9.2.2總體百分位數的估計【學習目標】1.結合實例,能用樣本估計百分位數2.理解百分位數的統計含義【素養達成】數據分析數據分析百分位數1.總體百分位數的估計一般地,一組數據的第p百分位數是這樣一個值,它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值,且至少有(100p)%的數據大于或等于這個值.2.計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步:按從小到大排列原始數據.第2步:計算i=n×p%.第3步:若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據,若i是整數,則第p百分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數.3.四分位數第25百分位數,第50百分位數,第75百分位數這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份,因此稱為四分位數,其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等,第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.溫馨提示:中位數是第50百分位數.【教材深化】百分位數的特點(1)一組數據的百分位數可能是這組數據中的數,也可能不是這組數據中的數;(2)第0百分位數為這組數據中最小的數,第100百分位數為這組數據中最大的數;(3)一組數據的某些百分位數可能是同一數.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)第p百分位數一定是樣本中的一個數.(×)提示:第p百分位數不一定是樣本中的一個數.(2)樣本容量越大,求出的第p百分位數對總體的估計越接近.(√)提示:樣本容量越大,樣本越接近于總體,所以第p百分位數對總體的估計越接近.(3)一組樣本數據的75%分位數一定大于25%分位數.(×)提示:若數據均相等,則其75%分位數等于25%分位數.類型一百分位數的計算(數據分析、數學運算)【典例1】(鏈接教材P203例2、P204例3)從某公司生產的產品中,任意抽取12件,得到它們的質量(單位:kg)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,分別求出這組數據的25%,75%,95%分位數.【解析】將所有數據從小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因為共有12個數據,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,則25%分位數是8.0+8.32=8.15,75%分位數是8.【總結升華】總體百分位數估計需要注意的兩個問題(1)總體百分位數估計的基礎是樣本百分位數的計算,因此計算準確是關鍵;(2)由于樣本容量比較少,對總體的估計可能存在誤差,因此對總體百分位數的估計一般是估計值而非精確值.【即學即練】1.(2024·武漢高一檢測)從小到大排列的數據1,2,3,x,4,5,6,7,8,y,9,10的下四分位數為()A.3 B.3+xC.8 D.8+y【解析】選B.一共有12個數據,12×25%=3,故下四分位數為第3個數據和第4個數據的平均數,即3+x2.(2024·營口高一檢測)某校高一年級25個班參加藝術節合唱比賽,通過簡單隨機抽樣,獲得了其中8個班的比賽得分如下:91,89,90,92,93,87,91,94,則這組數據的80%分位數為()A.87 B.91 C.92 D.93【解析】選D.將題中數據從小到大排列,為87,89,90,91,91,92,93,94,而8×80%=6.4,所以80%分位數是第7個數據為93.【補償訓練】(2024·安陽高一檢測)已知甲、乙兩組按從小到大的順序排列的數據:甲組:27,28,37,m,40,50;乙組:24,n,34,43,48,52.若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數分別對應相等,則mn等于(A.127 B.107 C.43 【解析】選B.因為30%×6=1.8,50%×6=3,所以甲、乙兩組的第30百分位數分別為28,n,所以n=28,甲、乙兩組的第50百分位數分別為372+m2,342+432=38.5,所以372+m2=38.5,所以m=40,所以類型二統計圖表中的百分位數(數據分析、數學運算)【典例2】(一題多解)為了解學生在課外讀物方面的支出情況,抽取了100名同學進行調查,結果顯示這些同學的支出都在[10,50](單位:元),其頻率分布直方圖如圖所示,估計學生課外讀物支出的樣本數據的第65百分位數.(結果保留兩位小數)【解析】方法一:由頻率分布直方圖可得,(0.01+0.023)×10=0.33,(0.01+0.023+0.037)×10=0.7,所以第65百分位數應位于[30,40)內,所以樣本數據的第65百分位數為30+10×0.65-所以估計學生課外讀物支出的樣本數據的第65百分位數為38.65元.方法二:由方法一知第65百分位數應位于[30,40),設為x,則0.01×10+0.023×10+(x30)×0.037=0.65,解得x≈38.65(元),所以估計學生課外讀物支出的樣本數據的第65百分位數為38.65元.【總結升華】頻率分布直方圖中第p百分位數的求解方法模仿中位數的求解思路(1)確定第p百分位數所在的區間[a,b).(2)確定小于a和小于b的數據所占的百分比分別為fa%,fb%,則第p百分位數為a+p%-fa%f【補償訓練】1.某市政府為了節約生活用水,計劃在本市實行居民生活用水定額管理,即確定一個居民用水量標準m,使得86%的居民生活用水不超過這個標準.在本市居民中隨機抽取了100戶家庭,統計其某年的月均用水量(單位:噸),通過數據分析得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a,m的值;(2)如果我們稱m為這組數據的86%分位數,那么這組數據的50%分位數是多少?【解析】(1)由頻率分布直方圖得,(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內的頻率為1(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.因為計劃在本市實行居民生活用水定額管理,即確定一個居民用水量標準m,使得86%的居民生活用水不超過這個標準.所以m≈3.(2)由頻率分布直方圖知,數據在[0,2)內的頻率為(0.06+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.46,在[2,2.5)內的頻率為0.50×0.5=0.25,所以這組數據的50%分位數是2+0.5-0.462.為了解一片經濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數據均在區間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,你能估計一下這60株樹木的第50百分位數和第75百分位數嗎?(結果保留一位小數)【解析】由題意知分別落在各區間上的頻數在[80,90)上為60×0.15=9,在[90,100)上為60×0.25=15,在[100,110)上為60×0.3=18,在[110,120)上為60×0.2=12,在[120,130]上為60×0.1=6,從以上數據可知第50百分位數一定落在區間[100,110)上,由100+10×0.5-0.第75百分位數一定落在區間[110,120)上,由110+10×0.75-0.7綜上可知,第50百分位數和第75百分位數分別估計為103.3cm,112.5cm.類型三總體百分位數的運用(數據分析、數學建模)【典例3】(2024·南京高一檢測)某商場為了制定合理的停車收費政策,需要了解顧客的停車時長(單位:min).現隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛汽車進行調查,將數據分成6組:(0,100],(100,200],(200,300],(300,400],(400,500],(500,600],并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)若某天該商場到訪顧客的汽車輛數為1000,根據頻率分布直方圖估計該天停車時長在區間(400,600]內的車輛數.(2)為了吸引顧客,該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務.若以第30百分位數為標準,請你根據頻率分布直方圖,給出確定免費停車時長標準的建議(數據取整數).【解析】(1)設停車時長在(400,500]內的頻率為x,(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+x=1解得x=0.03,所以樣本中停車時長在區間(400,600]內的頻率為0.03+0.0002×100=0.05,故估計該天停車時長在區間(400,600]內的車輛數是1000×0.05=50.(2)設免費停車時長不超過ymin.停車時長在(0,100]內的頻率為0.13<0.3,停車時長在(0,200]內的頻率為0.13+0.32=0.45>0.3,所以y∈(100,200],則由0.13+(y100)×0.0032=0.3,得y≈153,故確定免費停車時長為153min.【補償訓練】某學科能力測試共有12萬考生參加,成績采用15級分,測試成績分布圖如圖,試估計成績高于11級分的人數為()