《微積分一》函數的增減性_第1頁
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文檔簡介

§4.3函數增減性

結論：均為銳角

xyo2l21l1y=f(x)觀察與思索

第1頁§4.3函數增減性

結論：均為鈍角

觀察與思索

xyo1l12l2y=f(x)第2頁§4.3函數增減性由此可見，函數單調性與它導數符號有著親密聯系；反過來，能否用導數符號來判斷函數單調性呢？?結論是必定！第3頁定理4

3(函數單調性判定法)

只證(1)

在(a,b)內任取兩點x1

x2(x1

x2)

應用拉格朗日中值定理有

f(x2)

f(x1)

f

(

)(x2

x1)(x1

x2)

因為x

(a,b)時恒有f

(x)

0

所以f

(

)

0

又x2

x1

0

所以

f(x2)

f(x1)

f

(

)(x2

x1)

0

即f(x1)

f(x2)

這就證實了函數f(x)在(a,b)內單調增加

證

設函數f(x)在區間(a

b)內可導

那么

(1)假如x

(a,b)時恒有f

(x)

0

則f(x)在(a,b)內單調增加

(2)假如x

(a,b)時恒有f

(x)

0

則f(x)在(a,b)內單調降低

第4頁定理4

3(函數單調性判定法)

設函數f(x)在區間(a

b)內可導

那么

(1)假如x

(a,b)時恒有f

(x)

0

則f(x)在(a,b)內單調增加

(2)假如x

(a,b)時恒有f

(x)

0

則f(x)在(a,b)內單調降低

說明

1.判定法中開區間可換成其它各種區間

2.假如在區間(a

b)內f

(x)

0(或f

(x)

0)

但等號只在個別點處成立

則f(x)在(a

b)內仍是單調增加(或單調降低)

比如,第5頁

解

例1

確定函數f(x)

x3

3x單調增減區間

f

(x)

3x2

3

3(x

1)(x

1)

當x

(

,

1)時

f

(x)

0

函數f(x)在(

,

1)內單調增加

當x

(

1,1)時

f

(x)

0

函數f(x)在(

1,1)內單調降低

函數f(x)在(1,

)內單調增加

當x

(1,

)時

f

(x)

0

單調性改變點是使得點解：定義域為當時，當時，單調性改變點是不存在點第6頁駐點第7頁解：列表考查符號故函數單增區間為，單減區間為-+-第8頁原理1、證實不等式1）將欲證不等式化為

f(x)>0,或

f(x)<0形式；2）證實f(x)滿足：單調性，起點函數值為零單調性應用第9頁例4.證:得

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