小學六年級數學工程問題應用題典型題?一、工程問題的基本概念工程問題是小學數學應用題中的重要類型，它主要研究工作總量、工作效率和工作時間三者之間的關系。通常把工作總量看作單位"1"，工作效率就是單位時間內完成的工作量。

二、基本數量關系1.工作總量=工作效率×工作時間2.工作效率=工作總量÷工作時間3.工作時間=工作總量÷工作效率

三、典型例題分析

（一）簡單的工程問題1.例題1：一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成。兩隊合做，幾天可以完成這項工程？-分析：-把這項工程的工作總量看作單位"1"。-甲隊單獨做需要10天完成，根據工作效率=工作總量÷工作時間，可得甲隊的工作效率為\(1\div10=\frac{1}{10}\)。-乙隊單獨做需要15天完成，乙隊的工作效率為\(1\div15=\frac{1}{15}\)。-兩隊合作的工作效率就是甲隊工作效率與乙隊工作效率之和，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。-解答：-先求兩隊合作的工作效率：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)-再根據工作時間=工作總量÷工作效率，可得兩隊合作完成這項工程需要的時間為：\(1\div\frac{1}{6}=6\)（天）-總結：-解決這類簡單工程問題的關鍵是明確工作總量、工作效率和工作時間之間的關系，先分別求出各隊的工作效率，再求出合作的工作效率，最后根據公式計算工作時間。

2.例題2：一件工作，甲單獨做8小時完成，乙單獨做12小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙做，還需要幾小時完成？-分析：-把這件工作的工作總量看作單位"1"。-甲單獨做8小時完成，甲的工作效率為\(1\div8=\frac{1}{8}\)。-乙單獨做12小時完成，乙的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-甲先做2小時，根據工作總量=工作效率×工作時間，甲做了\(\frac{1}{8}\times2=\frac{1}{4}\)。-那么余下的工作總量為\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)。-解答：-先求余下的工作總量：\(1-\frac{1}{8}\times2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)-再求乙完成余下工作需要的時間：\(\frac{3}{4}\div\frac{1}{12}=\frac{3}{4}\times12=9\)（小時）-總結：-本題先求出甲完成的工作量，進而得到余下的工作量，然后根據乙的工作效率求出乙完成余下工作所需的時間。要注意分析題目中的工作順序和各部分工作量之間的關系。

（二）工作效率變化的工程問題1.例題3：一項工程，甲、乙兩隊合做12天完成。現在甲隊先做8天，乙隊接著做14天正好完成。如果由甲隊單獨做這項工程，需要多少天完成？-分析：-把這項工程的工作總量看作單位"1"。-甲、乙兩隊合做12天完成，兩隊合作的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-甲隊先做8天，乙隊接著做14天，可以看作甲、乙兩隊合做8天，乙隊再單獨做\(14-8=6\)天。-甲、乙兩隊合做8天的工作量為\(\frac{1}{12}\times8=\frac{2}{3}\)。-那么乙隊6天完成的工作量為\(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)。-由此可求出乙隊的工作效率為\(\frac{1}{3}\div6=\frac{1}{18}\)。-進而求出甲隊的工作效率為\(\frac{1}{12}-\frac{1}{18}\)。-解答：-先求乙隊的工作效率：\((1-\frac{1}{12}\times8)\div(14-8)=(1-\frac{2}{3})\div6=\frac{1}{3}\div6=\frac{1}{18}\)-再求甲隊的工作效率：\(\frac{1}{12}-\frac{1}{18}=\frac{3}{36}-\frac{2}{36}=\frac{1}{36}\)-最后求甲隊單獨完成這項工程需要的時間：\(1\div\frac{1}{36}=36\)（天）-總結：-此類問題通過對工作過程的合理轉化，將復雜的工作情況轉化為熟悉的合作與單獨工作相結合的形式，從而求出各隊的工作效率，進而解決問題。關鍵在于找到工作效率之間的關系，巧妙地進行工作量的拆分和計算。

2.例題4：一批零件，師傅單獨加工需要12小時完成，徒弟單獨加工需要18小時完成。師傅先加工2小時后，剩下的由師徒兩人合作完成，還需要幾小時？-分析：-把這批零件的工作總量看作單位"1"。-師傅單獨加工需要12小時完成，師傅的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-徒弟單獨加工需要18小時完成，徒弟的工作效率為\(1\div18=\frac{1}{18}\)。-師傅先加工2小時，師傅加工的工作量為\(\frac{1}{12}\times2=\frac{1}{6}\)。-那么剩下的工作量為\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)。-師徒兩人合作的工作效率為\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。-解答：-先求剩下的工作量：\(1-\frac{1}{12}\times2=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)-再求師徒兩人合作的工作效率：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)-最后求師徒兩人合作完成剩下工作需要的時間：\(\frac{5}{6}\div\frac{5}{36}=\frac{5}{6}\times\frac{36}{5}=6\)（小時）-總結：-本題先明確師傅單獨加工的工作量，進而得出剩余工作量，再求出師徒合作的工作效率，最后利用工作時間公式求解。重點在于準確把握工作效率和工作量的變化情況，逐步計算所需時間。

（三）多人合作的工程問題1.例題5：一項工程，甲、乙、丙三人合做需要10天完成。如果甲、乙合做需要12天完成，乙、丙合做需要15天完成。那么甲、丙合做需要多少天完成？-分析：-把這項工程的工作總量看作單位"1"。-甲、乙、丙三人合做的工作效率為\(1\div10=\frac{1}{10}\)。-甲、乙合做的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-乙、丙合做的工作效率為\(1\div15=\frac{1}{15}\)。-用甲、乙、丙三人合做的工作效率減去乙、丙合做的工作效率，可得到甲的工作效率為\(\frac{1}{10}-\frac{1}{15}\)。-用甲、乙、丙三人合做的工作效率減去甲、乙合做的工作效率，可得到丙的工作效率為\(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}\)。-然后求出甲、丙合做的工作效率，進而求出甲、丙合做需要的時間。-解答：-先求甲的工作效率：\(\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{3}{30}-\frac{2}{30}=\frac{1}{30}\)-再求丙的工作效率：\(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{6}{60}-\frac{5}{60}=\frac{1}{60}\)-接著求甲、丙合做的工作效率：\(\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\)-最后求甲、丙合做需要的時間：\(1\div\frac{1}{20}=20\)（天）-總結：-對于多人合作的工程問題，通過已知條件求出各組合的工作效率，再通過組合工作效率之間的運算求出特定兩人合作的工作效率，從而解決問題。關鍵是要清晰地分析各組合工作效率之間的關系，逐步推導所需的工作效率。

2.例題6：一件工作，甲單獨做要20天完成，乙單獨做要12天完成。這件工作先由甲做了若干天，然后由乙繼續做完，從開始到完工共用了14天。甲、乙各做了多少天？-分析：-把這件工作的工作總量看作單位"1"。-甲單獨做要20天完成，甲的工作效率為\(1\div20=\frac{1}{20}\)。-乙單獨做要12天完成，乙的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-設甲做了\(x\)天，則乙做了\((14-x)\)天。-根據甲的工作量加上乙的工作量等于工作總量"1"，可列出方程。-解答：設甲做了\(x\)天，則乙做了\((14-x)\)天。\(\frac{1}{20}x+\frac{1}{12}(14-x)=1\)\(\frac{1}{20}x+\frac{14}{12}-\frac{1}{12}x=1\)\(\frac{1}{20}x-\frac{1}{12}x=1-\frac{14}{12}\)\(\frac{3}{60}x-\frac{5}{60}x=\frac{12}{12}-\frac{14}{12}\)\(-\frac{2}{60}x=-\frac{2}{12}\)\(x=5\)則乙做的天數為：\(14-5=9\)（天）-總結：-本題通過設未知數，利用工作量的關系建立方程求解。對于此類有時間限制且兩人分別工作的工程問題，設未知數并根據工作量之和為1來列方程是常用的解題方法。要注意找到合適的等量關系，準確列出方程并求解。

（四）周期工程問題1.例題7：一項工程，甲單獨做需要12小時完成，乙單獨做需要18小時完成。如果按照甲先乙后每人每次1小時輪流工作，完成這項工程需要多少小時？-分析：-把這項工程的工作總量看作單位"1"。-甲單獨做需要12小時完成，甲的工作效率為\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-乙單獨做需要18小時完成，乙的工作效率為\(1\div18=\frac{1}{18}\)。-甲、乙各做1小時看作一個循環周期，一個周期完成的工作量為\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。-計算需要幾個完整周期以及剩余工作量，再確定完成剩余工作量所需時間。-解答：-先求一個周期完成的工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)-再求需要幾個周期：\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}\)-即經過7個完整周期后，還剩下的工作量為：\(1-\frac{5}{36}\times7=1-\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)-此時輪到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)工作量需要的時間為：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{36}\times12=\frac{1}{3}\)（小時）-所以完成這項工程總共需要的時間為：\(7\times2+\frac{1}{3}=14+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小時）-總結：-周期工程問題關鍵是找出循環周期以及每個周期完成的工作量，通過計算周期數和剩余工作量來確定完成工程所需的總時間。要注意分析每個周期內不同人員的工作情況以及剩余工作量的分配。

2.例題8：一項工程，甲、乙、丙三人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時，乙、丙合做2小時，可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)；如果甲、乙合做3小時，丙做6小時，也可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)。這項工程如果由甲、丙合做，需要幾小時完成？-分析：-把這項工程的工作總量看作單位"1"。-甲、乙、丙三人合做6小時可以完成，三人合作的工作效率為\(1\div6=\frac{1}{6}\)。-甲工作6小時，乙、丙合做2小時，可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)，可看作甲、乙、丙合做2小時，甲再單獨做\(6-2=4\)小時完成\(\frac{2}{3}\)。-那么甲4小時完成的工作量為\(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\times2\)。-由此可求出甲的工作效率。-甲、乙合做3小時，丙做6小時，也可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)，可看作甲、乙、丙合做3小時，丙再單獨做\(6-3=3\)小時完成\(\frac{2}{3}\)。-那么丙3小時完成的工作量為\(\frac{2}{3}-\fra