學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.2.2間接證明知識梳理1。不是直接從命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法稱為______________（indirectproof).______________就是一種常用的間接證明方法.2.反證法：一般地,假設原命題不成立.經過正確的推理,最后得出矛盾，因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做______________（reducationtoabsurdity)。3。反證法的證明過程為“否定—-______________-—______________”.4.反證法的一般步驟：（1）反設—-________________________________________________________.（2)歸謬——________________________________________________________.（3）存真——________________________________________________________.知識導學通過本節課的學習，認識反證法在證明問題中的重要作用，學會用反證法，證明有關命題，并且要注意根據題目的類型,合理選擇運用證明問題的方法，學會尋找問題中的矛盾，正確推理。疑難突破1.對反證法的理解：從假設結論不成立入手，推出與“已知條件、假設、公理或顯然成立的事實”等相矛盾的結果,從而判定假設錯誤,結論成立,這種方法叫做反證法.反證法證題的特征：是通過導出矛盾、歸結為謬誤,而使命題得證。反證法的原理是“否定之否定等于肯定”.反證法解題的實質就是否定結論導出矛盾，從而說明原結論正確.即證明命題的逆否命題成立否定結論：對結論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個反面之反證法稱為歸謬法,否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法，要注意用反證法解題，“否定結論”在推理論證中作為已知使用，導出矛盾是指在假設的前提下,邏輯推理結果與“已知條件、假設、公理、定理或顯然成立的事實”等相矛盾。反證法適宜證明存在性、惟一性、帶有“至少有一個"或“至多有一個”等字樣的一些數學問題.用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥"的反面為“＜”；“≤”的反面為“＞”;“＞”的反面為“≤”；“＜”的反面為“≥”；“≠"的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“＞"及“＜”。反證法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹體現在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”。其中：第一個否定是指“否定結論（假設）”；第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”.反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設"。反證法不是去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上運用演繹推理,導出矛盾，從而肯定結論的真實性。2。應用反證法證明數學命題的一般步驟：(1）反設：假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真；（2）歸謬：從反設和已知條件出發，應用正確的推理方法,經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果。（3）存真：由矛盾結果、斷定反設不真，從而肯定原結論成立。常見的主要矛盾有:①與數學公理、定理、公式、定義或已證明了的結論相矛盾;②與臨時假設矛盾；③與公認的事實或自相矛盾等.典題精講【例1】如圖2—2—4所示，AB、CD為圓的兩條相交弦、且不全為直徑.求證：AB、CD不能互相平分。思路分析:要證AB與CD不能互相平分，從正面來證明難度很大，所以正難則反，采用反證法，假設AB與CD相互平分，可以找出存在的矛盾。圖2-2—4證明：假設AB、CD互相平分,連結AC、CB、AD、BD則ACBD為平行四邊形。所以：∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD。因為四邊形ACBD為圓內接四邊形，所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CAD+∠CBD=180°.因此，∠ACB=90°，∠CAD=90°.所以，對角線AB、CD均為直徑,與已知矛盾。因此，AB、CD不能互相平分。綠色通道：反證法的關鍵是，在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾；或與假設矛盾；或與定義、定理、公理、事實矛盾等.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，英國近代數學家哈代曾經這樣稱贊它：“……歸謬法（反證法）是數學家最有力的一件武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優勢的讓棋法，它還要高明。象棋對弈者不外乎犧牲一卒或頂多一子，數學家索性把全局拱手讓予對方!”。黑色陷阱：在利用反證法證明問題時，一定要分清命題的條件和結論，假設時要對結論進行否定.【變式訓練】如圖2-2-5所示，在△ABC中，AB＞AC,AD為BC邊上的高線，AM是BC邊上的中線，求證：點M不在線段CD上.圖2—2-5證明(反證法）假設M在線段CD上，則BD＜BM=CM＜DC，且AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+CD2,所以AB2=BD2+AD2＜BM2+AD2＜CD2+AD2=AC2，即AB2＜AC2,AB＜AC。這與AB＞AC矛盾，所以點M不在線段CD上。【例2】若a、b、c均為實數，且a=x2-2y+,b=y2—2x+,c=z2-2x+,求證:a、b、c中至少有一個大于0。思路分析：命題以否定形式出現（如不存在，不相交等)，并伴有“至少……”，“不都……”，“都不……"，“沒有……”，“至多……”等指示性語句，在直接方法很難證明時，可以采用反證法。證明：假設a、b、c都不大于0,即a≤0，b≤0,c≤0，則a+b+c≤0,而a+b+c=x2-2y++y2—2x++z2—2x+=(x—1)2+(y-1）2+(z—1)2+π-3∵π—3＞0,且（x-1)2+(y-1)2+（z—1）2≥0，∴a+b+c＞0這與a+b+c≤0矛盾,因此，a、b、c中至少有一個大于0.綠色通道：在利用反證法證明時的實質是證明它的逆否命題成立,反證法的主要依據是邏輯中的排中律，排中律的一般表現形式是：或者是A,或者非A，即在同一討論過程中,A和非A有一個且僅有一個是對的,不能有第三種情形出現。【變式訓練】已知：a、b、c是一組勾股數,即a2+b2=c2求證:a、b、c不可能都是奇數。證明：假設a、b、c都是奇數.∵a、b、c是一組勾股數，∴a2+b2=c2①∵a、b、c都是奇數，∴a2、b2、c2也都是奇數，∴a2+b2是偶數，這樣①式的左邊是偶數，右邊是奇數，產生矛盾.∴a、b、c不可能都是奇數.【例3】(2006年北京高考卷，理20）在數列{an}中，若a1,a2是正整數，且an=|an-1-an-2|,n=3，4,5，…，則稱{an｝為“絕對差數列”。（1）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列"（只要求寫出前十項）；（2)若“絕對差數列”｛an｝中，a20=3，a21=0.數列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2，n=1,2,3…,分別判斷當n→∞時，an與bn的極限是否存在,如果存在，求出其極限值；（3）任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.思路分析：本題以提出一個新概念的方式來考查數列的概念及極限的問題,背景新穎.解：（1）a1=3,a2=1,a3=2，a4=1，a5=1，a6=0,a7=1,a8=1，a9=0，a10=1（答案不惟一）；（2）解:因為在絕對差數列{an}中，a20=3，a21=0，所以自第20項開始，該數列是a20=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0，a25=3，a26=3,a27=0,…，即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3.所以當n→∞時，an的極值不存在。當n≥20時，bn=an+an+1+an+2=6.所以limn→∞bn=6.（1）證明:根據定義，數列｛an｝必在有限項后出現零項,證明如下（用反證法）：假設{an}中沒有零項，由于an=｜an—1-an-2｜,所以對于任意的n都有an≥1，從而當an-1＞an-2時,an=an—1—an-2≤an—1-1(n≥3）;當an-1＜an—2時，an=an-2—an—1≤an-2-1(n≥3）。即an的值要么比an—1至少小1，要么比an—2至少小1.令Cn=n=1,2，3…，則0＜Cn≤Cn-1-1（n=2,3,4，…）由于a是確定的正整數,這樣減少下去,必然存在某項Ck＜0，這與Cn＞0(n=1,2，3,…）矛盾，從而｛an｝必有零項.若第一次出現的零項為第n項，記an—1=A（A≠0），則自第n項開始，每三個相鄰的項同期地取值0,A、A，即k=0，1,2,3…,所以絕對數列｛an}中有無窮多個為零的項。綠色通道:在用反證法證題時,常用的主要矛盾為：與假設矛盾、與數學公理、定理、公式、定義或已被證明了的結論相矛盾，與公認的事實相矛盾。【變式訓練】（2004年太原模擬，20）已知:f(x）=x2+px+q(1）求證：f(1)+f(3）-2f(2)求證:｜f(1）|、｜f（2)｜、|f(3)|中至少有一個不小于。證明：（1)f（1）+f（3)-2f（2)=（1+p+q）+（9+3p+q）—2(4+2p+q)=2.（2)假設｜f(1）|、｜f（2)|、|f（3)|中至少有一個不小于不成立，則假設｜f(1）｜、｜f（2)｜、｜f（3）|都小于，則｜f（1)｜+2|f(2）｜+|f（3）|＜2,而|f(1）|+2｜f（2）|+|f(3)|＞f（1）+f(3）—2f(2）=(1+p+q)+（9+3p+q）—(8+4p+2q)=2,這與｜f（1）｜+2|f(2）|+|f（3)｜＜2相矛盾。因此假設不成立，從而原命題成立,即｜f（1）｜、|f(2)|、｜f（3）|中至少有一個不小于.問題探究問題：反證法與直接證法相比較，反證法具有哪些特點呢？探究：反證法與直接證法相比較，就會發現反證法具有如下特點：①從推理論證的前提看,反證法增加了“反設”這個新的條件，下述情況常采用反證法。在一門學科開始的階段，對一些最基本的性質的證明，由于這些基本性質予以成立的條件簡明扼要，同時可使用的定理甚少，所以直接證明很困難.另外，在題目中含有“至