三、分類(lèi)討論思想第1頁(yè)思想解讀思想解讀應(yīng)用類(lèi)型分類(lèi)討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,經(jīng)過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題解答來(lái)實(shí)現(xiàn)處理原問(wèn)題思想策略,對(duì)問(wèn)題實(shí)施分類(lèi)與整合,分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題),優(yōu)化解題思緒,降低問(wèn)題難度.1.由數(shù)學(xué)概念而引發(fā)分類(lèi)討論:如絕對(duì)值意義、不等式定義、二次函數(shù)定義、直線傾斜角等.2.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引發(fā)分類(lèi)討論:如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零,偶次方根被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)要求,指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)要求,不等式中兩邊同乘一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù),三角函數(shù)定義域,等差、等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式等.3.由性質(zhì)、定理、公式限制引發(fā)分類(lèi)討論:如函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等.4.由圖形不確定性而引發(fā)分類(lèi)討論:如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.5.由參數(shù)改變而引發(fā)分類(lèi)討論:如一些含有參數(shù)問(wèn)題,因?yàn)閰?shù)取值不一樣而造成所得結(jié)果不一樣或因?yàn)閷?duì)不一樣參數(shù)值要利用不一樣求解或證實(shí)方法等.第2頁(yè)總綱目錄應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類(lèi)討論應(yīng)用二

由圖形位置或形狀引發(fā)分類(lèi)討論應(yīng)用三

由參數(shù)改變引發(fā)分類(lèi)討論第3頁(yè)應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類(lèi)討論例若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)

在[0,+∞)上是增函數(shù),則a=

.答案

解析

g(x)=(1-4m)

在[0,+∞)上是增函數(shù),應(yīng)有1-4m>0,即m<

.當(dāng)a>1時(shí),f(x)=ax為增函數(shù),由題意知

?m=

,與m<

矛盾.當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=ax為減函數(shù),由題意知

?m=

,滿足m<

.故a=

.第4頁(yè)【技法點(diǎn)評(píng)】因?yàn)閒(x)=ax(a>0,且a≠1)中a范圍沒(méi)有確定,故應(yīng)對(duì)a

進(jìn)行分類(lèi)討論.第5頁(yè)跟蹤集訓(xùn)1.已知a,b>0,且a≠1,b≠1.若logab>1,則

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D

logab>1?logab-logaa>0?loga

>0?

或

即

或

當(dāng)

時(shí),0<b<a<1,所以b-1<0,b-a<0;當(dāng)

時(shí),b>a>1,所以b-1>0,b-a>0.所以(b-1)(b-a)>0,故選D.第6頁(yè)2.設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q,前n項(xiàng)和Sn>0(n=1,2,3,…),則q取值范圍為

.第7頁(yè)答案(-1,0)∪(0,+∞)解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,Sn>0,所以a1=S1>0,q≠0,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1>0,當(dāng)q≠1時(shí),Sn=

>0,即

>0(n=1,2,3,…),則有①

或②

由①得-1<q<1,由②得q>1.又q≠0,故q取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞).第8頁(yè)應(yīng)用二

由圖形位置或形狀引發(fā)分類(lèi)討論例已知變量x,y滿足不等式組

表示是一個(gè)直角三角形圍成平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k=

()A.-

B.

C.0

D.-

或0第9頁(yè)解析不等式組

表示可行域如圖(陰影部分)所表示,由圖可知,因?yàn)椴坏仁浇M

表示平面區(qū)域是直角三角形,所以直線y=kx+1與直線x=0或y=2x垂直.

答案

D結(jié)合圖形可知k值為0或-

.第10頁(yè)【技法點(diǎn)評(píng)】(1)本題中直角頂點(diǎn)位置不定,影響k取值,故需按直

角頂點(diǎn)不一樣位置進(jìn)行討論.(2)包括幾何問(wèn)題時(shí),因?yàn)閹缀卧匦螤睢⑽恢酶淖儾淮_定性,需要

依據(jù)圖形特征進(jìn)行分類(lèi)討論.第11頁(yè)跟蹤集訓(xùn)1.(安徽合肥第一次模擬)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0圓心為C,直線l過(guò)(0,

3),且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2

,則直線l方程為

()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案

B當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),計(jì)算出弦長(zhǎng)為2

,符合題意;當(dāng)直線l斜率存在時(shí),可設(shè)直線l方程為y=kx+3,由弦長(zhǎng)為2

可知,圓心到該直線距離為1,從而有

=1,解得k=-

,綜上,直線l方程為x=0或3x+4y-12=0,選B.第12頁(yè)2.設(shè)F1,F2是橢圓

+

=1左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn).已知P,F1,F2是直角三角形三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|>|PF2|,則

值為

.第13頁(yè)答案

或2解析若∠PF1F2=90°,此時(shí)不符合題意,應(yīng)舍去,若∠PF2F1=90°,則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又由題意可知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2

,解得|PF1|=

,|PF2|=

,所以

=

.若∠F1PF2=90°,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,解得|PF1|=4或2,又|PF1|>|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以

=2.綜上知,

值為

或2.第14頁(yè)應(yīng)用三

由參數(shù)改變引發(fā)分類(lèi)討論例已知函數(shù)f(x)=x2-ax,g(x)=mx+nlnx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線

斜率為1,曲線y=g(x)在x=2處取得極小值2-2ln2.(1)求函數(shù)f(x),g(x)解析式;(2)若不等式f(x)+g(x)≥x2-k(x-1)對(duì)任意x∈(0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)k取值

范圍.解析(1)f'(x)=2x-a,則有f'(1)=2-a=1,所以a=1,f(x)=x2-x.因?yàn)間'(x)=m+

,所以

故

所以g(x)=x-2lnx.第15頁(yè)(2)f(x)+g(x)=x2-2lnx,令h(x)=f(x)+g(x)-x2+k(x-1)=k(x-1)-2lnx,x∈(0,1],所以h'(x)=k-

=

.①當(dāng)k≤0時(shí),h'(x)<0,h(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(1)=0.②當(dāng)0<k≤2時(shí),h'(x)=

≤0,h(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(1)=0.③當(dāng)k>2時(shí),h'(x)<0在

上恒成立,h'(x)>0在

上恒成立,所以h(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,又由題意得h(x)min=h第16頁(yè)

<h(1)=0,故h(x)≥0在(0,1]上不恒成立.總而言之,實(shí)數(shù)k取值范圍為(-∞,2].【技法點(diǎn)評(píng)】(1)本題第(2)問(wèn)在研究函數(shù)最值時(shí),對(duì)參數(shù)k進(jìn)行了分

類(lèi)討論.(2)若碰到題目中含有參數(shù)問(wèn)題,經(jīng)常結(jié)合參數(shù)意義及對(duì)結(jié)果影

響進(jìn)行分類(lèi)討論,此種題目為含參型,應(yīng)全方面分析參數(shù)改變引發(fā)結(jié)論

改變情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合思想,分類(lèi)

要做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確,不重不漏.第17頁(yè)跟蹤集訓(xùn)1.(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,20,12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處切線方程;(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a取值范圍.第18頁(yè)解析(1)f(x)定義域?yàn)?0,+∞).當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+

-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處切線方程為2x+y-2=0.(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0等價(jià)于lnx-

>0.設(shè)g(x)=lnx-

,則g'(x)=

-

=

,g(1)=0.(i)當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時(shí),x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)

上單調(diào)遞增,所以g(x)>0;(ii)當(dāng)a>2時(shí),令g'(x)=0得第19頁(yè)x1=a-1-?,x2=a-1+?.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,因

此g(x)<0.綜上,a取值范圍是(-∞,2].第20頁(yè)2.(河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=

+lnx-2,a∈R.(1)當(dāng)a=8時(shí),求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)在(0,e2]上有最小值2?若存在,求出a值,

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.第21頁(yè)解析(1)由題意知f(x)定義域?yàn)?0,+∞).∵a=8,∴f(x)=

+lnx-2.∴f'(x)=

+

=

,令f'(x)>0,得x>8,f(x)在(8,+∞)上單調(diào)遞增,令f'(x)<0,得0<x<8,f(x)在(0,8)上單調(diào)遞減;∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(8,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,8).(2)存在.∵f(x)=

+lnx-2(x>0),∴f'(x)=

+

=

(x>0).(i)當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,e2]上單調(diào)遞增,無(wú)最小值,不滿足

題意.第22頁(yè)(ii)當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,得x=a,所以當(dāng)f'(x)>0時(shí),x>a,當(dāng)f'(x)<0時(shí),0<x<a,此時(shí)函數(shù)f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減.若a>e2,則函數(shù)f(x