線性代數自考題及答案6一、單項選擇題（每題2分，共10分）1.矩陣A的行列式為0，則矩陣A（）A.可逆B.不可逆C.行向量線性相關D.列向量線性無關答案：B2.向量組α1，α2，…，αs線性相關，則（）A.r（α1，α2，…，αs）=sB.r（α1，α2，…，αs）＜sC.r（α1，α2，…，αs）＞sD.r（α1，α2，…，αs）=0答案：B3.矩陣A與矩陣B等價的充要條件是（）A.|A|=|B|B.A與B行向量組等價C.A與B列向量組等價D.A與B行向量組等價且列向量組等價答案：D4.矩陣A經過初等變換得到矩陣B，則（）A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.A與B行等價D.A與B列等價答案：C5.矩陣A經過初等變換得到矩陣B，則（）A.A與B行等價B.A與B列等價C.A與B行等價且列等價D.A與B行等價或列等價答案：C二、填空題（每題3分，共15分）6.矩陣A的秩為3，矩陣B的秩為2，則矩陣AB的秩為___________。答案：27.矩陣A的秩為2，矩陣B的秩為3，則矩陣AB的秩為___________。答案：28.矩陣A的秩為3，矩陣B的秩為3，則矩陣AB的秩為___________。答案：39.矩陣A的秩為2，矩陣B的秩為2，則矩陣AB的秩為___________。答案：0或1或210.矩陣A的秩為1，矩陣B的秩為1，則矩陣AB的秩為___________。答案：0或1三、計算題（每題10分，共20分）11.計算矩陣A的行列式：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}答案：|A|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=012.計算矩陣A的秩：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}答案：r(A)=2四、證明題（每題15分，共30分）13.證明：矩陣A與矩陣B等價的充要條件是A與B行向量組等價且列向量組等價。證明：必要性：設矩陣A與矩陣B等價，即存在初等矩陣P1，P2，…，Pk，使得Pk…P2P1A=B。則矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價，矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價。充分性：設矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價，矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價。則存在初等矩陣P1，P2，…，Pk，使得Pk…P2P1A=B。故矩陣A與矩陣B等價。14.證明：矩陣A經過初等變換得到矩陣B，則A與B行等價且列等價。證明：設矩陣A經過初等變換得到矩陣B，即存在初等矩陣P1，P2，…，Pk，使得Pk…P2P1A=B。則矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價，矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價。故A與B行等價且列等價。五、綜合題（每題20分，共20分）15.設矩陣A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}，求矩陣A的逆矩陣。解：矩陣A的行列式為0，故矩陣A不可逆。矩陣A的秩為2，故矩陣A的零空間的維數為1。設矩陣A的零空間的一組基