，即，而，因此，，即，因平面平面，平面平面，平面，而，則平面，又平面，于是有，，平面，則有平面，平面，因此，，所以為直角三角形.【小問2詳解】在平面內過點P作，因平面平面，平面平面，則平面，因此，兩兩垂直，以點P為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，有，從而得，設平面的一個法向量，則，令，得，，設直線PD與平面所成角為，則有，所以直線PD與平面所成角的正弦值為.20.在做數學卷多選題時考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當作“單選題”來做，選對得2分；策略B：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，漏選得2分，全部選對得5分．本次期末考試前，某同學通過模擬訓練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時（分鐘）第11題第12題A選對選項0.80.53B部分選對0.60.26全部選對0.30.7已知該同學作答兩題的狀態互不影響，但這兩題總耗時若超過10分鐘，其它題目會因為時間緊張而少得1分．根據以上經驗解答下列問題：（1）若該同學此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差；（2）若該同學期望得到高分，請你替他設計答題方案．【答案】（1）分布列見解析，，（2）題和12題均采用策略，理由見解析；【解析】【分析】（1）先求出隨機變量的可能取值，然后求出其對應的概率，列出分布列，即可求出數學期望與方差；（2）依題意列出所有可能情況，分別求出數學期望，即可判斷；【小問1詳解】解：設事件為“第11題得0分”，事件為“第11題得2分”，事件為“第11題得5分”，事件為“第12題得0分”，事件為“第12題得2分”，所以，，，，，由題意可知，的可能取值為0，2，4，5，7，則，，，，，所以小明第11題和第12題總得分的分布列為：02457所以，【小問2詳解】解：依題意該同學答題方案有：方案題采用策略，12題采用策略；方案題和12題均采用策略；方案題和12題均采用策略；方案題采用策略，12題采用策略；設隨機變量為該同學采用方案2時，第11題和第12題總得分，則的可能取值為0，2，4，5，7，10，故，，，，，，故的分布列為：02457100.010.080.120.10.480.21所以，但因為時間超過10分鐘，后面的題得分少分，相當于得分均值為3分，因為，方案的期望值一定小于，故不選方案，設隨機變量為該同學采用方案4時，第11題和第12題總得分，則的可能取值為0，2，4，5，7，故，，，，，故的分布列為：024570.020.120.160.140.56所以，方案的期望值也小于，故不選方案；所以我建議該同學按照方案題和12題均采用策略．21.在直角坐標平面內，已知兩點，，動點M到點的距離為，線段的垂直平分線交于點N．（1）求動點N的軌跡方程；（2）設（1）中動點的軌跡為C，圓，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與軌跡C交于P、Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)