/山東省濰坊市2025屆高三下學期診斷性調研監測考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．若，則（）A． B．1 C．3 D．3．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．若圓錐的母線與軸的夾角為，高為，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．5．下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．6．從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次，每次取一張，則抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為C在第一象限內的點，且，點P關于x軸的對稱點為Q，若為等邊三角形．則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數及其導函數的定義域均為，，且，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某學校準備組織部分同學去研學旅行，為了便于識別，他們準備定做一批容量一致的雙肩包，為此，活動負責人征求了參加同學的意向，得到了如下數據：容量/L222528313437頻數4152122對于上述數據，下列說法正確的是（

）A．眾數為31 B．第一四分位數為28C．平均數大于28 D．標準差小于210．已知數列的前n項和為，若，，則（

）A． B．數列為等比數列C． D．11．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，如星形線、心形線、卵形線等．已知卵形線C：，則（

）A．C關于直線對稱B．C上橫、縱坐標均是整數的點恰有4個C．C上存在點P，使得P到點的距離小于1D．C圍成區域的面積大于4三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式的第8項是．13．已知正項等比數列的前n項和為，若，則．14．已知函數，則；若恰有三個不同的零點，，，則．四、解答題（本大題共5小題）15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的角平分線AD與BC交于點D，且，．求的面積，16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面，，E為PB中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．17．已知函數，．(1)若恒成立，求a的最小值；(2)若是的極小值點，求n的取值范圍．18．截至2024年底，我國新能源汽車保有量達到3140萬輛，占汽車總量的8.9%．某市調查了1000名汽車駕駛員對新能源汽車的偏好程度，調查結果如下：偏好燃油汽車偏好新能源汽車合計男性駕駛員女性駕駛員100400合計4001000(1)請根據所給數據，完成上面的列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關；(2)用頻率估計概率，在所有參加調查的駕駛員中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取10名駕駛員，再從這10名駕駛員中隨機抽取2人進行問卷調查．（ⅰ）抽取的2人中，求在有女性駕駛員參加問卷調查的條件下，恰有1名男性駕駛員也參加問卷調查的概率；（ⅱ）記抽取的2人中，來自女性駕駛員且偏好新能源汽車的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，，短軸長為．(1)求的方程；(2)斜率不為的直線交于，兩點，，的斜率分別記為，，且．（ⅰ）當的上頂點到的距離最大時，求的方程；（ⅱ）若直線和交于點，記的面積為，的面積為，求出的取值范圍．

參考答案1．【答案】D【詳解】因為,,故，故選：D.2．【答案】B【詳解】依題意，，所以.故選：B3．【答案】B【詳解】由向量，，得，而，所以與的夾角為.故選：B4．【答案】C【詳解】如圖為圓錐的軸，為圓錐的母線，由已知，，所以，即圓錐的底面半徑，所以，所以圓錐的側面積，故選：C.5．【答案】A【詳解】對于A，的圖象可由的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，故其最小正周期為，當時，在上單調遞增，A是；對于B，由A的分析同理可知的最小正周期為，當時，在上單調遞減，B不是；對于C，的最小正周期為，在上單調遞減，C不是；對于D，的最小正周期為，D不是.故選：A6．【答案】C【詳解】從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次的所有情況有種，抽到的3張卡片上的數字之和大于9的情況有10種，所以抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率為.故選：C.7．【答案】B【詳解】令雙曲線的半焦距為c，由關于軸對稱，且為等邊三角形，得，由，得，則，所以雙曲線的離心率.故選：B8．【答案】C【詳解】因為，且，令，得.對兩邊同時求導，得，即.令，得.令，得，故.故選：C.9．【答案】ABC【詳解】對于A，31出現的次數最多，因此眾數為31，A正確；對于B，由，得第一四分位數為從小到在排列的第9個數28，B正確；對于C，平均數，C正確；對于D，由，得樣本數據的方差大于4，因此樣本數據的標準差大于2，D錯誤.故選：ABC10．【答案】BCD【詳解】數列中，，，則，，整理得，而，因此數列是首項、公比均為的等比數列，B正確；，解得，對于A，，A錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD11．【答案】ABD【詳解】由，則，對于曲線上任意點，其關于軸對稱點為，把代入成立，曲線關于直線對稱，A對；所以，得，故，時；時；時，故曲線過點，曲線C上恰好有4個整點，B對；由圓過點，故圓上點均在曲線上或內，所以曲線上不存在點，使得P到點的距離小于1，C錯；如圖中，四邊形在曲線內部，故曲線所圍成區域的面積大于，D對.故選：ABD12．【答案】【詳解】因為的展開式的通項公式，令，則，所以展開式的第8項是.故答案為:.13．【答案】/0.125【詳解】設正項等比數列的公比為，由，得，因此，，所以.故答案為：14．【答案】【詳解】因為，所以，所以，設，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，當時，，又，所以函數為偶函數，所以函數圖象關于軸對稱，故函數圖象關于直線對稱，當時，，，令可得，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，又，，當時，，當，且時，，所以函數的圖象如下：

設，由圖象可得當時，方程的根為，當時，方程有兩個根，當時，方程有四個根，當或時，方程沒有根，因為函數有個不同的零點，所以方程有個不同的根，所以方程有兩個根或，不妨設，則的根為，，方程的根為，，，，所以.故答案為：；.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，整理得，所以，因為，所以；（2）因為的角平分線為AD，所以，因為，所以，因為，，所以，化簡可得，解得，所以16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）過作，垂足為，由于等腰梯形對稱性可知，則，,，,所以，，由于平面，平面，所以，又因為平面，所以平面，平面，所以，因為，所以是等腰三角形，因E為PB中點，所以,因為平面，，故平面.（2）如圖所示，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，因為E為PB中點，所以可得，設平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設二面角為，則，所以所以二面角的正弦值為.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）函數的定義域為，不等式，則，令，求導得，當時，，當時，，函數在上遞增，在上遞減，于是，則，所以a的最小值為.（2）依題意，，求導得，由是的極小值點，得，則，，當時，由，得；由，得，是的極大值點，不符合題意；當時，由，得；由，是或，是的極大值點，不符合題意；當時，恒有成立，當且僅當時取等號，單調遞減，無極值點，不符合題意；對于時，由，得；由，是或，是的極小值點，符合題意，所以n的取值范圍是.18．【答案】(1)列聯表見解析，有；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【詳解】（1）列聯表為：偏好燃油汽車偏好新能源汽車合計男性駕駛員300300600女性駕駛員100300400合計4006001000的觀測值為，所以有99.9%的把握認為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關.（2）（ⅰ）抽取10名駕駛員中，女性駕駛員有（人），男性駕駛員有6人，記有女性駕駛員參加問卷調查的事件為，恰有1名男性駕駛員也參加問卷調查的事件為，，，所以.（ⅱ）用頻率估計概率，女性駕駛員且偏好新能源汽車的概率為，偏好燃油汽車的概率為，的所有可能值為0，1，2，被抽取的4名女性駕駛員恰有人參加問卷調查的事件為，則，參加問卷調查的女性駕駛員中偏好新能源汽車的人數恰好為人的事件為事件，，，；；，所以的分布列為：012數學期望.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，因為，所以，因為橢圓的短軸長為，所以，又，故，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）（ⅰ）因為直線的斜率不為，故可設其方程為，聯立，化簡可得，方程的判別式，設，由已知為方程的兩根，所以，