學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、正切函數的周期π是正切函數的周期。在這里，我們用兩角和的正切公式tan(α+β)=證明π是正切函數的最小正周期。設T是正切函數的最小正周期且0＜T＜π，那么，根據周期函數的定義,當x取定義域內的每一個值時，都有tan（x+T）=tanx.令x=代入上式，得tan（+T)=tan=1，即=1，解得tanT=0，此時T=kπ，k∈Z，這與0＜T＜π相矛盾。這說明上述tanT=0是不可能的，于是T必須等于π,即正切函數的最小正周期是π。學法一得（1)周期函數的定義中“當x取定義域內的每一個值時”的“每一個”的含義是指函數定義域內的所有x值，如果存在一個x0，使得f(x0+T）≠f（x0)，那么T就不是函數f(x)的周期.(2）根據問題所給的全部信息,選包含在問題中的題設或結論中的某個特殊值，導出問題的答案,再進一步論證其正確性的方法,稱之為特殊化法。二、正切函數的奇偶性由誘導公式三可知,tan(-x）=-tanx.又因為正切函數的定義域是x∈R，且x≠+kπ,k∈Z，它關于原點對稱,所以正切函數是奇函數,它的圖象關于原點對稱.三、正切函數的單調性過單位圓與x軸的正半軸的交點A（1,0）作單位圓的切線，它與角α的終邊(當角α為第一、四象限時)或其反向延長線（當角α為第二、三象限時)相交于點T，我們就把有向線段AT叫做角α的正切線.設角α∈（,)，當α由小變大時，可見它的正切線在負的方向上由長逐漸變短到零，再在正的方向上由零逐漸變長.結合正切函數的周期性可知，正切函數在開區間(-+kπ,+kπ），k∈Z內都是增函數.四、正切函數的值域由正切函數線的變化規律可知，正切函數在給定的定義域上沒有最值，它的值域是y∈R.五、正切函數的對稱性正切函數是中心對稱圖形，同一支曲線的對稱中心是圖象與坐標軸的交點(kπ，0），k∈Z。相鄰的兩支曲線的對稱中心是它們的公共漸近線同坐標軸的交點(+kπ,0)，k∈Z。由于終邊落在坐標軸上的角是α=，k∈Z，可知切函數的對稱中心是(，0).六、用正切線作正切函數y=tanx,x∈(，)的圖象1.由任意角的三角函數的定義可知,正切函數y=tanx的定義域是{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z｝,即角x的終邊不能落在y軸上。結合單位圓中正切線的畫法及其周期性，我們選擇在(,)這一區間內作它的圖象是最為適宜的。2。作正切函數y=tanx,x∈(，）的圖象的步驟(1)建立直角坐標系,在x軸的負半軸上任取一點O1，以O1為圓心作單位圓；(2）把單位圓中的右半圓分成8等份,分別在單位圓中作出其相應的正切線；（3）在x軸上,把到這一段分成8等份，依次確定單位圓上8個分點在x軸上的位置;（4)把角x的正切線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合;（5）用光滑的曲線把正切線的終點連結起來,就得到y=tanx，x∈(，）的圖象。如圖14-1-2所示.圖1-4-123.根據正切函數的周期性,我們可以把上述圖象向左、右擴展(每次擴展π的整數倍）,得到正切函數y=tanx,x∈R且x≠+kπ,k∈Z的圖象，并把它叫做正切曲線(如圖1-4-13）。從下圖可以看到，正切曲線是由相互平行的直線x=+kπ(k∈Z）(稱為正切曲線的漸近線)所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的。圖1—4-13學法一得（1)一般說來，對函數性質的研究總是先作圖象，通過觀察圖象獲得對函數性質的直觀認識,然后再從代數的角度對性質作出嚴格的表述。但對正切函數，本書采用了先根據已有的知識研究性質，然后再根據性質研究正切函數的圖象。在函數性質的指導下，更加有效地研究圖象，使數形結合的思想體現的更加完美。(2)畫正切函數的簡圖時，可按照開區間（,），（，），(，），…分段,這些開區間的長度都等于π個單位。在每一個開區間上,都有一支曲線與x軸交于一點,且與漸近線無限接近但永不相交。與x軸的交點及漸近線在確定圖象的形狀時起關鍵作用，利用它可以畫出正切函數的簡圖.類似于正弦、余弦函數的“五點法"作圖，正切曲線的簡圖可用“三點兩線法",這里的三個點分別為（kπ，0），(kπ+,1)，（kπ-，-1）,其中k∈Z.兩線為直線x=kπ+（k∈Z）和直線x=kπ—（k∈Z）。（3）當把單位圓的右半圓等分時,分的份數越多，圖象就越精確，所分份數以4的倍數為佳.正切曲線中，相互平行的直線x=+kπ，k∈Z都是它的漸近線.在同一單調區間內，圖象向上、向下無限地接近這些線，但永遠不能相交。典題?熱題知識點一周期性例1求下列正切函數的周期：（1)y=2tan(2x+)；（2)y=3tan()；（3)y=Atan(ωx+φ),x∈R，x≠+kπ(其中A、ω、φ為常數，且A≠0，ω＞0).思路分析:利用周期函數的定義或最小正周期的公式求解.解：（1）令z=2x+，那么函數y=2tanz的周期是π。由于z+π=（2x+）+π=2（x+)+，所以自變量x只要并且至少要增加到x+時，函數值才能重復取得，即T=是能使等式2tan[2（x+T）+］=2tan（2x+）成立的最小正數，從而函數y=2tan（2x+)的周期是.(2）令z=，那么函數y=3tanz的周期是π.由于z+π=()+π=（x+2π）—,所以自變量x只要并且至少要增加到x+2π時,函數值才能重復取得，即T=2π是能使等式3tan[(x+T）—］=3tan（）成立的最小正數，從而函數y=3tan（）的周期是2π。（3）令z=ωx+φ，那么y=Atanz的周期是π.由于z+π=（ωx+φ)+π=ω（x+)+φ，所以自變量只要并且至少要增加到時，函數值才能重復出現,即是能使等式Atan［ω（x+T）+φ]=Atan(ωx+φ)成立的最小正數，從而函數y=Atan(ωx+φ)的周期是。方法歸納函數y=Atan(ωx+φ）(ω＞0)的周期是。對于上述結論，在以后的學習中可直接利用它求正切函數的周期.對于較復雜的三角函數式，可先化簡成這種形式,再求周期.例2求f（x)=|tanx|的最小正周期.思路分析：函數f(x）=|tanx|=的圖象可看作把y=tanx的圖象在x軸下半平面的部分沿x軸翻折上去而得到的。解：先作出y=tanx的圖象，然后將它在x軸上方的圖象保留,而將其在x軸下方的圖象向上翻（即作出關于x軸的對稱圖象)，就可得到y=|tanx｜的圖象。如圖1-4—14，顯然它的最小正周期是π。圖1—4-14方法歸納最小正周期是指能使函數值重復出現的自變量x要加上的那個最小正數，這個最小正數是相對x而言的。正切函數y=Atan（ωx+φ）的最小正周期為。知識點二奇偶性例3試判斷下列函數的奇偶性：（1）f(x)=1—2cosx+|tanx｜;(2）f（x）=x2tanx-sin2x；(3）f(x）=tanx·cotx.思路分析：利用函數奇偶性的定義去判斷。解：(1）因為該函數的定義域是{x｜x≠+kπ，k∈Z}，關于原點對稱，且f(—x)=1-2cos(-x)+|tan(-x）|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函數f（x）為偶函數.（2）因為函數f(x）的定義域是{x|x≠+kπ，k∈Z}，關于原點對稱,又f(-x)=(—x）2tan（-x）-sin2(—x）=-x2tanx—sin2x，f(—x)≠f（x）且f(—x）≠-f（x），所以函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數.（3)因為該函數的定義域是｛x|x≠,k∈Z}，關于原點對稱，且f(x）=tanx·cotx=1，對定義域內的任意一個x,都有f（-x）=1=f(x)，所以該函數是偶函數。方法歸納①函數的定義域關于原點(y軸）對稱是該函數具有奇偶性的一個充要條件.奇（偶）函數的圖象關于原點(y軸)對稱；反過來，圖象關于原點（或y軸）對稱的函數是奇(偶)函數.②判斷函數奇偶性的步驟是:一看函數的定義域是否關于原點對稱；二看f（—x）與f（x）的關系.若定義域關于原點對稱且滿足f（-x)=f（x)或f(—x）=—f（x），則函數f(x)是偶函數或奇函數，否則就是非奇非偶函數。知識點三單調性例4比較不同角的三角函數值的大小。(1)tan100°15′與tan138°30′；(2)tan(）與tan()；（3)tan509°與tan140°。思路分析：利用誘導公式把它們轉化成銳角的正切函數或轉化成同一單調區間內的正切函數。解：（1)tan100°15′=tan（180°-79°45′）=-tan79°45′，tan138°30′=tan（180°—41°30′)=-tan41°30′。∵0°＜41°30′＜79°45′＜90°,且正切函數y=tanx，x∈（0°，90°）是增函數，∴tan41°30′＜tan79°45′，即tan100°15′＜tan138°30′.(2)tan（）=-tan（5π-)=tan，tan（)=—tan（5π—)=tan，∵且正切函數y=tanx，x∈（0,)是增函數，∴,即.(3）tan509°=tan(3×180°—31°)=tan(-31°）=—tan31°,tan140°=tan(180°-40°）=tan(-40°）=-tan40°?！?＜31°＜40°＜90°,且正切函數y=tanx，x∈（0°，90°)是增函數，∴tan31°＜tan40°，即tan509°＞tan140°.例5求函數y=tan（3x—）的單調區間。思路分析:利用復合函數單調性的判定方法求復合函數的單調區間。解：令u=3x-，則y=tanu?！遳=3x—為增函數且y=tanu在區間（-+kπ，+kπ），k∈Z上是增函數，∴y=tan(3x-)在-+kπ＜3x—＜+kπ，即在x∈（)，k∈Z上是增函數.方法歸納由于切函數是奇函數，對于負角的切函數，可先轉化成正角的切函數；由于切函數的周期是π，對于非銳角可直接轉化成kπ±α或k·180°±α,α是銳角的形式，利用誘導公式對其化簡；函數的單調性是相對于某一個區間而言的.正切函數在每一個開區間內都是增函數，但在整個定義域上不是單調函數.例6解下列不等式：(1)tanx≥1；（2）tan（2x-)+3＞0。思路分析：利用切函數的圖象及其單調性求解.解：(1)如圖1-4—15,在區間（，)上，滿足tanx≥1的角是≤x＜，所以不等式的解集是｛x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z｝。圖1—4-15圖1—4-16（2）原不等式可化為tan（2x-)＞-3，設z=2x-。如圖1-4-16，在（，）上滿足tanz＞-3的角的范圍是,所以在整個定義域上有，k∈Z，即，k∈Z。解得，k∈Z。所以原不等式的解集是｛x|，k∈Z｝.知識點四對稱性例7下列各點中是函數y=tan（x+）(x∈R且x≠+kπ，k∈Z)的一個對稱中心的為（)A。(0,0)B。(,0)C.(，0）D.(π，0)思路分析：因為切函數的對稱中心是使函數值為零或使函數值無意義的點，不妨采用直接代入法求解。答案：C知識點五函數的定義域例8求函數的定義域。思路分析：求該函數的定義域不僅要考慮到tanx≠1，還要考慮到自身的限制條件.解：要使函數有意義,必須tanx≠1，且x≠+kπ,k∈Z，即該函數的定義域是x≠+kπ，k∈Z且x≠+kπ,k∈Z.方法歸納函數y=Atan（ωx+φ)的定義域是它的漸近線集在實數中的補集,因此可從研究它的漸近線方程入手,來確定它的定義域.這也是一種非常重要的求補集思想.知識點六函數的值域例9求函數y=tan2x—2tanx—3，x∈[，+kπ］，k∈Z的值域.思路分析：換元后，用配方法求二次函數的值域.解：設t=tanx，x∈［，+kπ],k∈Z，由正切函數的性質可得t∈［，1］。則y=t2-2t-3=(t—1）2—4.因為y=t2-2t—3在區間［，1]上是減函數，所以當t=時，ymax=；當t=1時,ymin=(1—1)2—4=-4。所以，所求函數的值域為［-4，］.方法歸納（1）與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合叫函數的值域.它是由定義域和對應關系決定的.（2）求二次函數的最值時，要注意對稱軸與給定區間的關系，當對稱軸不在給定區間時,函數是單調函數，其最值在區間的兩個端點處取得；當對稱軸在給定的區間內時,在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠的區間端點處取另一最值.問題?探究誤區陷阱探究問題1正弦與余弦函數圖象形狀相同，因此在若干性質上差別不大，但正切函數與正弦、余弦函數相比較,就有了較多的不同點，那么在把握正切函數性質時，與正弦、余弦函數對比，要注意些什么問題？探究過程：正切函數y=tanx，x≠kπ+，k∈Z,其定義域不是R，又正切函數與正弦、余弦函數對應法則不同，因此一些性質與正弦、余弦函數的性質有了較大的差別.如正弦、余弦函數是有界函數，而正切函數則是無界函數;正弦、余弦函數是連續函數，反映在圖象上是連續無間斷點，而正切函數在R上不連續，它有無數條漸近線x=kπ+，圖象被這些漸近線分割開來；正、余弦函數既有單調增區間又有單調減區間,而正切函數在每一個區間(kπ—,kπ+)(k∈Z)上都是增函數.同作為三角函數，它們也存在許多相同點：如均為周期函數，且對y=Atan(ωx+φ)（ω＞0)而言,T=,y=ta